1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业 三十四数列的综合应用(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2014北京高考)设a n是公比为 q 的等比数列,则“q1”是 “a n为递增数列”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 D.当 a11 时,a n是递减数列;当a n为递增数列时,a 10,q1.因此,“q1”是“a n为递增数列”的既不充分也不必要条件.【加固训练】(2016南昌模拟)在公差不为
2、 0 的等差数列a n中,2a 3- +2a11=0,数列b n是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8= ( )A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选 D.因为a n是等差数列,所以 a3+a11=2a7,所以 2a3- +2a11=4a7- =0,解得 a7=0或 4,因为b n为等比数列,所以 bn0,所以 b7=a7=4,b6b8= =16.2.设 y=f(x)是一次函数,若 f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列,则 f(2)+f(4)+f(2n)等于 ( )A.n(2n+3) B.n(n+4)C.2n(2n+3) D.2n(n+4)【解析】选 A.由题意可设
3、 f(x)=kx+1(k0),则(4k+1) 2= (k+1)(13k+1),解得 k=2,f(2)+f(4)+f(2n)=(22+1)+(24+1)+(22n+1)=2n2+3n=n(2n+3).3.已知正项等差数列a n满足:a n+1+an-1= (n2),等比数列b n满足:b n+1bn-1=2bn(n2),则log2(a2+b2)= ( )A.-1 或 2 B.0 或 2C.2 D.1【解析】选 C.由题意可知,a n+1+an-1=2an= ,解得 an=2(n2)(由于数列a n每项都是正数),又 bn+1bn-1= =2bn(n2),所以 bn=2(n2),log2(a2+b
4、2)=log24=2.4.(2016烟台模拟)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问最小的一份为 ( )A. B. C. D.【解析】选 A.设五个人所分得的面包为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中 d0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以 a=20,由 (a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得 d= ,所以最小 1 份为 a-2d=20- = .5.已知数列a n满足 3an+1+an=4(n1),且 a1=
5、9,其前 n 项和为 Sn,则满足不等式|S n-n-6|250,故满足条件的最小整数 n 的值为 7.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2016茂名模拟)各项都是正数的等比数列 的公比 q1,且 a2, a3,a1成等差数列,则 的值为 .【解析】a n的公比为 q(q0 且 q1),由 a3=a2+a1,得 q2-q-1=0,解得 q= ,而 = = = .答案:7.(2016常德模拟)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,对任意 nN *都有 Sn= an- ,若11),即 an= -= an- an-1,整理得: =-2(n1),所以a n是首项为-1,公比为-2 的等比
6、数列,S k= = ,因为 10 恒成立求解.【解析】(1)设公差为 d,由 S3=9, =a3a8,得: 解得:a 1=2,d=1.所以 an=n+1,Sn= = + n.(2)由题知 cn=n2+(n+1),若使c n为单调递增数列,则 cn+1-cn=(n+1)2+(n+2)-=2n+1+0 对一切 nN *恒成立,即:-2n-1 对一切 nN *恒成立,又 (n)=-2n-1 是单调递减的,所以当 n=1 时,(n) max=-3,所以 -3.【加固训练】(2016武汉模拟)已知单调递增的等比数列a n满足:a 2+a3+a4=28,且 a3+2 是a2,a4的等差中项.(1)求数列a
7、 n的通项公式.(2)若 bn=anlo an,Sn=b1+b2+bn,求 Sn+n2n+162 成立的正整数 n 的最小值.【解析】(1)设等比数列a n的首项为 a1,公比为 q,依题意,有 2(a3+2)= a2+a4,代入 a2+a3+a4=28,可得 a3=8,所以 a2+a4=20,所以解得 或 又数列a n单调递增,所以 q=2,a1=2,所以数列a n的通项公式为 an=2n.(2)因为 bn=2nlo 2n=-n2n,所以 Sn=-(12+222+n2n),2Sn=-,两式相减,得 Sn=2+22+23+2n-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,所以 Sn+n2n+162,
8、即 2n+1-262,即 2n+164=26,所以 n+16,从而 n5,故正整数 n 的最小值为 6.所以使 Sn+n2n+162 成立的正整数 n 的最小值为 6.(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2016济宁模拟)已知 a,b,c 成等比数列,a,m,b 和 b,n,c 分别成两个等差数列,则+ 等于 ( )A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选 C.由题意得 b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则 + = = =2.【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选 C.因为 a,b,c 成等比数列,所以令 a=2,b=4,c=8,又 a,m,b 和 b,n,c 分别成两个等
9、差数列,则 m= =3,n= =6,因此 + = + =2.2.(5 分)(2016烟台模拟)学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选 A 菜的,下星期一会有 20%改选 B 菜;而选 B 菜的,下星期一会有 30%改选 A 菜,用 an表示第 n 个星期一选 A 菜的人数,如果 a1=428,则 a4的值为 ( )A.324 B.316 C.304 D.302【解析】选 B.依题意有:a n= an-1+ (500-an-1)= an-1+150(n2,nN *),即 an-300= (an-1-300)(n2,nN *),an=1
10、28 +300,因此 a4=128 +300=316.【加固训练】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量Sn(单位:万件)近似地满足 Sn= (21n-n2-5)(n=1,2,12).按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是 ( )A.5 月,6 月 B.6 月,7 月C.7 月,8 月 D.8 月,9 月【解析】选 C.设第 n 个月的需求量为 an,因为从年初开始的 n 个月内累积的需求量为Sn(n=1,2,3,12).所以当 n2 时,a n=Sn-Sn-1= (21n-n2-5)-= (-n2+15n-9).当 n=1 时,a 1=S1=
11、,适合上式,综上可知,a n= (-n2+15n-9).令 an1.5,即 (-n2+15n-9)1.5,解得 6 ,nN *,所以当 n2 时, = = .即 Tn ,n2.又当 n=1 时,T 1= = 成立,综上,当 nN *时,T n 成立.5.(13 分)我们在下面的表格内填写数值:先将第 1 行的所有空格填上 1;再把一个首项为 1,公比为 q 的数列 依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 n 列第 1 行 1 1 1 1第 2 行 q第 3 行 q2 第 n 行 qn-1(1)设第 2 行的数依次为 B1,B2,Bn,试用 n,q 表示 B1+B2+Bn的值.(2)设第 3 列的数依次为 c1,c2,c3,cn,求证:对于任意非零实数 q,c1+c32c2.【解析】(1)B 1=q,B2=1+q,B3=1+ (1+q)=2+q,Bn=(n-1)+q,所以 B1+B2+Bn=1+2+(n-1)+nq= +nq.(2)c1=1,c2=1+(1+q)=2+q,c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2,由 c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q20,得 c1+c32c2.关闭 Word 文档返回原板块
