1、勇于尝试，把握过程，关注细节 - 1 - 目 录 第一讲 奇妙的幻方 3 练习卷 . 9 第二讲 可能性的大小 （ 游戏与对策 ） 10 练习卷 12 第三讲 图形的面积（一） 13 第四讲 认识分数 17 练习卷 21 第五讲 行程中的相遇 （ 相遇问题 ） 22 练习卷 26 第六讲 公因数与公倍数 27 综合演练 . 31 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 2 - 第 一 讲 幻方 （ 第一课时 ） 【 知识概述 】 在一个 nn 的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。 （ n 是 几就 表 示
2、 为 几 阶 幻 方） 。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例 1 在一个 3 3的表格内，填入 1-9九个数 ，（不能重复，不能遗漏），使得 3个横列、 3个竖列和 2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？ 【和为 15】 【思路分析】 这样的 3 3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四 为 肩 ，六、八 为 足， 左七右三， 戴九履一，五为中央。 【 注： 戴 指头， 履 指脚。】 试试 填一填吧！ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 3 - 幻方 （ 第 二 课时 ） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写 33 的幻方，其实在幻方的知识世界里，像 33、 55、 77 像这
3、样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个 55 的方格中，填入 1-25 这 25 个数字，使 5 个横列、5 个竖列、 2 个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看 样 子 ，要 想 顺 利 填 写 好 这 么 多 的 表格，还真 的 不容易，没有 口诀 真 的 不行，下 面这 个 口诀 要 记 牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放， 双出 占位写下方。 2 9 1 8 5 7 4 6 10 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 4 - 10 3 11 2 9 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方 （第三课时） 根据上讲中的方法，
4、把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！ 一 居 首 行 正 中 央，依 次 斜 向 右 上 方，右 出 框 时 左 边 写，上 出 框 时 下 边 放， 双 出 占 位 写下 方。 把 1-49 这 49 个 数 字 填 入下 面 方 格 内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。 把 1-81 这 81 个数字填入下面表 方 格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。 1 4 3 2 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 5 - 幻方 （ 第四 课时） 上面三讲我们学习了奇数幻方的
5、填法，那么偶数幻方该怎样填呢？下面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。 例题讲学 将 1-16 这 16 个数填入下面这个 44 的方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。 【思路点拨】 首先，偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律，它的填写要求是：调换（数与数间的调换）先把 1-16 这 16 个数按顺序填好。如： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第二步： 画两条对角线， 把 对角线所划住的数字不动。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第三步：把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。 2 15， 3
6、14,5 12,8 9，最后形成新的方格。 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 6 - 幻方 （ 第五 课时） 知识概述 对于幻方中偶数幻方的知识，是非常多的， 至于八阶幻方，十二阶幻方等是四的倍数的幻方有统一的方法与技巧： 偶阶幻方分两类 : 双偶数 :四 阶 幻 方 ，八 阶 幻 方 、 十二阶幻方 ,4K 阶幻方， （ K表示一个非零自然数） 可用 ,方法很简单 : 1) 把自然数依次排成方阵 2) 把幻方划成 44 的小区 ,每个小区划对角线 , 3) 把这些对角线所划到的数 ,保持不动 , 4) 把没划到的数 ,按幻方的中心 ,以中心对称的方式 ,进行对调 , 【与 44 幻方的方法一
7、样】 5）幻方完成 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 7 - 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 现在试着完成一下八阶幻方吧 你能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢？ 同步精练： 把 1
8、-144 这 144 个数填入 1212 的方格内，使 其成为一个十二阶幻方。 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 8 - 恭喜你顺利完成了考验！ 练习卷 按要求填写幻方： 1、 三阶幻方 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 9 - 2、 四阶幻方 3、 五阶幻方 4、 七阶幻方 5、 八阶幻方 6、 九阶幻方 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 10 - 第 二 讲 可能性的大小 （游戏与对策） 例题讲学 例 1 有一堆棋子共 53颗，甲、乙两人轮流从中拿走 1颗或 2颗棋子。规定谁拿走最后 1颗棋子，谁就获胜。如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略？ 【思路点拨】 由于甲、乙两人轮流从中拿走 1 颗
9、 或 2 颗棋子 ，即每次保证两人共拿走 1+2=3 颗， 53颗共要取 53 3=17（次） 2（颗），即要保证甲先取获胜，那么甲应先取余下的那 2颗。这样下面轮流时，甲只需要与乙拿的总和是 3就必胜无疑了。 关键看两个人拿的时候最多合拿几个，然后再看看剩余几个，就 把那剩余的先拿走，这样先拿的人就容易取胜了 。 同步精 练 1、 有 287个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流取，每人每次最多取 2个，最少取 1个，取最后一个球的人为胜利者。甲要想获胜，他应该如何安排？ 2、 有 388 个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛。比赛的规则是：甲乙轮流取，每人每次取
10、1个、 2个、或 3个，取最后一个球的人为失败者。如果甲先取，甲为了取胜，他应该采取怎样的策略？ 3、有 197 粒棋子，甲乙二人分别轮流取棋子，每次至少取 1 个，最多取 4 粒，不能不取，取到最 后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取？你认为先取的获胜，还是后取的获胜？ 技巧 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 11 - 第二讲 可能性的大小 （游戏与对策） 第二课时 例 2 有两堆火柴，一对 26根，一堆 11根。甲乙两人轮流从中拿走 1根或几根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，谁拿走最后一根算谁赢，问甲如何取胜？ 【思路点拨】 这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆的火
11、柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆里取相同的根数，就能保证取到最后一根。对一般情况，可设法将它转化为特殊情况，所以要先取走多的那几根就行了。 同 步精练 1、有两个箱子分别装有 63、 108 个球。甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意取球。规定取到最后一个球的为胜者。甲先取，他应如何才能获胜？ 2、取两堆石子，游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子（甚至可以把这堆石子一次拿走完），但每次至少拿 1 粒，不准同时在两堆中拿，谁拿最后一粒谁就获胜，问如何才能取胜？ 3、下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的，没人每次画一个，所画的不能与已画的相交或重叠，圆形总有被画满
12、的时候，谁画最后一个，谁就获胜。如何才能获胜？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 12 - 练 习 卷 1、有一枚骰子，六个面分别写着 1-6 六个数，两次掷这枚骰子，将两次朝上的面上的数相加，和的个位数字最大的可能性是（ ）。 2、有 102 粒纽扣，两个人轮流从中取几粒，每人至少取 1 粒，最多取 4 粒，谁取到最后一粒，就算谁输。问保证一定获胜的策略是什么？ 3、桌面上有 199 根火柴，甲、乙两人轮流地取 1 根或 2 根，谁取到最后一根火柴为胜，问获胜的策略是什么？ 4、王叔叔体重 75 千克，他从地里摘了 2 筐西瓜，每筐 35 千克，王叔叔回家要经过一座小桥，小桥只能载重 100
13、 千克，请你给他想个 办法，让他和西瓜一次安全地过河去。 5、 一笔画出（笔尖不离开纸）由四条线段连接而成的折线，把下面九个点串起来，你能做到吗？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 13 - 5 厘米 6 第 三 讲 图形的面积（一） 第一课时 例题讲学 例 1 已知平行四边形的面积是 28平方厘米，求阴影部分的面积。 5厘米 【思路点拨】 4 厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积 是28平方厘米，它的底为 28 4=7（厘米），平行四边形的底减去 5厘米就是三角形的底， 7-5=2（厘米） 。 根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。 求阴影部分的面积最直接的方法
14、是利用计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。这两种是最常用最简便的方法。 同步精练 1.下面的梯形中，阴影部分的面积是 150平方厘米，求梯形的面积。 2 已知平行四边形的面积是 48平方厘米，求阴影部分的面积。 3 如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？（单位：厘米） 9 15 厘米 25 厘米 技巧 4厘米 6厘米 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 14 - 第三讲 图形的面积（一） 第二课时 例题讲学 例 2 下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）【思路点拨】 图中的阴影部分是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条边上
15、的高也不知道。所以，无法用公式计算出它的面积。 仔细观察本题的图，我们可以发现，如果延长 GA 和 FC，它们会相交（设交点为 H），这样就得到长方形 GBFH（如下图），它的面积很容易求，而长方形 GBFH 中除阴影部分之外的其他三部分（ AGB、 BFC 及 AHC）的面积都能直接求出。 同步精 练 1、求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米） H C 4 6 B E F A G 乙 甲 C 4 6 B E F A G 乙 甲 12 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 15 - 2、求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 第三讲 图形的面积（一） 第 三 课时 例题讲学 例 3 如图所示：，甲
16、三角形的面积比乙三角形的面积大 6 平方厘米，求 CE的长度。 【思路点拨】 题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角形的面积大 6 平方厘米，即 甲 -乙 =6（平方厘米） ，而甲和乙分别加上四边形 ABCF 后相减的结果还是 6 平方厘米，即： 甲 -乙 =6（平方厘米） 4 3 4 3 8 8 5 5 4 厘米 A D E F 乙 B C 甲 4厘米 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 16 - （甲 +四边形 ABCF） -（乙 +四边形 ABCF） =6（平方厘米） 即：正方形 ABCD - ABE=6（平方厘米） 这就是说正方形 ABCD 的面积比三角形 ABE 的面积大 6 平方厘米
17、。用正方形的面积减去 6 就得到三角形 ABE 的面积，再用三角形的面积乘以 2 再除以 AB，就得到 BE 的长度，从而求出 CE 的长度。 同步精练 1、四边形 ABCD 是一个 长为 10 厘米，宽 6 厘米的长方形，三角形 ADE 的面积比三角形 CEF 的面积大 10 平方厘米。求 CF 的长是多少厘米？ 2、 正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，已知 DE 是 EC 长度的 2 倍，求：（ 1）三角形 DEF 的 面积 。 （ 2） CF 的长。 D A C E B F C E A D F B 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 17 - 第 四 讲 认识分数 第一课时 知识概述
18、 把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。其中的一份又叫分数单位。分数与除法的关系可以表示 a b=ba （ b 0）。分数可以分为真分数和假分数；分子与分母是互质数，被称为最简分数。 分数的分子与分母同时乘以或同时除以一个相同的数（ 0 除外），分数的大小不变， 这就是分数的基本性质。 例题精学 例 1：分母是 91 的真分数有多少个？最简真分数有多少个？ 【思路点拨】 真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分数。分母是 91 的真分数一共有 90 个，分别是 911 ， 912 ， 913 9190 ,其分子是 190的自然数。在这其中有分
19、子和分母有除 1之外的相同质因数。要求最简真分数，那么 分子中凡是 91 的质因数的倍数都应去掉。而 91=7 13，在 1 90 的自然数中， 7 的倍数有 13 1=12（个）， 13 的倍数有 7 1=6（个），这样分子可取的数一共有 90（ 12+6） =72（个）。 同步精练 1.分母是 51的真分数有多少个？最简真分数有多少个？ 2.分子、分母的乘积是 420的最简真分数有多少个？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 18 - 3.分数 853 aa 中的 a 是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分， a 最小是多少？ 第四讲 认识分数 第二课时 例 2 把一个最简分数的分子加上
20、1，这个分数就等于 1. （ 1）如果把这个分数的分母加上 1，这个分数就等于 98 ，原分数是多少？ （ 2）如果把这个分数的分母加上 2，这个分数就等于，原分数是多少？ 【思路点拨】这道题有两个小题，总的条件一样。由于其他的条件不同，两小题的得数是不同的。有总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小 1.（ 1）分母加上 1，分子应比分母小 2，现在 98 的分子比分母小 1，说明进行过约分了，未约分前的分子比分母小 2，说明是用 2约分的，也就是说原分数的分母加上 1之后，再把分子分母同时除以 2 所得到的分数是 98 ，说明约分前是 1816 ，这样原分数应是 1716 。第（ 2）
21、题请你自己思考。 同步精练 1. 一个最简分数的分子缩小 5倍，分母扩大 9倍后是 272 ，原分数是多少？ 2. 一个分数约分成最简分数是 73 ， 原分子、分母的和是 90，原分数是多少？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 19 - 第四讲 认识分数 第三课时 例 3 分数 13673 的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是 92 ，求减去的数。 【思路点拨】 一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后，分子与分母的差不变。原分数的 分子与分母的差是 136 73=63，得到的新分数的分子与分母的差也是 63.而新分数约分后变成 92 ， 9 2=7，因此可知约去的数是 63 7
22、=9.新分数是 9992 =8118 ，这样就可以求出减去的数是多少了。 同步精练 1.133 的分子、分母同时加上多少后就可以约分为 31 ？ 2.一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上 4，这个分数约分后是 32 ，原来这个数是多少？ 3. 一个分数，分子加上 1后，其值为 1，分子减去 1后，其值为 54 ，求这个分数 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 20 - 第四讲 认识分数 第四课时 例 4 分数 6455 的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为 134 ，求某数。 【思路点拨】 分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母的和不变。原分
23、数的分子、分母之和为 55+64=119，说明新分数的分子、分母之和也是 119，而新分数约分后是 134 ，分子、分母的和是 4+13=17，因此可知约去的数是 119 17=7。新分数为 9128713 74 。这样可以推算出这个原数了。 同步精练 1.的分子减去某数，而分母加上某数后约分为 31 ，求某数。 2.有一个分数，分子加上 1可约分为 31 ，分子减去 1可约分为 51 ，求这个数。 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 21 - 3.一个分数，如果分子加上 16，分母减去 166，那么约分后是 43 ；如果分子加 上 124，分母加上 340，那么约分后是 21 ，求原分数是多少
24、？ 练 习 卷 1、填空题。 （ 1）一个最简分数的分子、分母之积是 30，这个最简分数是（ ）。 （ 2）一个最简真分数的分子、分母之和是 15，这个最简真分数是（ ）。 （ 3）分母是 85 的真分数共有（ ）个，分母是 85 的最简真分数共有（ ）个。 （ 4）一个分数的分子、分母之和是 90，约分后是 87 ，求原来的分数是（ ）。 （ 5）一个最简真分数，把它的分母扩大 5 倍，而分子缩小 4 倍，化简后是 521 ，求这个最简真分数是（ ）。 2、分数 121 的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得 21 ，求这个自然数。 3、分数 169 的分子加上一个数，分母减去同一个数
25、，新分数化简为 32 ，求这个数。 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 22 - 4、一个真分数的分子、分母是两个 相邻的奇数，如果分母加上 3 后，这个分数约分为 43 ，求原分数是多少？ 第 五 讲 相遇问题 相遇问题中数量之间的基本关系式： 速度和相遇时间相遇路程 相遇路程速度和相遇时间 相遇路程相遇时间速度和 【 例 1】 ：一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 450千米的辆两地相向而行，公共汽车每小时 40 千米，小轿车每小时行 50 千米，问几小时后两车相距 90千米？ 【 分析与解 】 两车在相距 450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距 90千米，这时两车
26、共行的路程应为（ 450-90）千米。 需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距 90千米。 这时两车共行的路程为（ 450+90）千米。 所以：（ 450-90）（ 40+50） =4（小时） 或（ 450+90）（ 40+50） =6（小时） 答：两车在出发后 4小时相距 90千米，在出发后 6再一次相距 90千米。 同步精练 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 23 - 1.一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地相背而行。甲每分钟走 66米，乙每分钟走 59米。经过几 分钟才能相遇？ 2、两地相距 1200 千米，甲乙两辆
27、火车从两地相向而行，同时出发，甲每小时行 120千米，乙每小时行 180千米，多少小时后，两车相差 300千米？ 【 例 2】 甲乙两列火车从相距 770 千米的两地相向而行，甲车每小时行 45千米，乙车每小时行 41千米，乙车先出发 2小时后，甲车才出发。甲车行几小时后与乙车相遇？ 【分析与解】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2 小树，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这 2 小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相 对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间。 乙车先行的路程： 412=82（千米），甲乙两车同时相对而行路程：77
28、0-82=688（千米），甲车行的时间： 688（ 45+41） =8（小时） 答：甲车行 8 小时后与乙车相遇。 解题技巧： 关键抓住先走的车，它所行的路程，把它所走的路程先刨除在外，然后计算两车（人）真正相距的路程，是解答此类问题的关键。 同步精练 小丽家距学校有 1500 米，中午 11:40 分 放学回家时，小丽从 学校以每分钟 50 米的速度回家，走了 4 分钟后，爸爸骑自行车从家 出发去接小丽，爸爸的速度是每分钟 150 米，爸爸出发多长时间会接到小丽？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 24 - 某送货员从 A 乡镇往 B 乡镇去送货，他以每小时 40 千米的速度开摩托车前往，走
29、了 0.5 小时后，接货人开汽车去接他，结果接货人在出发 2 小时后接到了送货员，已知接货人的速度是每小时 60 千米。问： A、 B 两个乡镇相距多少千米？ 【 例 3】 两地相距 900 米，甲乙二人同时同地向同一方向行走，甲每分钟走 80米，乙每分钟走 100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲车相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？ 【分析与解】 甲、乙二 人开始是同向行走，乙走得快，先到达目的地后，然后返回，途中与甲相遇，这又变成了相遇问题 ，把同向走的时间与相遇走的时间相加就是共同经过的时间。 已到达目的地时间： 900 100=9（分钟），甲 9分钟走的路程： 80 9=720（米），
30、甲距目标还有： 900-720=180（米），相遇时间： 180（ 100+80） =1（分钟），共用的时间为： 9+1=10（分钟）。 同步精练 1、 兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走 90米，妹妹每分钟走 60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离学校 180 米处 与妹妹相遇，他们家离校多远？ 2、甲、乙二人同时从 A地到 B地，甲每分钟走 250米，乙每分钟走 90米。甲勇于尝试，把握过程，关注细节 - 25 - 到达 B地后立即返回 A地，在离 B地 3.2千米处与乙相遇， A、 B两地间的距离是多少千米？ 【 例 4】 ：甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离
31、是 100千米，甲每小时走6千米，乙每小时走 4千米，甲带着一只狗，狗每小时走 10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？ 【分析与解】 要求狗一共走了多少千米，如果你认为求出狗与甲 和乙相遇了多少次，每次用多长时间，那么你是求不出来的，因为这些都是无法知的量。 问题可以这样看，我们可以求出狗一共行了多长时间，狗行的时间其实就是甲乙二人相遇的时间， 因为狗在甲乙二人相遇前是一直走的，它中途并没有停下来，所以，问题的关键又转回了人身上。 甲乙二人相遇时间： 100（ 6+4） =10（小时） 狗走的路程为： 10
32、 10=100（千米）。 同步精练 甲乙两队学生从相隔 18 千米的两地同时出发，相向而行，一名学生骑自行车以每小时 14千米的速度在两队间不停地往返联络，甲队每小时行 5千米，乙队每小时 行 4千米，两队相遇时，骑自行车的学生共行多少千米？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 26 - A、 B两地相距 400千米，甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行35千米，乙车每小时行 45千米。一只鸽子以每小时 50千米的速度和甲同时出发，向乙飞去，遇到乙车又折回向甲车飞来，遇到甲车又往回飞向乙车，这样一直飞下去。鸽子飞多少千米时，两车正好相遇？ 练 习 卷 1、 一辆汽车和一辆摩托车同时从相距 8
33、60米的两地出发，相向而行，汽车每小时行 45千米，摩托车每小时行 70千米， 6小时后两车相距多少千米？ 2、 小强和小明家相距 2400 米，两人同时从家中 出发相向而行，小强每分钟走50米，小明每分钟走 70米。求： （ 1）他们经过多长时间相遇？ （ 2） 3分钟时，他们还相距多少米？ （ 3） 15分钟时，他们相距多少米？ 3、 甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时 56 千米，乙车每小时48千米，两辆车在离中点 32千米处相遇，求东西两地间相距多少千米？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 27 - 4、小明从甲地向乙地走，小强同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返
34、回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地 400米处，第二次相遇在距乙地 150米处。问，甲、乙两地之间相距多少米 ？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 28 - 第六讲 公因数和公倍数 第一课时 【知识概述】 我们知道：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数，一般地，把自然数 a和 b的最大公因数记为（ a， b）。 几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数，一般地，把自然数 a和 b的最小公倍数记为 a， b。 两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即： （ a， b） a， b=a
35、 b 【例题 1】 有两根彩带，分别长 45厘米 和 30厘米。现在要把这两根彩带剪成长度相等的短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？ 【 点拨与解】 这两根彩带要剪成长度一样的小段，且无剩余，每段长度必是 45厘米和 30厘米的公因数。又要求每段尽可能的长，所求的每段长度就是 45和 30的最大公因数。 （ 45,30） =15 答：每段短彩带最长是 15厘米。 同步精练 1、 陆老师买了 36个本子、 24支钢笔，分别平均将给五（ 4）班三好学生，结果正好全部分完，问五（ 4）班最多共有多少名三好学生？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 29 - 2、 把一张长 12 厘米、宽 20
36、 厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能 大的的正方形，裁完后没有剩余，至少可以裁多少个？ 、 第 二 课时 例 2 有一批地砖，每块长 45厘米，宽 30厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺成正方形地？ 【点拨与解】 要用这种地砖铺成正方形地，可知正方形地的边长是地砖长和宽的公倍数；又因为要用尽可能少的地砖铺地，可知铺成的正方形地要尽可能小，即正方形地的边长要尽可能小，所以正方形地的边长是地砖长和宽的最小公倍数。 45,30=90 （ 90 45）（ 90 30） =2 3=6（块） 答：至少要 6块才能铺成正方形地。 同步精练 1、 有一 批强化地板，长 150厘米，宽 20厘米，至少要
37、用多少块这样的地板才能铺成正方形地？ 2、 一路和二路公交车早上 6 点同时从汽车站发车，一路车每 7 分钟发一辆车，二路车每 8分钟发一辆车。这两辆车第二次同时发车是几时几分？ 勇于尝试，把握过程，关注细节 - 30 - 3、 柴油机上有两个互相咬合的齿轮，甲齿轮有 72个齿，乙齿轮有 28个齿，其中某一对齿，从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈？ 第三课时 例 3 两个数的最大公因数是 15，最小公倍数是 300，已知其中一个数是 75，求另一个数是多少？ 【点拨与解】 根据两个数的最大 公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，可以直接求出另一个数来。 300 15 75=60 同步精练 1、两个数的最大公因数是 21，最小公倍数是 126，已知其中一个数是 42，求另一个数是多少？ 2、已知两个自然数的积是 3072，最大公因数是 16，求这两个数的最小公倍数是多少？ 3、 已知两个数的最小公倍数是 210，它们的积是 1260，那么这两个数的
