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类型小学数学奥数基础教程讲练(三年级)全30讲.pdf

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  • 文档编号:9762919
  • 上传时间:2019-09-02
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    小学数学奥数基础教程讲练(三年级)全30讲.pdf
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    1、小学奥数基础教程(三年级) 1 目录 第 1 讲 加减法的巧算 . 2 第 2 讲 横式数字谜 (一 ) - 6 - 第 3 讲 竖式数字谜 (一 ) - 9 - 第 4 讲 竖式数字谜 (二 ) - 10 - 第 5 讲 找规律 (一 ) - 13 - 第 6 讲 找规律 (二 ) - 15 - 第 7 讲 加减法应用题 - 18 - 第 8 讲 乘除法应用题 - 20 - 第 9 讲 平均数 - 22 - 第 10 讲 植树问题 - 24 - 第 11 讲 巧数图形 - 27 - 第 12 讲 巧求周长 - 30 - 第 13 讲 火柴棍游戏 (一 ) - 33 - 第 14 讲 火柴棍游

    2、戏 (二 ) - 36 - 第 15 讲 趣题巧解 - 38 - 第 16 讲 数阵图 (一 ) - 42 - 第 17 讲 数阵图 (二 ) - 46 - 第 18 讲 能被 2, 5 整除的数的特征 - 50 - 第 19 讲 能被 3 整除的数的特征 - 53 - 第 20 讲 乘、除法的运算律和性质 - 55 - 第 21 讲 乘法中的巧算 - 59 - 第 22 讲 横式数字谜 (二 ) - 61 - 第 23 讲 竖式数字谜 (三 ) - 64 - 第 24 讲 和倍应用题 - 67 - 第 25 讲 差倍应用题 - 70 - 第 26 讲 和差应用题 - 72 - 第 27 讲

    3、巧用矩形面积公式 - 75 - 第 28 讲 一笔画 (一 ) - 78 - 第 29 讲 一笔画 (二 ) - 81 - 第 30 讲 包含与排除 - 83 - 小学奥数基础教程(三年级) 小学奥数基础教程(三年级) 2 第 1讲 加减法的巧算 在进行加减运 算时,为了又快又准确,除了要熟练地掌握计算法则外,还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”,就是将算式中的数分成若干组,使每组的运算结果都是整十、整百、整千的数,再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。 先讲加法的巧算。加法具有以下两个运算律: 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。即 a

    4、+b=b+a, 其中 a, b各表示任意一数。例如, 5+6=6+5。 一般地,多个数相加,任意改变相加的次序,其和不变。例如, a+b+c+d=d+b+a+c= 其中 a, b, c, d各表示任意一数。 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者,先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变。即 a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c), 其中 a, b, c各表示任意一数。例如, 4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。 一般地,多个数 (三个以上 )相加,可先对其中几个数相加,再与其它数相加。 把加法交换律与加法结合律综合起来应用,就得到加法的一些巧算方法

    5、。 1.凑整法 先把加在一起为整十、整百、整千的加数 加起来,然后再与其它的数相加。 例 1计算: (1)23 54 18 47 82; (2)(1350 49 68) (51 32 1650)。 解: (1)23 54 18 47 82 (23 47) (18 82) 54 70 100 54 224; 小学奥数基础教程(三年级) 3 (2)(1350 49 68) (51 32 1650) 1350 49 68 51 32+1650 (1350 1650) (49 51) (68 32) 3000 100 100 3200。 2.借数凑整法 有些题目直观上凑整 不明显,这时可“借数”凑整。

    6、例如,计算 976 85,可在 85中借出 24,即把 85 拆分成 24 61,这样就可以先用 976加上 24,“凑”成 1000,然后再加 61。 例 2计算: (1)57 64 238 46; (2)4993 3996 5997 848。 解: (1)57 64 238 46 57 (62 2) 238 (43 3) (57 43) (62 238) 2 3 100 300 2 3 405; (2)4993 3996 5997 848 =4993 3996 5997 (7 4 3 834) =(4993 7) (3996 4) (5997 3) 834 =5000 4000 6000

    7、834 15834。 下面讲减法和加减法混合运算的巧算。加、减法有如下一些重要性质: (1)在连减或加、减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如, a-b-c a-c-b, a-b+c a+c-b, 其中 a, b, c各表示一数。 (2)在加、减法混合运算中,去括号时:如果括号前面是“”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变;如果括号前面是“ -”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“”变为“ -”,“ -”变为“”。例如, a (b-c)=a+b-c, a-(b c)=a-b-c, 小学奥数基础教程(三年级) 4 a-(b-c)=a-b+c。 (

    8、3)在加、减法混合运算中,添括号时:如果添加的括号前面是“”号,那么括号内的数的原运算符号不变;如果添加的括号前面是“ -”号,那么括号内的数的原运算符号“”变为“”,“ -”变为“”。例如, a b-c a (b-c), a-b c=a-(b-c), a-b-c a-(b c)。 灵活运用这些性质 ,可得减法或加、减法混合计算的一些简便方法。 3.分组凑整法 例 3计算: (1)875-364-236; (2)1847-1928 628-136-64; (3)1348-234-76 2234-48-24。 解: (1)875-364-236 =875-(364 236) =875-600=2

    9、75; (2)1847-1928 628-136-64 =1847-(1928-628)-(136 64) =1847-1300-200 347; (3)1348-234-76 2234-48-24 =(1348-48)+(2234-234)-(76 24) =1300 2000-100 3200。 4.加补凑整法 例 4计算: (1)512-382; (2)6854-876-97; (3)397-146 288-339。 解: (1)512-382=(500 12)-(400-18) =500+12-400+18 小学奥数基础教程(三年级) 5 (500-400) (12 18) 100 3

    10、0 130; (2)6854-876-97 =6854-(1000-124)-(100-3) =6854-1000 124-100 3 =5854+24+3 5881; (3)397-146 288-339 397 3-3-146 288 12-12-339 (397 3) (288 12)-(146 3 12 339) 400 300-500=200。 小学奥数基础教程(三年级) - 6 - 第 2讲 横式数字谜 (一 ) 在一个数学式子 (横式或竖式 )中擦去部分数字,或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式,叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的

    11、数值。 例如,求算式 324+ =528中所代表的 数。 根据“加数 =和 -另一个加数”知, =582-324 258。 又如,求右竖式中字母 A, B所代表的数字。显然个位数相减时必须借位,所以,由 12-B 5知, B 12-5 7;由 A-1 3知, A 3 1 4。 解数字谜问题既能增强数字运用能力,又能加深对运算的理解,还是培养和提高分析问题能力的有效方法。 这一讲介绍简单的算式 (横式 )数字谜的解法。 解横式数字谜,首先要熟知下面的运算规则: (1)一个加数 +另一个加数 =和; (2)被减数 -减数 =差; (3)被乘数乘数 =积; (4)被除数 除数 =商。 由它们推演还可

    12、以得到以下运算规则: 由 (1),得 和 -一个加数 =另一个加数; 其次,要熟悉数字运算和拆分。例如, 8可用加法拆分为 8 0 8 1 7 2 6 3 5 4 4; 24可用乘法拆分为 24 1 24=2 12 3 8 4 6(两个数之积 ) =1 2 12 2 2 6= (三个数之积 ) =1 2 2 6 2 2 2 3= (四个数之积 ) 例 1 下列算式中, *各代表什么数? (1) +5 13-6; (2)28- 15 7; (3)3 =54; (4) 3 87; (5)56 * 7。 解: (1)由加法运算规则知, =13-6-5 2; (2)由减法运算规则知, 28-(15 7

    13、) 6; (3)由乘法运算规则知, 54 3 18; (4)由除法运算规则知, =87 3 261; (5)由除法运算规则知, * 56 7 8。 例 2 下列算式中,各代表什么数? (1) + + =48; (2) 6 21-; (3)5 -18 6 12; (4)6 3-45 13。 解: (1)表示一个数,根据乘法的意义知, + + = 3, 故 =48 3 16。 (2)先把左端 ( 6)看成一个数,就有 ( 6) 21, 3 21-6, 15 3 5。 (3)把 5, 18 6分别看成一个数,得到 小学奥数基础教程(三年级) - 7 - 5 =12 18 6, 5 =15, =15

    14、5 3。 (4)把 6 3, 45分别看成一个数,得到 45 6 3-13, 45 5, 45 5 9。 例 3(1)满足 58 12 71 的整数等于几? (2)180是由哪四个不同的且大于 1的数 字相乘得到的?试把这四个数按从小到大的次序填在下式的里。 180=。 (3)若数,满足 =48和 =3, 则,各等于多少? 分析与解: (1)因为 58 12 4 10, 71 12 5 11, 并且为整数,所以,只有 =5才满足原式。 (2)拆分 180为四个整数的乘积有很多种方法,如 180 1 4 5 90 1 2 3 30 但拆分成四个“大于 1”的数字的乘积,范围就缩小了,如 180

    15、2 2 5 9 2 3 5 6 若再限 制拆分成四个“不同的”数字的乘积,范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种: 180 2 3 5 6。 所以填的四个数字依次为 2, 3, 5, 6。 (3)首先,由 =3知,因此,在把 48拆分为两数的乘积时,有 48 48 1 24 2 16 3 12 4 8 6, 其中,只有 48 12 4 中, 12 4=3,因此 =12, =4。 这道题还可以这样 解: 由 =3知, = 3。把 =48中的换成 3,就有 ( 3) 48, 于是得到 =48 3 16。因为 16 4 4,所以 =4。再把 = 3 中的换成 4,就有 = 3=4 3=12。

    16、 这是一种“代换”的思想,它在今后的数学学习中应用十分广泛。 下面,我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。 例 4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号,使下列各式成立: (1)4 4 4 4 24; (2)5 5 5 5 5=6。 解: (1)因为 4 4 4 4 24,所以必须填一个“”。 4 4 16,剩下的两个 4只需凑成8,因此,有如下一些填法: 4 4 4 4 24; 4 4 4 4 24; 4 4 4 4 24。 (2)因为 5+1=6,等号左端有五个 5,除一个 5外,另外四个 5凑成 1,至少要有一个“”,有如下填法: 5 5+5-5+5 6; 5 5 5 5-5 6; 小

    17、学奥数基础教程(三年级) - 8 - 5 5 5 5 5=6; 5 5 5 5 5 6。 由 例 4看出,填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的,如果只是盲目地“试算”,那么就可能走很多弯路。 例 5 在下式的两数中间添上四则运算符号,使等式成立: 8 2 3 3 3。 分析与解: 首先考察右端 “ 3 3”,它有四种填法: 3+3 6; 3-3 0; 3 3 9; 3 3=1。 再考察左端“ 8 2 3”,因为只有一个奇数 3,所以要想得到奇数, 3的前面只能填“”或“ -”,要想得到偶数, 3的前面只能填“”。经试算,只有两种符合题意的填法: 8

    18、-2 3 3 3; 8 2-3 3 3。 填运算符号可加深对四则运算的理解和认识,也是培养分析能力的好内容。 练习 2 1.在下列各式中,分别代表什么数? +16 35; 47- =12; -3 15; 4 =36; 4=15; 84 =4。 2.在下列各式中,各代表什么数? ( +350) 3=200; (54- ) 4 0; 360- 7 10; 4 9- 5=1。 3.在下列各式中,各代表什么数? 150- - =; ; 9 2 =22。 4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的?试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的里: 120 。 5.若数,同时满足 =36和 - =5, 则,

    19、各 等于多少? 6.在两数中间添加运算符号,使下列等式成立: (1)5 5 5 5 5 3; (2)1 2 3 4 1。 7.在下列各式的内填上合适的运算符号,使等式成立: 12 4 4=10 3。 8.在下列各式的内填上合适的运算符号,使等式成立: 123 45 67 89 100; 123 45 67 8 9 100; 123 4 5 67 89 100; 123 4 5 6 7 8 9 100; 12 3 4 5 67 8 9 100; 1 23 4 56 7 8 9 100; 12 3 4 5 6 7 89 100。 答案与提示 练习 2 1.略。 2. = 250, =54, = 5

    20、0, =175。 3. =50, =0或 2, = 2。 小学奥数基础教程(三年级) - 9 - 4.1 3 5 8或 1 4 5 6或 2 3 4 5。 5. =9, =4。 6.(1)5-5 5-5 5= 3; (2)1 2 3-4=1。 7.12 4 4=10-3或 12 4 4=10 3。 8.123-45-67 89 100; 123 45 67 8 9 100; 123 4 5 67 89 100; 123 4 5 6 7 8 9 100; 12 3 4 5 67 8 9 100; 1 23 4 56 7 8 9=100; 12-3-4 5-6 7 89 100。 第 3讲 竖式数

    21、字谜 (一 ) 这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法数字谜问题的基本功,在于掌握好上一讲中介绍的运算规则 (1)(2)及其推演的变形规则,另外还要掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析,找出解题的“突破口”。题目不同,分析的方法不同,其“突破口”也就不同。这需 要通过不断的“学”和“练”,逐步积累知识和经验,总结提高解题能力。 例 1 在右边的竖式中, A, B, C, D各代表什么数字? 解: 显然, C=5, D=1(因两个数 字之和只能进一位 )。 由于 A 4 1即 A 5的个位数为 3,且必进一位 (因为 4 3),所以 A 5=13,从而 A13-5=8。

    22、同理,由 7 B 1=12,即 B 8 12,得到 B 12-8 4。 故所求的 A=8, B=4, C=5, D=1。 例 2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和: 分析与解: (1)由于和的个位数字是 9,两个加 数的个位数字之和不大于 9 9 18,所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是 9。 (这是“突破口” ) 再由两个加数的个位数之和未进位,因而两个加数的十位数字之和就是 14。 故这两个加数的四个数字之和是 9 14=23。 (2)由于和的最高两位数是 19,而任何两个一位数相加的和都不超过 18,因此,两个加数的个位数相加后必进一位。 (这是“突破口”,与

    23、(1)不同 ) 这样,两个加数的个位数字相加之和是 15,十位数字相加之和是 18。 所求的两个加数的四个数字之和是 15 18 33。 注意: (1)(2)两题虽然题型相同,但两题的“突破口”不同。 (1)是从和的个位着手分析, (2)是从和的最高两位着手分析。 例 3 在下面的竖式中, A, B, C, D, E各代表什么数? 分析与解: 解减法竖式数字谜,与解加法竖式数字谜的分析方法一样,所不同的是“减法”。 首先,从个位减起 (因已知差的个位是 5)。 4 5,要使差的个位为 5,必须退位,于是,由 14-D 5知, D=14-5 9。 (这是“突破口” ) 再考察十位数字相减:由 B

    24、-1-0 9知,也要在百位上退位,于是有 10 B-1-0 9,从而 B 0。 百位减法中 ,显然 E=9。 千位减法中,由 10 A-1-3 7知, A 1。 万位减法中,由 9-1-C 0知, C 8。 所以, A 1, B 0, C 8, D 9, E 9。 小学奥数基础教程(三年级) - 10 - 例 4 在下面的竖式中,“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把这个文字式写成符合题意的数字式。 分析与解:例 3是从个位着手分析,而这里就只能从首位着手分析。 由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知,“炮” 1。 被减数与减数的百位数相同,其相减又是退位相减,所以,“马” 9。至

    25、此,我们已得到下式: 由上式知,个位上的运算也 是退位减法,由 11-“车” =9得到“车” 2。 因此,符合题意的数字式为: 例 5 在右边的竖式中,“巧,填,式,谜”分别代表不同的数字,它们各等于多少? 解: 由 (4谜 )的个位数是 0知,“谜” 0或 5。 当“谜” 0时, (3式 )的个位数是 0,推知“式” 0,与“谜”“式”矛盾。 当“谜” 5时,个位向十位进 2。 由 (3式 +2)的个位数是 0知,“式” 6,且十位要向百位进 2。 由 (2填 +2)的个位数是 0,且不能向千位进 2知,“填” 4。 最后推知,“巧” 1。 所以“巧” 1,“填” 4,“式” =6,“谜”

    26、5。 练习 3 1.在下列各竖式的中填上适当的数字,使竖式成立: 2.下列各竖式中,里的数字被遮盖住了,求各竖式中被盖住的各数字的和: 3.在下列各竖式的中填入合适的数字,使竖式成立: 4.下式中不同的汉字代表 1 9中不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。这个竖式的和是多少? 5.在下列各竖式的中填入合适的数字,使竖式成立: 答案与提示 练习 3 1. (1) 764 265=1029; (2) 981 959=1940; (3) 99 903 1002; (4) 98 97 923 1118。 2.(1) 28; (2) 75。 3.(1) 23004-18501 4503; (2) 10

    27、56-989 67; (3) 24883-16789=8094; (4) 9123-7684=1439。 4.987654321。 5.提示:先解上层数谜,再解下层数谜。 第 4讲 竖式数字谜 (二 ) 本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。 掌握好乘、除法的基本运算规则 (第 2讲的公式 (3)(4)及推演出的变形式子 )是解乘、除法竖式谜的基础 。根据题目结构形式,通过综合观察、分析,找出“突破口”是解题的关键。 例 1 在左下乘法竖式的中填入合适的数字,使竖式成立。 小学奥数基础教程(三年级) - 11 - 分析与解: 由于积的个位数是 5,所以在乘数和被乘数的个位数中,

    28、一个是 5,另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的 7倍,所以乘数是大于 7 的奇数,即只能是 9(这是问题的“突破口” ),被乘数的个位数是 5。 因为 7 9 70 8 9,所以,被乘数的百位数字只能是 7。至此,求出被乘数是 785,乘数是 9(见右上式 )。 例 2 在右边乘法竖式的里填入合适的数字,使竖式成立。 分析与解: 由于乘积的数 字不全,特别是不知道乘积的个位数,我们只能从最高位入手分析。 乘积的最高两位数是 2,被乘数的最高位是 3,由 可以确定乘数的大致范围,乘数只可能是 6, 7, 8, 9。到底是哪一个呢?我们只能逐一进行试算: (1)若乘数为 6,则积的个位填 2,并向

    29、十位进 4,此时,乘数 6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是 5(因 4+5=9)。这样一来,被乘数的十位上就无数可填了。这说明乘数不能是 6。 (2)若乘数为 7,则积的个位填 9,并向十位进 4。与 (1)分析相同,为使积的十位是 9,被乘数的十位只能填 5,从而积的 百位填 4。得到符合题意的填法如右式。 (3)若乘数为 8,则积的个位填 6,并向十位进 5。为使积的十位是 9,被乘数的十位只能填 3或 8。 当被乘数的十位填 3时,得到符合题意的填法如右式。当被乘数的十位填 8时,积的最高两位为 3,不合题意。 (4)若乘数为 9,则积的个位填 3,并向十位进 6。为使积的十

    30、位是 9,被乘数的十位只能填7。而此时,积的最高两位是 3 ,不合题意。 综上知,符合题意的填法有上面两种。 除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。 例 3 在左下边除法竖式的中填入适当的数,使竖式成立。 分析与解: 由 48 8=6即 8 6=48知,商的百位填 6,且被除数的千位、百位分别填 4, 8。又显然,被除数的十位填 1。由 1 =商的个位 8 知,两位数 1能被 8 除尽,只有 16 8=2,推知被除数的个位填 6,商的个位填 2。填法如右上式。 例 3是从最高位数入手分析而得出解的。 例 4 在右边除法竖式的中填入合适的数字。使竖式成立。 小学奥数基础教程(三年级) - 12

    31、 - 分析与解: 从已知的几个数入手分析。 首先,由于余数是 5,推知除数 5,且被除数个位填 5。 由于商 4时是除尽了的,所以,被除数的十位应填 2,且由于 3 4=12, 8 4=32,推知,除数必为 3或 8。由于已经知道除数 5,故除数 =8。 (这是关键! ) 从 8 4=32知,被除数的百位应填 3,且商的百位应填 0。 从除数为 8,第一步除法又出现了 4, 8 8=64, 8 3=24,这说明商的千位只能填 8或3。试算知, 8和 3都可以。所以,此题有下面两种填法。 练习 4 1.在下列各竖式的里填上合适的数: 2.在右式中,“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时,

    32、乘法竖式成立? 3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字 ,它 们各等于多少时,右边的乘法竖式成立? 4.在下列各除法竖式的里填上合适的数,使竖式成立: 5.在下式的里填上合适的数。 答案与提示 练习 4 小学奥数基础教程(三年级) - 13 - 1.(1) 7865 7 55055; (2)2379 8= 19032或 7379 8= 59032。 2.“我” 5,“爱” =1,“数” =7,“学” =2。 3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表 8, 7, 9, 1, 2。 4.(1) 5607 7=801; (2) 822 3=274。 5. 第 5讲

    33、找规律 (一 ) 这一讲我们先介绍什么是“数列”,然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。 按一定次序排列的一列数就叫数列。例如, (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, (2) 1, 2, 4, 8, 16, 32; (3) 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, (4) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13。 一个数列中从左至右的第 n个数,称为这个数列的第 n项。如,数列 (1)的第 3项是 3,数列 (2)的第 3项是 4。一般地,我们将数列的第 n项记作 an。 数列中的数可以是有限多个,如数列 (2)(4),也可以是无限多个,如 数列 (1)(3)。 许多数列中的数是按一定规

    34、律排列的,我们这一讲就是讲如何发现这些规律。 数列 (1)是按照自然数从小到大的次序排列的,也叫做自然数数列,其规律是:后项 =前项 +1,或第 n项 an n。 数列 (2)的规律是:后项 =前项 2,或第 n项 数列 (3)的规律是:“ 1, 0, 0”周而复始地出现。 数列 (4)的规律是:从第三项起,每项等于它前面两项的和,即 a3=1+1=2, a4=1+2=3, a5=2+3 5, a6=3+5=8, a7=5+8=13。 常见的较简单的数列规律有这样 几类: 第一类是数列各项只与它的项数有关,或只与它的前一项有关。例如数列 (1)(2)。 第二类是前后几项为一组,以组为单元找关系

    35、才可找到规律。例如数列 (3)(4)。 第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些,我们用后面的例 3、例 4来作一些说明。 例 1 找出下列各数列的规律,并按其规律在 ( )内填上合适的数: (1)4, 7, 10, 13, ( ), (2)84, 72, 60, ( ), ( ); (3)2, 6, 18, ( ), ( ), (4)625, 125, 25, ( ), ( ); (5)1, 4, 9, 16, ( ), (6)2, 6, 12, 20, ( ), ( ), 解: 通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析,可发现 (1)的规律是:前项 +3=后项。所

    36、以应填 16。 (2)的规律是:前项 -12=后项。所以应填 48, 36。 (3)的规律是:前项 3=后项。所以应填 54, 162。 小学奥数基础教程(三年级) - 14 - (4)的规律是:前项 5=后项。所以应填 5, 1。 (5)的规律是:数列各项依次为 1=1 1, 4=2 2, 9=3 3, 16=4 4, 所以应填 5 5=25。 (6)的规律是:数列各项依次为 2=1 2, 6=2 3, 12=3 4, 20=4 5, 所以,应填 5 6=30, 6 7=42。 说明:本例中各数列的每一项都只与它的项数有关,因此 an可以用 n来表示。各数列的第 n项分别可以表示为 (1)a

    37、n 3n+1; (2)an 96-12n; (3)an 2 3n-1; (4)an 55-n; (5)an n2; (6)an n(n+1)。 这样表示的好处在于,如果求第 100项等于几,那么不用一项一项地计算,直接就可以算出来,比如数列 (1)的第 100项等于 3 100+1=301。本例中,数列 (2)(4)只有 5项,当然没有必要计算大于 5的项数了。 例 2 找出下列各数列的规律,并按其规律在 ( )内填上合适的数: (1)1, 2, 2, 3, 3, 4, ( ), ( ); (2)( ), ( ), 10, 5, 12, 6, 14, 7; (3) 3, 7, 10, 17,

    38、27, ( ); (4) 1, 2, 2, 4, 8, 32, ( )。 解: 通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。 (1)把数列每两项分为一组, 1, 2, 2, 3, 3, 4,不难发现其规律是:前一组每个数加 1得到后一组数,所以应填 4, 5。 (2)把后面已知的六个数分成三组: 10, 5, 12, 6, 14, 7,每组中两数的商都是 2,且由 5,6, 7的次序知,应填 8, 4。 (3)这个数列的规律是:前面两项的和等于后面一项,故应填 ( 17+27=)44。 (4)这个数列的规律是:前面两项的乘积等于后面一项,故应填 (8 32=)256。 例 3 找出下列各数列

    39、的规律,并按其规律在 ( )内填上合适的数: (1)18, 20, 24, 30, ( ); (2)11, 12, 14, 18, 26, ( ); (3)2, 5, 11, 23, 47, ( ), ( )。 解: (1)因 20-18=2, 24-20=4, 30-24=6,说明 (后 项 -前项 )组成一新数列 2, 4, 6,其规律是“依次加 2”,因为 6后面是 8,所以, a5-a4=a5-30=8,故 a5=8+30=38。 (2)12-11=1, 14-12=2, 18-14=4, 26-18=8,组成一新数列 1, 2, 4, 8,按此规律, 8后面为 16。因此, a6-a

    40、5 a6-26=16,故 a6 16+26=42。 (3)观察数列前、后项的关系,后项 =前项 2+1,所以 a6=2a5+1 2 47+1 95, a7 2a6+1 2 95+1=191。 例 4 找出下列各数列的规律,并按其 规律在 ( )内填上合适的数: (1)12, 15, 17, 30, 22, 45, ( ), ( ); (2) 2, 8, 5, 6, 8, 4, ( ), ( )。 解: (1)数列的第 1, 3, 5,项组成一个新数列 12, 17, 22,其规律是“依次加 5”,22 后面的项就是 27;数列的第 2, 4, 6,项组成一个新数列 15, 30, 45,其规律

    41、是“依次加 15”, 45后面的项就是 60。故应填 27, 60。 (2)如 (1)分析,由奇数项组成的新数列 2, 5, 8,中, 8后面的数应为 11;由偶数项组成的新数列 8, 6, 4, 中, 4后面的数应为 2。故应填 11, 2。 练习 5 按其规律在下列各数列的 ( )内填数。 小学奥数基础教程(三年级) - 15 - 1.56, 49, 42, 35, ( )。 2.11, 15, 19, 23, ( ), 3.3, 6, 12, 24, ( )。 4.2, 3, 5, 9, 17, ( ), 5.1, 3, 4, 7, 11, ( )。 6.1, 3, 7, 13, 21,

    42、 ( )。 7.3, 5, 3, 10, 3, 15, ( ), ( )。 8.8, 3, 9, 4, 10, 5, ( ), ( )。 9.2, 5, 10, 17, 26, ( )。 10.15, 21, 18, 19, 21, 17, ( ), ( )。 11.数列 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17。 (1)如果其中缺少一个数,那么这个数是几?应补在何处? (2)如果其中多了一个数,那么这个数是几?为什么? 答案与提示 练习 5 1.28。 2.27。 3.48。 4.33。提示:“后项 -前项”依次为 1, 2, 4, 8, 16, 5.18。提示:后项等于前两项之

    43、和。 6.31。提示:“后项 -前项”依次为 2, 4, 6, 8, 10。 7.3, 20。 8.11, 6。 9.37。 提示: an=n2+1。 10. 24, 15。提示:奇数项为 15, 18, 21, 24;偶数项为 21, 19, 17, 15。 11.(1)缺 9,在 7与 11 之间; (2)多 15,因为除 15以外都不是合数。 第 6讲 找规律 (二 ) 这一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化规律。 例 1 观察下列图形的变化规律,并按照这个规律将第四个图形补充完整。 分析与解: 观察前三个图,从左至右,黑点数依次为 4, 3, 2个,并且每个图形依次按逆时针方向旋

    44、转 90,所以第四个图如右图所示。 观察图形的变化,主要从各图形的形状、方向、数量、大 小及各组成部分的相对位置入手,从中找出变化规律。 例 2 在下列各组图形中寻找规律,并按此规律在“?”处填上合适的数: 小学奥数基础教程(三年级) - 16 - 解: (1)观察前两个图形中的数可知,大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半,故 第三个图形中的“?” =5 3 8 2=60; 第四个图形中的“?” =(21 2) 3 2=7。 (2)观察前两个图形中的已知数,发现有 10=8+5-3, 8=7+4-3, 即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故 第三个图形中的“?”

    45、 =12+1-5=8; 第四个图形中的“?” =7+1-5=3。 例 3 寻找规律填数: 解: (1)考察上、下两数的差。 32-16=16, 31-15=16, 33-17=16,可知,上面那个“?” =35-16=19,下面那个“?” =18+16=34。 (2)从左至右,一上一下地看,由 1, 3, 5,?, 9,知, 12下面的“?” =7;一下一上看,由 6, 8, 10, 12,?,知, 9下面的“?” =14。 例 4 寻找规律在空格内填数: 解: (1)因为前两图中的三个数满足: 256=4 64, 72=6 12, 所以,第三图中空格应填 12 15=180;第四图中空格应填

    46、 169 13=13。第五图中空格应填 224 7=32。 (2)图中下面一行的数都是上一行对应数的 3倍,故 43下面应填 43 3=129; 87上面应填 87 3=29。 例 5在下列表格中寻找规律,并求出“?”: 解: (1)观察每行中两边的数与中间的数的关系,发现 3+8=11, 4+2=6,所以,? =5+7=12。 (2)观察每列中三数的关系,发现 1+3 2=7, 7+2 2=11,所以,? =4+5 2=14。 例 6 寻找规律填数: (1) (2) 小学奥数基础教程(三年级) - 17 - 解: (1)观察其规律知 (2)观察其规律知: 观察比较图形、图表、数列的变化,并能

    47、从图形、数量间的关系中发现规律,这种能力对于同学们今后的学习将大有益处。 练习 6 寻找规律填数: 6.下图中第 50个图形是还是? 答案与提示 练习 6 1.5。提示:中间数 =两腰数之和底边数。 小学奥数基础教程(三年级) - 18 - 2.45; 1。提示:中间数 = 周围三数之和 3。 3.(1)13。提示:中间数等于两边数之和。 (2)20。提示:每行的三个数都成 等差数列。 4.横行依次为 60, 65, 70, 75, 325; 竖行依次为 40, 65, 90, 115, 325。 5.14。提示: (23 5) 2=14。 6.。 7. 714285; 857142。 8. 8888886; 9876543 9。 9.36。提示:等

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