1、找规律（一）我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1 ，2 ，0 ，1，2，0，是按照 0，1，2 三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。下面，我们通过一些例题作进一步讲解。例 1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照 5 盏红灯、再接 4 盏蓝灯、再接 3
2、 盏黄灯，然后又是 5 盏红灯、4 盏蓝灯、 3 盏黄灯、这样排下去。问：（1）第 100 盏灯是什么颜色？（2）前 150 盏彩灯中有多少盏蓝灯？分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照 5 红、4 蓝、3 黄，每 12 盏灯一个周期循环出现。（1）100128 4，所以第 100 盏灯是第 9 个周期的第 4 盏灯，是红灯。（2）15012=126，前 150 盏灯共有 12 个周期零 6 盏灯，12 个周期中有蓝灯 41248（盏），最后的 6 盏灯中有 1 盏蓝灯，所以共有蓝灯 481=49（盏）。例 2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于 25。已知第 1 个数是 3，第 6 个数
3、是6，第 11 个数是 7。问：这串数中第 24 个数是几？前 77 个数的和是多少？分析与解：因为第 1，2 ，3 ， 4 个数的和等于第 2，3，4，5 个数的和，所以第 1 个数与第 5 个数相同。进一步可推知，第 1，5 ，9，13，个数都相同。同理，第 2，6 ，10，14，个数都相同，第 3，7， 11，15，个数都相同，第4，8，12，16个数都相同。也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第 2 个数等于第 6 个数，是 6；第 3 个数等于第 11 个数，是 7。前三个数依次是 3，6，7，第四个数是25-（3+6+7）=9 。这串数按照 3，6 ，7 ，9
4、 的顺序循环出现。第 24 个数与第 4 个数相同，是 9。由774 91 知，前 77 个数是 19 个周期零 1 个数，其和为 2519+3=478。例 3 下面这串数的规律是：从第 3 个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第 88 个数是几？628088640448 分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：当写出第 21，22 位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第 1，2
5、 位数相同，所以这串数按每 20 个数一个周期循环出现。由 8820=48 知，第 88 个数与第 8 个数相同，所以第 88 个数是 4。从例 3 看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。例 4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？135761939237134 分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例 3 的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体
6、数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。例 5 A， B，C，D 四个盒子中依次放有 8，6，3 ，1 个球。第 1 个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第 2 个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子当 100 位小朋友放完后，A，B ，C，D 四个盒子中各放有几个球？分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B ，C ，D 四个盒子中的球数如下表：可以看出，第 6 人放过后与第 2
7、人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第 2人放过后，每经过 4 人，四个盒子中球的情况重复出现一次。（100-1 ）4243，所以第 100 次后的情况与第 4 次（3 14）后的情况相同，A，B ，C ，D 盒中依次有 4，6，3 ，5 个球。练习 71有一串很长的珠子，它是按照 5 颗红珠、3 颗白珠、 4 颗黄珠、2 颗绿珠的顺序重复排列的。问：第 100 颗珠子是什么颜色？前 200 颗珠子中有多少颗红珠？2将 1，2 ，3，4，除以 3 的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个数列前 100 个数的和。3有一串数，前两个数是 9 和 7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第 100 个数是几？前 100 个数之和是多少？4有一列数，第一个数是 6，以后每一个数都是它前面一个数与 7 的和的个位数。这列数中第 88 个数是几？5小明按 13 报数，小红按 14 报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了 100 个数时，有多少次两人报的数相同？6A，B ，C，D 四个盒子中依次放有 9，6，3，0 个小球。第 1 个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出 3 个球放到其它盒子中各 1 个球；第 2 个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出 3 个球放到其它盒子中各 1 个球当 100 个小朋友放完后，A，B ，C，D 四个盒子中各放有几个球？
