1、中学数学杂志2013年第9期 再议圆锥曲线中三直线斜率成等差数列问题 宁波北仑明港高级中学 315800 柳勋李鑫娟 笔者在研究2013年数学高考题发现：陕西理科 卷第2O题的第二问实际上就是文1中命题1的特 殊情形的逆命题，比较巧合的是通过对江西理科卷 第20题的研究，笔者发现了另一组圆锥曲线中三直 线斜率成等差数列命题，将之整理成文，与大家交 流，希望对大家学习、研究有所启发与帮助 命题1 过抛物线c：y2=2px(p0)的对称 轴上的定点肘(m，0)(m0)的直线AB交抛物线c 于A、 两点，交直线z： =一m于点，点P是过点 垂直 轴的直线上异于点 的任一点，则直线PA， PN，P曰的
2、斜率成等差数列 一 l y 尸 。 Mo 证明 如图1，2所示，设A(x ，Y )，8(x：，Y：)， 直线AB方程： =ty+m， 则P( 0)( o)，J7、，(一m，一 )， ： 一 + + fy =2p y2一 一2pm：0， L =tV+m 故Y1+Y2=2p ， 1Y2：一 m Yk = = ： 1 Yo， 1 Yo 了一 朋 了一 所以 + =了1一 Yo+了1一 Yo ：一2一yo l!+ 1：一2一 丝 t t、Y1 Y2， t Y,Y2 ： 一 = -Ymo=2k-4-t t 2pro ：一=一= m 所以直线PA，PN，PB的斜率成等差数列 命题2 过定点M(m，0)(m
3、0)的直线AB交 椭圆c： + =1(口 60)于A、 两点，交直 2 线z： = 于点N，点P是过点M垂直 轴的直线 上异于点 的任一点，则直线PA，PN，PB的斜率成 等差数列 ， P 。 、 l 、 一 J，一 L 、一 ，一一 P 。 r 、 一 图3 图4 证明 当直线AB为 轴时，A(一Ct，0)，B(口， 0)，N(a2，0)，P(m，Yo)()，00) 所以 +J = + = ， L一 一 ， 口 m 一口 所以k + 船=2iP，所以直线 ，P，P 的 斜率成等差数列 当直线AB不与 轴重合时，设A(x。，Y )，B( ， Y2)，直线AB方程： =ty+m，P(1Tt，Yo
4、)(Yo0)， ( ， )所以后 ：Y o =了1+ ，J一 m 由f 吾 1 (口z+ z)yz+2mtb2y+ 一I l L =ty+m m 62。62=o故y +)，2一 ， m2b2一口2b2 y-yz _ 又 =Y lYO= = 嚣景 6罨 娥6善冕 毛9 9 中学数学杂志2013年第9期 _一了一Yl 朋 了一了 + 朋=(一1一 )+(一1一了Yo 1t t Y t ) ， f ， =一 ( + ) 2-了Yo 2 Yo， 2mtb 、 2Yo 2mt 一t一了I一 2 b= b J 一t+一t m 一口 7 m 一0 ：+ ：2k 所以直线PA，PN，PB的斜率成等差数列 命题
5、3 过定点 (m，0)(m9)的直线A日交 双曲线c： 一 =1于A、 两点，交直线 ： = m 0 于点N，点P是过点M垂直 轴的直线上异于点 的任一点，则直线 ，P，P 的斜率成等差数列 证明略 当三个命题中的定 点 取特殊点即圆锥曲， 线的焦点时，会得出圆锥 曲线的一组特殊性质： 性质 过圆锥曲线 焦点F的任一直线Z交圆 q M j 图5 锥曲线C于A、B两点，交对应准线于点N，点P是过 焦点F垂直长轴(抛物线为对称轴)的直线上异于 点，的任一点，则直线 ，PJ7、，P 的斜率成等差数 列 参考文献 1 张乃贵，邢友宝圆锥曲线中三直线斜率成等差数列 的三个命题J，中学擞学杂志)2olo，
6、(1) 也谈 为什么总是一样 北京市朝阳外国语学校 100012 孔志文 同学们在学习或复习概率的过程中，概型的识 别是高中数学的难点内容之一然而，笔者就遇到这 么一件事，对同一个问题，不同的同学选择了不同的 概型，但是得到的期望却一样这是为什么呢?文 1汪仁林老师从定性的角度进行了详细分析，笔 者认为对于蟛为什么总是一样，进行定量分析还是 非常必要的 “ 题目 (2012年北京市朝阳区高三一模) 某次有1000人参加数 学摸底考试，其成绩的频 率分布直方图如图所示， 规定85分及其以上为优 秀 (I)下表是这次考 试成绩的频数分布表，求正整数n，b的值； 分数 区间 75，80) 80，85
7、) 85，90) 90，95) 95，100 人数 50 口 350 30o b ()现在要用分层抽样的方法从这1000人中 抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学 60 生人数； (m)在()中抽取的40名学生中，要随机选 取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人 数”为 ，求 的分布列与数学期望 正确解法 (I)依题意，0=0045 X 1000 =200b=00251000=100 ()设其中成绩为优秀的学生人数为 ， 则 ： ，解得 ：30，即其中40 1000 、 ，川l l u一 ， l。 、 l 成绩为优秀的学生人数为30名 ()依题意， 的取值为0，1，2， =甓=扣 =警 = ， -2)=甓=2豆9删 的分布列为： 0 1 2 3 5 29 P 52 l3 52 = + +,豆29=三2EX 0 1 2 ，所以X的 = 麦+素+豆 ，所以的
