1、第 1 页 版权所有 不得复制初中数学 二次根式及其有意义的条件编稿老师 徐文涛 一校 杨雪 二校 黄楠 审核 隋冬梅【考点精讲】二 次 根 式 概 念 表 示 方 法 有 意 义 的 条 件 1. 二次根式：一般地，我们把形如 （a0）的式子叫做二次根式，其中“ ”称为二a次根号， “a”叫做被开方数。2. 当 a0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 0；当 a0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 0。这就是说， （a0 ）是一个非负数。【典例精析】 例题 1 下列各式中，是二次根式的有（ ）， ， ， ，032x155A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个思路导航： 的
2、根指数为 3； 的被开方数是负数，所以不是二次根式；， ， 符合二次根式的条件，所以是二次根式的有 3 个。2答案：C点评：二次根式必须满足两个条件：根指数为 2；被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。例题 2 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1） ；（2） ；（3）)3(x41x思路导航：要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母中有根式，那么被开方数必须是正数，因为零不能作分母。答案：解：（1）因为（x3） 20，所以无论 x 取任何实数， 都有意义；2)3(x第 2 页 版权所有 不得复制（2）若 有意义，则必有 43x0，即当 x
3、时， 有意义；x3434x（3）若 有意义，则必有 x10，即当 x1 时， 有意义。1 1点评：本题考查了二次根式及分式有意义的条件。用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为 0；二次根式的被开方数是非负数。本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。例题 3 已知 x、y 为实数，y= ，试求 3x+4y 的值。2241xx思路导航：根号内是非负数，分母不为 0 来综合考虑，得到相应的未知字母的值。答案：解：依题意得 ，所以 x2=4，所以 x=2，又因为 x2 是原式分母，42x所以 x20，所以 x2，所以 x=2，此时，y= ，所以 3x+4y=3（2）41+4（ ）=7。41点
4、评：用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为 0。【总结提升】1. 正确理解二次根式的概念，要注意以下几点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号，如 ，3， 。90.（2） “ ”的根指数为2，即“ ”，我们一般省略根指数2，例如 写作 ，而25不是二次根式，所以 不能写作 。35352. 需要掌握三个具有非负性的式子：a 20；|a|0； 0（a0） 。a例如： +（y1） 2+|z|=0， =0， （y1） 2=0，|z|=0，则xxx= 1，y=1，z=0。3. 如果将公式 （a0）逆用，即 （a0） ，就可以把一个非负数写成aa一个数的平方的形
5、式。例如： ， 。 （ab0）232b这一公式常用在因式分解中，如： 。25(5)（答题时间：20 分钟）1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）A. B. C. D. x73第 3 页 版权所有 不得复制2. 要使 是二次根式，则应满足的条件是（ ）baA. a0 且 b0 B. a0 且 b0C. 0 D. 0 且 b0a3. 函数 中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ）21xyA. B. C. D. 4. 使式子 有意义的未知数 x 有（ ）个2(5)xA. 0 B. 1 C. 2 D. 无数5. 已知 是正整数，则实数 a 的最大值为（ ）aA. 12 B. 11 C. 8 D. 36.
6、 若 ，则 =_， 。nm7. 要使 有意义，则 x 应满足_。132x8. 如果 的值是一个整数，且是大于 1 的数，那么满足条件的最小的整数 a=_。49a9. x 取什么实数时，下列各式有意义？（1） ； （2） ；x3x（3） ； （4）2)(x3410. 已知 a、b、c 为实数，且 ，求 a、b、c 的值。012cba第 4 页 版权所有 不得复制1. A 解析：二次根式满足两个条件： 根指数是 2；被开方数为非负数，故选 A。2. D 解析：根据二次根式的意义，被开方数 0；又根据分式有意义的条件，b0。ba3. D 解析：根据题意，得 x20，解得 x2，在数轴上表示为故选 D。4. B 解析： 即 ，所以 ，即 x=5，有 1 个值，故选2(5)2(5)50B。5. B 解析： 是正整数，12a0，a12，当 时，a=11，即为最1a12a大，故选 B。6. 解析： ， ，所以 ，此时，m=2。2mn210n2n7. 根据题意得：3x0 且 2x10，解得： x3。8. =7 ，又 7 是质数，故要使 的值是一个整数，且 a 也是整数，a 是49a49a一个完全平方数，a=1。9. （1） （2） （3）任意实数 （4）xx3x10. b=2 c=13a解： ， ，02()0|1|ca=3，b=2，c=1
