1、相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料1第一讲 定义新运算知识精要1、我们学过的常用运算有：、等。如：235，236。都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”， “ ”， “”， “”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”。2、解题关键：是要正确理解新运算
2、的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行计算。3、注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律、结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的、通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。例题精讲：例 1、设 a、b 都表示数，规定：ab 表示 a 的 3 倍减去 b 的 2 倍，即：ab = a3b2。（1）求 56；65。（2）求（176）2 ；17（ 62） 。（3）这个运算有交换律和结合律吗？相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料2（4）如果已知 4b=2,求 b。练习：1、设 a、b 都表示数，规定：ab=6a2b
3、。试计算 34。2、设 a、b 都表示数，规定：a*b=3a2b。试计算：（1） （5*6）*7 （2）5*（6*7）例 2、对于两个数 a 与 b，规定 ab=abab。（1）求 6 2；2 6。（2）求（17 6） 2 ；17 （ 6 2） 。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料3（3）这个运算有交换律和结合律吗？（4）如果 5x=17,求 x。练习：1、对于两个数 a 与 b，规定：ab=ab（ab） 。（1）求 35, 53 。 （2）求 12 （34）, （12 3）4。2、对于两个数 A 与 B，规定：AB=AB2。试算 64，46。例 3、如果：23=234
4、,54=5678，按此规律计算 35。 相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料4练习：1、如果 52=56，23=234，计算：34。2、如果 24=24（24） ，36=36（36） ，计算 84。例 4、对于两个数 a 与 b，规定 ab=a+(a+1)+(a+2)+(a+b1)。已知 x6=27，求 x。 练习：1、如果 23=234=9，65=678910=40。已知 x3=5973，求 x。2、对于两个数 a 与 b，规定 ab=a+(a+1)+(a+2)+(a+b1)，已知 95x=585，求 x。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料5例
5、5、24=8，53=13，35=11，97=25。按此规律计算：73。 练习：1、有一个数学运算符号“” ，使下列算式成立：62=12，43=13，34=15，51=8。按此规律计算：84。2、表示一种新运算符号。已知 23=9，72=15，35=25。按此规律计算：16 4。针对练习：1、有两个整数是 A、B，AB 表示 A 与 B 的平均数。已知 A6=17，求 A。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料62、对于两个数 a 与 b，规定：ab= abab。如果 5x=29，求 x。3、如果 23=234，54=5678，且 1x=15，求 x。4、如果 1！=1，2！
6、=12=2，3！=123=6，按此规律计算 5！。3、有一个数学运算符号“” ，使下列算式成立：52=60，73=861，44=4936，按此规律计算：15。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料7第二讲 假设法解题趣味数学“鸡兔同笼”问题是我国古代一类著名的数学趣题，最早出现在大约 1500 多年前的古代名著孙子算经中。在那时，一个名叫孙子的人。有一天，他到一位朋友家中做客，看到朋友养了很多的鸡和兔，随口问道：“你家里养了多少只鸡和兔啊？”朋友回答说：“鸡、兔共 35 只，脚共 94 只。请你算一下，鸡、兔各有几只？”你们知道孙子的朋友家养的鸡和兔各多少只吗？ 知识回顾1
7、、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有 10 个头，从下面数有 32 条腿。鸡和兔各有几只？2、鸡兔同笼，共有 45 个头，146 条腿。笼中鸡兔各有多少只？3、停车场上停放了 39 辆三轮车和自行车，两种车共有 108 个轮子。三轮车和自行车各有多少辆？相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料8例题精讲例 1、52 名师生到颐和园去划船，共租了 11 条船。每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人，且每条船恰好坐满。大船、小船各租了多少只？例 2、为了迎接“新中国 60 华诞” ，学校组织了“祖国在我心中知识竞赛” 。共 20 道题，每做对一道题得 5 分，做错或未答扣 2 分。
8、小明本次竞赛得了 79 分，他做对了多少道题？例 3、有 5 元和 10 元的人民币共 14 张，共 100 元。问 5 元币和 10 元币各多少张？相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料9例 4、运输公司给某工厂运送 2000 箱玻璃。合同规定：完好运到一箱给 50 元运费；如损坏一箱，不但不给运费，还要赔偿 400 元成本费。这批玻璃运到后，运输公司共收到运货款 91900 元。运输过程中，损坏了几箱玻璃？例 5、有一元、二元、五元的人民币 50 张，总面值为 116 元。已知一元的比二元的多 2 张，问三种面值的人民币各有几张？针对练习：1、鸡兔同笼，共有 100 个
9、头，320 只脚。鸡兔各有多少只？2、签字笔每支 1.9 元，圆珠笔每支 1.1 元。小红两种笔共买了 16 支，花了 28 元。小红两种笔各买了多少支？相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料103、停车场上停放了 24 辆汽车和三轮摩托车，其中汽车有 4 个轮子，三轮摩托车有 3 个轮子，这些车共有 86 个轮子。那么，停车场上有三轮摩托车多少辆？4、六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票 99 张，共花 28 元。其中单程票每张 0.2 元，往返票每张 0.4 元。那么单程票和往返票相差多少张？5、某此数学竞赛，共有 20 道题。每道题做对得 5 分，没做或做错都要扣 3
10、分。小聪本次竞赛得了 60 分，他做对了多少道题？6、古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首，总字数却反而少了 20 个字。问两种诗个多少首？相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料117、有 2 分和 5 分硬币共 78 枚，总钱数为 2 元 6 角 4 分。两种硬币各多少枚？8、小明从甲地翻山到乙地，路程是 19.5 千米，上山每小时走 3 千米，下山每小时走 5 千米，共花 5.5 小时。问上、下山各用多少小时？9、鸡兔同笼共 100 只，鸡的腿比兔的腿多 80 只，问鸡与兔各多少只？1
11、0、甲、乙、丙三个数的和是 260，其中甲数比乙数多 20，乙数比丙数多 60，甲，乙，丙三个数各是多少？11、王老师在班上搞了一次数学小测验，共 20 道选择题，规定答对一道题得 8 分，答错一道题扣 5 分，不答得 0 分，结果小华一共得了 92 分。问小华一共答对了几道题？相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料1212、有 3 元、5 元和 7 元的电影票 400 张，一共价值 1920 元。其中 7 元的和 5 元的张数相等，三种价格的电影票各有多少张？13、有一元、五元、十元的人民币共 14 张，总计 66 元，其中一元的比十元的多 2 张，问三种人民币各有多少张
12、？14、100 个和尚吃了 100 个面包，大和尚 1 人吃 3 个，小和尚 3 人吃 1 个。求大小和尚各有多少个？15、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，共有腿 118 条，翅膀 20 对。问蜻蜓有多少只？（蜘蛛 8 条腿；蜻蜓 6 条腿，两对翅膀；蝉 6 条腿，一对翅膀）相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料13第三讲 倍数与因数（一） 知识精要：被除数，除数，商都是整数，并且结果没有余数，符合这两个条件就称为“整除” 。一个数的因数是 ，最小的是 ，最大的是 。一个数的倍数是 ，最小的是 ，最大的是 。既是一个数的因数又是这个数的倍数是 。能被 2 整除的数的特
13、征： 我们把能被 2 整除的数叫做 。不能被 2 整除的数叫做 。能被 5 整除的数的特征： 能被 3 整除的数的特征： 既能被 2 又能被 5 整除的数的特征是 能被 2、3、5 整除的数的特征是 例题精讲：例 1、找规律，按照下面每个数因数的个数进行分类。1 的因数： 2 的因数： 3 的因数： 4 的因数： 5 的因数： 6 的因数： 7 的因数： 8 的因数： 9 的因数： 10 的因数： 总结：相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料14叫做质数。质数有 个因数。叫做合数。合数最少有 个因数。既不是质数也不是合数，它有 个因数。最小的质数是 。最小的合数是 。自然数
14、中， 既是质数又是偶数。练习：写出 100 以内所有的质数。例 2、136 是质数还是合数？ 。2把 36 写成几个质数相乘的形式： 36 方法一： 方法二：总结：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做 。“质因数”既是这个数的 数，还必须是 数。练习：用短除法将 8，30，24，50 分解质因数。例 3、写出每组数中公有的因数。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料158 和 9： 18 和 1： 3 和 6： 13 和 14： 1 和 30： 9 和 12： 25 和 26： 13 和 31： 18 和 24： 总结：当 叫做“互质数”思考：哪种情况下的两个数一定是互
15、质数？（1） （2） （3） 练习：下面哪几组是互质数？14 和 15 9 和 16 1 和 20 13 和 23 81 和 2724 和 15 31 和 62 23 和 46 15 和 50 91 和 14例 4、12 和 18 两个数的最大的公因数是 ？方法一：（求两个数的因数） 方法二：（分解质因数）方法三：（短除法）相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料16练习：求下面各组数的最大公因数。8 和 14 15 和 25 81 和 27 91 和 21 56 和 72 例 5、12 和 18 两个数的最小的公倍数是 ？方法一：（求两个数的倍数） 方法二：（分解质因数）方
16、法三：（短除法）练习：求下面各组数的最小公倍数。7 和 14 15，70 和 25 45 和 36 16，64 和 24 57 和 9 例 6、用短除法求最大公因数和最小公倍数。 99 和 11 64 和 16 5 ，45 和 15 相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料1711 和 12 13 和 17 8，9 和 7总结：（1）当两个自然数是 关系时，它们的最大公因数是 ，它们的最小公倍数是 。（2）当两个自然数是 关系时，它们的最大公因数是 ，它们的最小公倍数是 。练习：求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。50 和 75 78 和 26 6 和 11 36 和 54
17、15 和 20 35 和 42 8、24 和 36 45、60 和 75针对练习相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料18一、填空：1、写出下列数的所有因数16（ ） 87（ ）23（ ） 45（ ） 81（ ） 9（ ）62（ ） 14（ ）2、30130（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）3、64=24，6 和 4 是 24 的（ ） ，24 是 6 的（ ） ，也是 4 的（ ） 。4、一个数，既是 12 的倍数，又是 12 的因数，这个数是（ ） 。5、既是 42 的因数，又是 7 的倍数，这些数有（ ） 、 （ ） 、 （ ） 、 （ ） 。6、既是 24 的因数
18、又是 8 的倍数： 7、能同时被 2、3、5 整除的两位数有( ) 。8、有因数 3，也是 2 和 5 的倍数的最小三位数是（ ） 。9、凡是个位上是（ ）或（ ）的数，都是 5 的倍数。一个数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数，这个数的个位上的数字一定是（ ） 。10、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（ ） ；一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（ ） 。11、在自然数中，最小的奇数是( )，最小的偶数是 ( )12、 48 的最小倍数是（ ） ，最大因数是（ ） 。最小因数是（ ） 。13、 用 5、6、7 这三个数字，组成是 5 的倍数的三位数是（ ） ；组成一个是 3 的倍数的
19、最小三位数是（ ） 。14、在 27、68、44、72、587、602、431、800 中。奇数是（ ） ，偶数是（ ） 。15、如果 2754 是 3 的倍数，那么里最小能填（ ） ，最大能填（ ） 。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料1916、a 是大于 0 的自然数，它的最大因数是（ ） ，最小倍数是（ ） 。17、最小的自然数是( ) ；最小的奇数是( )；最小的偶数是( )；最小的质数是( )；最小的合数是( ) 。18、即有因数 2，又有因数 3 的最小数是( )；既有约数 2，又有因数 5 的最小数是( ) ；既有因数 3，又有因数 5 的最小的数是( )
20、。19、既不是质数，又不是偶数的最小自然数是( ) ；既是质数；又是偶数的数是 ( )；既是奇数又是质数的最小数是( )；既是偶数，又是合数的最小数是( ) ；既不是质数，又不是合数的最小数是( ) ；既是奇数，又是合数的最小的数是 ( )。20、除以 2、5、3 余数都是 1 的数，其中，最小的一个是( ) 。21、甲数除以乙数的商是 15，甲乙两数的最大公因数是( ) ；最小公倍数是( )。22、从 0、2、3、5、7 五个数中，选四个数组成一个同时能被 2、3、5 整除的最小的四位数( ) 。23、A225，B235，那么 A、B 的最小公倍数是（ ） 。二、判断题1、任何自然数，它的最
21、大因数和最小倍数都是它本身。 ( )2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。 ( )3、个位上是 0 的数都是 2 和 5 的倍数。 ( )4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。 ( )5、5 是因数，10 是倍数。 ( )6、任何一个自然数最少有两个因数。 ( )7、一个自然数越大，它的因数个数就越多。 ( )8、任何数都没有最大的倍数。 ( )9、1 是所有非零自然数的因数。 ( )10、一个数的因数总是比这个数小。 ( )11、互质的两个数中，至少有一个是质数。 ( )相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料2012、所有的质数都是奇数。 ( )13
22、、质因数必须是质数，不能是合数。 ( )14、有公约数 1 的两个数一定是互质数。 ( )15、1 是质数而不是偶数。 ( )16、质数一定是奇数，合数一定是偶数。 ( )17、两个质数的和一定是偶数。 ( )18、除 2 以外，所有的质数都是奇数。 ( )19、连续的两个自然数相加的和一定是奇数。 ( )20、两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小 ( )三、选择题1、15 的最大因数是（ ） ，最小倍数是（ ） 。1 3 5 152、在 1427 中，2 和 7 都是 14 的（ ） 。倍数 因数 偶数3、一个数，它既是 12 的倍数，又是 12 的因数，这个数是（ ） 。6 12
23、 24 1444、自然数中,凡是 17 的倍数（ ） 。都是偶数 有偶数有奇数 都是奇数5、下面的数，因数个数最多的是（ ） 。 18 36 406、自然数按是不是 2 的倍数来分，可以分为（ ） 。奇数和偶数 倍数和因数 倍数、因数和 07、甲数3=乙数，乙数是甲数的（ ） 。 倍数 因数 自然数8、同时是 2、3、5 的倍数的数是（ ） 。 18 120 75 810相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料219、在 100 以内，能同时被 3 和 5 整除的最大奇数是（ ） 。 95 90 7510、从 323 中至少减去（ ）才能被 3 整除。减去 3 减去 2 减去
24、 111、已知 a 能整除 19，那么 a（ ）是 38 必定是 19 是整数 是 1 或者 1912、一个数的最大因数（ ）它的最小倍数 13、几个质数的连乘积是（ ）合数 质数 最大公因数 最小公倍数14、甲是乙的 15 倍，甲和乙的最小公倍数是（ ）15 甲 乙 甲乙15、一个数的最大因数（ ）它的最小倍数 16、已知 a 能整除 19，那么 a（ ）是 38 必定是 19 是整数 是 1 或者 1917、一棵桔子上结了不少桔子，表示桔子个数的数是（ ）小数 分数 自然数18、下列除不尽的算式是（ ）1682 522.5 12180.6.19、一个质数的因数有（ ）个。 1 2 320、
25、在 100 以内，能同时被 3 和 5 整除的最大奇数是（ ） 。 95 90 7521、从 323 中至少减去（ ）才能被 3 整除。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料22减去 3 减去 2 减去 122、20 的质因数有（ ）个。 1 2 323、下面的式子， （ ）是分解质因数。54239 42237 15351四、1、2、3、6、8、16、24、32、84、96 各数按要求填在横线上。6 的倍数 8 的倍数 24 的因数 32 的因数 五、 从 0、3、6、9 中任意选出 3 个数字，组成符合要求的三位数，（1）3 的倍数有： （2）同时是 2、5 的倍数有：
26、（3）同时是 2、3 的倍数有： （4）同时是 2、3、5 的倍数有： 六、食品店运来 75 个面包，如果每 2 个装一袋，能正好装完吗？如果每 5 个装一袋，能正好装完吗？如果每 3 个装一袋，能正好装完吗？为什么？七、晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了 5 下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了 50 下呢？相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料23八、 （思考题）偶数+偶数= 奇数+ 奇数= 偶数+奇数= 不计算，直接判断下列算式的结果是奇数还是偶数，填在横线上。1428+205 65+285 365+447 100+232 454+222 15+488 546+
27、258 223+3 1454+54 454+236 14+258 25+958 九、找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。20 29 45 53 91 102 117十、求下面各组数的最大公因数。56 和 42 84 和 105 54、72 和 90 60、90 和 120相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料24十一、求下面各组数的最小公倍数。18 和 36 45 和 135 8、18 和 72 48、16 和 24第四讲 倍数与因数（二） 知识精要：能被 2 整除的数的特征： 个位上是 0,2,4,6,8 的数；能被 5 整除的数的特征： 个位上是 0 或 5 的数；
28、能被 3 整除的数的特征： 各个数位上数字之和是 3 的倍数；能被 2、5 整除的数的特征： 个位数字是 0；能被 2、3、5 整除的数的特征： 个位数字是 0，并且能被 3 整除；能被 4 整除的数的特征： 末两位能被 4 整除；能被 8 整除的数的特征： 末三位能被 8 整除；能被 9 整除的数的特征： 各个数位上数字之和能被 9 整除 ；能被 7，11 和 13 整除的数的特征： 末三位数字所表示的数与末三位前面的数字所组成的数的差（大数减小数）能被 7 或 11 或 13 整除。例题精讲：例 1、在下面的数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？哪些能被 9 整除？234， 789
29、， 7756， 8865， 3728， 8064。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料25例 2、在四位数 562 中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被 9，8，4整除？例 3、从 0，2，5，7 四个数字中任选三个，组成能同时被 2，3，5 整除的数，并将这些数从小到大进行排列。例 4、五位数 能被 72 整除，问：A 与 B 各代表什么数字？例 5、六位数 是 6 的倍数，这样的六位数有多少个？相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料26例 6、要使六位数 能被 36 整除，而且所得的商最小，问 A，B，C 各代表什么数字？例 7、ab
30、cabc 能否被 7，11 和 13 整除。 例 8、判断 2684962 能不能被 7 或 11 或 13 整除。例 9、判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？例 10、已知七位数 138A679 是 7 的倍数，求 A。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料27针对练习：练习：1、6539724 能被 4，8，9，24，36，72 中的哪几个数整除？2、个位数是 5，且能被 9 整除的三位数共有多少个？3、一些四位数，百位上的数字都是 3，十位上的数字都是 6，并且它们既能被 2 整除又能被 3 整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？4、五
31、位数 能被 12 整除，求这个五位数。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料285、有一个能被 24 整除的四位数23，这个四位数最大是几？最小是几？6、在内填上合适的数，使五位数 210能同时被 8 和 9 整除。7、学校买了 72 只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少钱吗？8、下列各数哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。9、六位数 17562 是 13 的倍数。中的数字是几？相信相信的力量！
32、 2018 年五年级春季 王城教育内部资料2910、已知 108971 能被 11 整除，求中的数。11、判断 789646 能不能被 7 或 11 或 13 整除。12、 173是个四位数字.数学老师说：“我在这个中先后填入 3 个数字,所得到的 3个四位数,依次可被 9、11、6 整除.”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？13、四位数 7AA3 被 9 整除，则 A=（ ）14、在 123 的左右各添一个数码，使得到的五位数能被 72 整除。15、641是一个四位数，在内依次填入三个数字，使组成的三个四位数依次能被6、9、11 整除。这三个数字之和是（ ）。相信相信的力量！ 2018 年五年级春季 王城教育内部资料3016、四位数 6a2b 能被 2、3、5 整除，这样的四位数是（ ）。17、写出一个同时能被 3、9、11 整除的最大四位数：（ ）。18、首位是 7，其余各位数字都不相同，并能被 9 整除的七位数中最小的是（ ）。19、有一个六位数1989能被 88 整除，这个六位数是（ ）。第五讲 倍数与因数（三）例题精讲: 例 1、求 240 有多少个约数，其约数和是多少？例 2、用一张长 1072 毫米，宽 469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少（不同方法）？
