1、“ PA+k PB”型的最值问题 -孙洋清 【 问题背景 】 “ PA+k PB” 型的最值问题是近几年中考考 查 的热点更是难点。当 k 值为 1时，即可转化为 “ PA+PB”之和 最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为 轴 对称问题来处理。 而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。 此类问题的处理通常以动点 P所在图像的不同来分类，一般分为 2类研究 。即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。 其中点 P 在直线上运动的类型称之为 “胡不归”问题 ； 点 P 在圆 周 上运动的类型称之为 “阿氏圆”问
2、题。 本文将分别从这两类入手与大家共同探究 线段最值问题的解决方案。 【 知识储备 】 线段最值问题常用原理： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 【 模型初探 】 （一） 点 P在直线上运动 “胡不归”问题 如图 1-1-1 所示 ，已知 sin MBN=k,点 P 为角 MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、 BN 的同侧，连接 AP,则 当 “ PA+k PB” 的 值 最小 时， P 点的位置如何确定 ? 分析： 本题的关键在于如何确定 “ k PB” 的大小， 过点
3、P 作 PQ BN 垂足为Q，则 k PB=PB sin MBN=PQ, 本题求“ PA+k PB”的最小值转化为求 “ PA+PQ” 的最小值 (如图 1-1-2)，即 A、 P、 Q 三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。 图 1-1-1 图 1-1-2 图 1-1-3 动态展示： 见 GIF 格式！ 思考： 当 k 值大于 1 时，“ PA+k PB”线段求和问题该如何转化呢？ 提取系数 k 即可哦！ 【 数学 故事 】 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径
4、 A B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？ 何以归 ”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。 【 模型初探 】 （二）点 P在圆上运动 “阿氏圆”问题 如图 所示 2-1-1， O 的半径为 r,点 A、 B 都在 O 外， P 为 O 上的动点，已知 r=k OB.连接 PA、 PB，则当“ PA+k PB”的值最小时， P 点的位置如何确定？ 图 2-1-1
5、图 2-1-2 图 2-1-3 分析： 本题的关键在于如何确定 “ k PB” 的大小， （如图 2-1-2） 在线段 OB上截取 OC 使 OC=k r,则可说明 BPO 与 PCO 相似，即 k PB=PC。 本题求“ PA+k PB”的最小值转化为求“ PA+PC”的最小值，即 A、 P、 C三点共线时最小（如图 2-1-3），本题得解。 动态展示： 见 GIF 格式！ 【问题背景】 阿氏圆 又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、 B，则所有满足PA=kPB（ k 1） 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由 古希腊 数学家 阿波罗尼斯 发现，故称 “ 阿氏圆 ” 。 ABOPOABP
6、C OABPC“ 阿氏圆 ” 一般解题步骤： 第一步：连接动点至圆心 O（将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接 OP、 OB； 第二步：计算出所连接的这两条线段 OP、 OB 长度； 第三步：计算这两条线段长度的比 OPkOB ； 第四步：在 OB 上取点 C，使得 OC OPOP OB ； 第五步：连接 AC，与圆 O 交点即为点 P 【 模型 类比 】 “胡不归”构造 某角正弦值等于小于 1 系数 起点 构造所需角（ k=sin CAE） -过终点作所构角边的垂线 -利用垂线段最短解决问题 “阿氏圆”构造共边共角型相似 构造 PAB CAP 推出 2PA AB AC
7、即：半径的平方 =原有线段 构造线段 【 典型例题 】 1 (胡不归问题 )如图，四边形 ABCD 是菱形， AB=4，且 ABC=60 ， M 为对角线BD（不含 B 点）上任意一点 ,则 AM+12 BM 的最小值为 . 分析： 如何将 12 BM 转化为其他线段呢？ 即本题 k 值为 12 ，必须转化为某一角的正弦值啊， 即转化为 30角的正弦值。 思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直于 BC， 则 MN=12 BM，即 AM+12 BM 最小转化为 AM+MN 最小，本题得解。 详解 ： 如图， 作 AN于 BC 垂足为 N, 四边形 ABCD 是菱形且 ABC=60， DBC=3
8、0， 即 sin DBC=12 =MNBM ， 12 BM=MN， AM+12 BM=AM+MN，即 AM+12 BM 的最小值为 AN. 在 RT ABN 中， AN=AB sin ABC= 36 3 32. AM+12 BM 的最小值为 33. 变式 思考 ： (1)本题如要求“ 2AM+BM” 的最小值你会求吗？ (2) 本题如要求“ AM+BM+CM” 的最小值你会求吗？ 答案： （ 1） 63（ 2） 63 本题也可用“费马点”模型解决哦！ -详见：本公众号前文！ DAB CMMNBA DC2 (阿氏圆 问题 ) 如图，点 A、 B 在 O 上，且 OA=OB=6，且 OA OB，点
9、 C 是 OA的中点，点 D在 OB上，且 OD=4，动点 P在 O上，则 2PC PD 的最小值为 _ 分析： 如何将 2PC 转化为其他线段呢？ 不难发现本题出现了中点，即 2 倍关系 就出现了。套用“阿氏圆”模型： 构造共边共角相似 半径的平方 =原有线段 构造线段 详解 ： 连接 OP,在 射线 OA 上截取 AE=6. 即： 2OP OC OE OPC OEP 2PE PC 2PC PD PE PD ,即 P、 D、 E 三点共线最小 . 在 RT OED 中， 22 1 6 1 4 4 4 1 0D E O D O E 即 2PC PD 的最小值为 410 . 变式思考 ： (1)
10、本题如要求“ 1PC PD2 ” 的最小值你会求吗？ (2) 本题如要求“ 3PC PD2 ” 的最小值你会求吗？ 答案： （ 1） 210 （ 2） 310 BCOADPEPEBCOAD【 变式训练 】 (胡不归问题 ) 1.如图，等腰 ABC 中， AB=AC=3， BC=2， BC 边上的高为AO，点 D为射线 AO上一点，一动点 P从点 A出发，沿 AD-DC运动，动点 P 在 AD 上运动速度 3 个单位每秒，动点 P 在CD 上运动的速度为 1 个单位每秒，则当 AD= 时，运动时间最短为 秒 . 答案： 724 ， 423 2.如图，在菱形 ABCD 中， AB=6， 且 ABC
11、=150，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PA+PB+PD 的最小值为 . 答案： 62 本题也可用“费马点”模型解决哦！ 【 中考真题 】 (胡不归 问题 ) 1.（ 2016徐州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（ -1， 0）， B（ 0， - 3 ）、 C（ 2， 0），其中对称轴与 x 轴交于点 D。 若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 PDPB21 的最小值为 。 2.（ 2014.成都）如图，已知抛物线 83( 2)( 4)9y x x 与 x 轴从左至右依次交于点A、 B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线
12、 3 4 333yx 与抛物线的另一个交点为D（ -5， 33）。 设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D后停止，当点 F 的坐标为 时，点 M 在整个运动过程中用时最少？ 答案： 334 ， 2,2 3 课外提升： 2015 日照、 2015 内江、 2016 随州 多个 城市均在压轴题考察了 “ 胡不归 ” 问题。 要好好专研哦！ (胡不归 问题 变式 ) 【 变式训练 】 (阿氏圆 问题 ) 1.（ 1）【问题提出】： 如图 1，在 Rt ABC
13、中， ACB 90， CB 4， CA 6， C 半径为 2， P 为圆上一动点，连结 AP， BP，求 AP 12 BP 的最小值 尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在CB 上取点 D，使 CD 1，则有 CD CP 1CP CB 2，又 PCD BCP, PCD BCP, PD1BP 2 , PD 12 BP, AP 12 BP AP PD 请你完成余下的思考，并直接写出答案： AP 12 BP 的最小值为 _ （ 2） .【自主探索】： 在“问题提出”的条件不变的情况下， 13 AP BP 的最小值为 _ （ 3） .【拓展延伸】： 已知扇形 COD
14、 中， COD 90， OC 6， OA 3， OB 5，点 P 是 CD 上一点 ，则 2PA PB 的最小值为 _ 答案： 37 ， 2373 ， 13. 2.如图，在直角坐标系中，以原点 O为圆心作半径为 4的圆交 X轴正半轴于点 A，点 M 坐标为（ 6,3），点 N 坐标为（ 8,0），点 P 在圆上运动，求 1PM PN2 的最小值为 _ 3.如图，半圆的半径为 1， AB 为直径， AC、 BD 为切线， AC=1， BD=2， P 为 上一动点，求 PC+PD 的最小值 为 _ 答案： 5， 322 . 【 中考真题 】 (阿氏圆 问题 ) （ 2017甘肃兰州） 如图， 抛物
15、线 2y x bx c 与 直线 AB 交 于 4, 4A ， 0,4B两点， 直线 1:62AC y x交 y 轴与 点 C ， 点 E是 直线 AB 上 的动点，过点 E 作 EF x 轴 交 AC于 点 F ， 交抛物线于点 G . (1)求抛物线 2y x bx c 的 表达式； (2)连接 GB ， EO ， 当四边形 GEOB 是 平行四边形时，求点 G 的 坐标； (3) 在 y 轴 上存在一点 H ， 连接 EH ， HF ，当点 E 运动 到什么位置时，以 , , ,AEFH 为 顶点的四边形是矩形？求 出 此时点 ,EH的 坐标； 在 的前提下，以点 E 为 圆心， EH
16、长 为半径作圆，点 M 为 E 上 一动点，求12AM CM 的 最小值 . 答案： (1) y= x2 2x+4； (2) G（ 2， 4）； (3) E（ 2， 0） H（ 0， 1）； 552 写在最后： “胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“ PA+k PB”（ k 1 的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k PB 这条线段的长度转化为某条具体线段 PC 的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。 不过两类问题的难点都在于如何对 k 值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于 k(如 k值 1则要先提取 k去构造某角的正弦值等于 1k或等于 21kk) 将 k 倍线段转化 ，再利用“垂线段最短”解决问题 ； “阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以 半径为公共边的一组相似三角形， k 值如大于 1 则将线段扩大相同的倍数取点， k 值如小于 1 则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。 更多内容，请微信扫描关注 公众号 “ 洋清解题 ”
