1、1第二章 一维随机变量及其分布1、填空题1.设某批电子元件的正品率为 ，次品率为 ，现对这批元件测试，只有要测得一个次10910品就停止测试工作，则测试次数 X 的概率分布函数是 。_2.设随机变量 X 服从正态分布 ，且二次方程 无实根2(,)N240yX的概率为 1/2，则 。_3.已知随机变量 X 只能取 四个数值，其相应的概率依次为 ，则10， cc16,853,2。_c4.设随机变量 X 的分布函数 ，则常数()1sin)2xFxAx；_A；密度函数 。)4(XP _)(xf5.若 X 的概率分布为 ，则 X 的分布函数 ；310PX _)(xF的概率分布为_；Y 的分布函数为 _。
2、12Y6.设 X 服从正态分布 ，则 ； ；)2,(N_)5()72(XP若 ，则 。)(CP_7.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，且 ，则41)(,81)(XP。_)1(8.设随机变量 X 的密度函数 ，则当 时，其 他,014)(3xxf _a有 .()(aP29.设随机变量 X 的密度函数 ，若随机变量 Y 表示对 X 的 3 次独立观其 他,013)(2xxf察中事件 出现的次数，则 。)32（ _)YP10.若随机变量 X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程 有实根的概率是012x_。二、选择题1 任何一个连续型随机变量的概率密度 一定满足（ ）)(xf（A） （B）1)(0xf
3、 1)(limxf（C） （D ）在定义域内单调非减d2. 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 （ ）XeY21（A）在（0，1）上服从均匀分布 （B）仍服从指数分布（C）服从正态分布 （D ）服从参数为 2 的泊松分布3. 设随机变量 X 服从正态分布 ，则 （ ）)4,0(N)1(XP（A） （B）dxe8102 dxe40（C） （D ）21 x82124. 下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）（A） （B）21)(xF xFsin)(（C） （D ）0,)(2， 1,0.,)(x5.设随机变量 X 的概率密度函数 ，则 Y=（ )(21)(4)3(2e
4、xfx）时， 。)1,0(NY3（A） （B）23x 23x（C） （D ） 6.设 X1 和 X2 是任意两个独立的连续型随机变量，他们的概率密度分别为 ，12()fx和分布函数分别为 ，下列说法哪个正确？（ ）12()Fx和（A） 必为某个随机变量的密度函数12()f（B） 必为某个随机变量的密度函数x（C） 必为某个随机变量的分布函数12()F（D） 必为某个随机变量的分布函数x三、计算题1、确定随机变量 X 的密度函数中的参数，求分布函数，计算 ：1(2)Px ； 。其 它,01,)(4xcxf 其 它,0,01)(2xcf2、如果连续型随机变量 X 的分布函数为： ，,()0xabe
5、F ()arctn,()Fxbx分别求：（1） ；（2） ；（3）求密度函数。,1Px3、设随机变量 X 的密度函数为： 如果已知,01() ,0)baxf ab， （其 它，求：a 和 b，写出分布函数。22()()P4、已知随机变量 X 的密度函数为： ，问：（1）X 服xexfx,61)(6424从什么分布？（2）若已知 ，求常数 ；（3）求：ccdxfxf)()( c的最大值。(04),(7),PX5、设 服从参数 的指数分布，求方程 无实根的概率。1 0242x6、某房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房间里飞
6、来飞去，试图飞出房间。1）假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的以 X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X 的分布律；2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试次数不多于一次。以 Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。如户主所说是确实，试求 Y 的分布律。3）写出 Y 的分布函数。7、已知随机变量 X 只能取-1，0，1，2 四个值，相应的概率依次为：1/2c、3/4c、5/8c、7/16c，试(1)确定常数 c，写出 X 的分布函数，求：P（X1） 、P（-1X2）;(2)求出 2X-1 和 X2+1 的概率分布律。8、假设离散型随机变量 X 的分布函数为： 。0
7、,1.2()7,31xFx求：（1）X 的概率分布；（2） 。1.7,.5PPX9、某加油站替公共汽车公司代理出租汽车服务，每出租一辆车，可以得到 3 元的报酬。因代理业务，加油站每天要多支付给职工服务费 60 元。假设每天租出的汽车数 X 是一个随机变量，它的概率分布如下： ，求代理业务得到的收入大于的102304.5.15XP额外支出费用的概率。10、设在时间 t 内（单位：分钟） ，通过某交叉路口的其服从参数与 t 成正比的泊松分布，已知在一分钟内没有汽车通过的概率 0.2，求在 2 分钟内最多一辆汽车通过的概率。11、某人去火车站乘车，有两条路可以走。第一条路路程较短，但是交通比较拥挤
8、，所需要的时间 X1N（40，10 2） ；第二条路比较长，但是以外阻塞较少，所需时间X2N（50，16） ；。试计算：5（1）若动身离开火车开的时间只有 60 分钟，应走哪条路线？（2）若动身离开火车开的时间只有 45 分钟，应走哪条路线？12、某仪器装有 3 只独立工作的同型号的电子元件，其寿命 XE()，=1/600。试求在仪器使用的最初 200 小时内， （1）至少有一个元件损坏的概率；（2）只有一个元件没坏的概率。13、假设随机变量 X 服从（0，1）上的均匀分布，求证：随机变量 服从参ln(1)2XY数为 2 的指数分布。14、假设 XN（0，1） ，求：Y=2X 2+1 的概率密
9、度。15、100 件产品中，90 个一等品，10 个二等品， ，随机取 2 个安装在某台设备上，若一台设备中有 i 个（i=0、1、2）二等品，则此设备的使用寿命服从参数为 i+1 的指数分布。求：（1）设备寿命超过 1 的概率；（2）已知设备寿命超过 1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率。16、从学校到火车站的路上有 3 个交通岗，假设各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率均为 2/5，假设 X 为路上遇到的红灯数。求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数；（3）最多遇到 1 个红灯的概率？17、某人上班所需要的时间 ， （单位：分） ，已知上班时间是 8：30，他每(3
10、0,)N天 7：50 出门，求：（1）他某天上班迟到的概率？（2）一周（5 天）最多迟到一次的概率？参考答案1、填空题1. 3,21,019)(kkXPk2. 43. 2C4. 其 它,02cos21)(,)4(,1 xxfXPA65. 。 1,32,0)(,31,1,032,1)( yyFPYxxF YX6. 。,970.)2(,58.)( CXP7. 858. 4219. 3)79(10. 8.0二、选择题：1）C；2）A；3）D；4）C；5）B；6）D三、计算题1 （1）解： 140() 5fxdcxdc5,0()()11,xFfx13(2)()22PF（2）解： 104cfxddxc,
11、04()()artn11,xFf x。1(2)()rcta0.49722PxF2解：（1） 1()0Fb在 连 续（2） 11(1)PXFe（3） ，X 服从指数为 =1 的指数分布；,0()xefx其 它7解：（1）1()1 122()arctn00aabFFxx（2） 1()()2PXF（3） 。2),)(1)fxx3、解： 10 12 21 12 20() 22()b bbaaxdfxd afxx 2,()0,)()11,xf xFfd=其 他（4、解：（1） ；22 ()436() ,xxfxee,3XN（2） 2C（3） 420(0)()()2(1.547)0.983P1()()X，
12、 。()fxx的 最 大 值 在 处 取 得 1(2)6f5、解： 无实根024216()12bac因为 服从参数 的指数分布8所以 ,0()xef。222101()10.864xPfde6、解：1） (,3)3kX2） ),(2)Y3） 。011/3,()3,YyFy7、解：（1） 577124866cc，0(1)3PX2()3PX（2） 2/7/0/7/114X 338/7/10/7/P 。2041/3/38、解：（1） 0.25.XP（2） ， 。.72.507X9、解：每天租出的汽车数为 X ，则得到的收入为 3X，支付给职工的费用 60 元。(360)()(3)(4).501.6XP
13、10、解：通过路口的车辆数 ， ，由一分钟内没有汽车通过的概率 0.2 得kt到:0().2ln51ln5l!Pe k2 分钟内通过的车辆数 (),2lXP92 分钟内最多一辆汽车通过的概率 01(1)(0)(1)(2ln5)!PXPXe11、解：（1）若动身离开火车开的时间只有 60 分钟（小）164()()(20.97（大）205)8PX选择第 2 条线路较好。（2）若动身离开火车开的时间只有 45 分钟（大）14(5)()(0.5)6911（小）2 2(.5)0.16PX选择第 1 条线路较好。12、解：一只元件寿命大于 200 小时的概率160603220xxpede三只元件工作了 2
14、00 小时后没有损坏的元件数 YB（3，p）(1)131(2)1()()PYe(2) 。223Cp13、证明： ,0(0,1)xXUfx其 它2ln1ln22yYyxel()(0,1)0,)xx2221,0,yy yXYfeefy即： 指数分布。服 从 参 数14、解： ，21(),()xXfxe21YX12 2()(1)()()yY yFyPXPfxd（101211()()()()()()22yYY XXyyfyFfxdff 14,(0)2()ye。 14,()00yYfy15、解：假设 Ai表示装在某设备上有 i 个 2 等品（i=0,1,2）B 表示设备寿命超过 1212909010218(),(),()CCCPPPA（1）2 2311108()()xxxiiiApBededed123890.27e（2） 。1000 89()( 3ePAB16、解：（1） (,)3,2/5XBnp0123754685XP（2）0,27/11()85,2/3,xFxx（3） 。81(1)(0)()25PXPX17、解：（1）(3,)403401()1()1.8430.157N（1）一周中迟到的天数 5,.87YB11。514(1)(0)(1)0.8430.87.130.89PYPYC
