1、第4朝 高中数学教与学 函数零点问题的几种常见题型 沈丽群 (云南省绿春县第一中学，661 100) 函数的零点是高中数学新增内容之一， 也是新课程高考的一大亮点和热点诸如方 程的根的问题、存在性问题与交点问题等都 可以转化为零点问题进行处理，因而函数的 零点成为了近年来高考新的生长点与热点而 备受青睐近几年的数学高考中频频出现零 点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导 数知识密不可分下面笔者就近几年高考中 零点问题归类解析如下，希望对大家有所帮 助 一、函数零点的分布 例1 设函数 )= 一In ，则Y= ，( )( ) (A)在区间 ，11，(1，e)内均有零点 (B)在区间 ，1，(1
2、，e)内均无零点 (c)在区间【，1上有零点，在区间(1， e)内无零点 (D)在区间I ，1 I上无零点，区间(1，e) L J 内有零点 ， y=ln j ( ： 一1 1 i -6 lxo2 e 3 4 1 图1 解NSf(1)0， e)=号一10及 1)0认为在k，11上无零 、e， L J 点这时可考虑用二分法继续求证，或如上述 解法那样，通过作图观察函数图象交点所在 的大致区间范围解题 二、函数零点的个数 1通过图象确定零点个数 例2 函数，( )=I lg ICO8 在(0， +)内零点的个数是( ) (A)3(B)4(C)6(D)8 ， 1 1 0o，l1 D 1 21T 霄
3、lO 一j 、 J 图2 解 当00，则函 数Y：，( )一sin 在一2竹，2霄上的零点个 数为( ) (A)2(B)4(C)5(D)8 解 由条件易知 1 0， “iT)时 ( )0， ，( )为增函数又 E0，霄时，00，判断-厂( )的零点个数， 只需判断函数g( )=xln 一号+号的零点 e c 个数由于Y=e 在(0，+o。)上为下凸函数， Y=e 的图象整体在其 ：1处的切线Y=e 的上方，故得不等式e e 由此有g( ) l 一 +旦f当且仅当 ： 时取等号1 C C 、 C ， 10 而对于h(x)= ln 一上+旦，由 ( )= In +1知h( )在0， I上单调递减，
4、在 l ，+l上单调递增，故h( ) ()=一一i1+詈o(当且仅当 =_1 时取等号1故g( )h( )0，上述两个不 等式至少有一个取不到等号，从而g( )0 综上，g( )在(0，+)上无零点，也即 函数，( )=ln 一专+ 的零点个数为0 评注 本例求解的关键策略为等价变形 和放缩替换，通过这两种策略的使用，使问题 多次进行等价转换，最终将不易画图的复杂 函数转化为相对简单的结构，简洁而利索 三、已知零点个数。求参数范围 例4 已知 )是定义在R上且周期为 3的函数，当 0，3)时， )=I 一2x+ 1若Y= )一n在区间3，4上有10 个零点，则实数n的取值范围是_ 解 先画出0
5、，3上Y= 一2x+的 图象，再将 轴下方的图象反射到上方，利用 周期为3与平移可得 )在一3，4上的图 象由此易发现若，( )图象要与Y=a有10个 不同的交点，则o0， 1) 评注 遇到此类题(函数与 轴有交点 可视为函数与Y=0有交点)，首先要通过运 用函数与方程的思想进行等价转化，转化为 两个更简单的函数，画出函数图象，结合交点 个数确定参数范围 四、用其他函数的零点。估计所求函数的 零点 例5 若函数，( )的零点与g( )=4 + 2x一2的零点之差的绝对值不超过025，则 ，( )可以是( ) (A)4x一1 (B)( 1) 第4期 (D)ln( 一) 解 (A)、(B)、(c)
6、、(D)四个选项中， 1 相应函数 )的零点依次为 1、10、- 4-，现在 我们来估算g( )=4 +2x一2的零点因为 g(o)=一1，g( 1)=1，所以g(x)有零点 、二， ， 1 、 f0，l，又函数 )的零点与g(x)=4 +2x 、 二， 一2的零点之差的绝对值不超过025，只有 厂( )=4x一1的零点适合 评注 此类题型应该先用二分法估计参 照函数零点所在的范围，又由于此类题型主 要出现在选择题中，所以可以由各选项中所 对应函数的零点出发，再进行综合分析 五、解决方程根的个数 侈4 6 已知函娄 厂( )：I +3xl， R 若方程 )一a I 一1 I=0恰有4个互异的
7、实数根，则实数n的取值范围为 y=lx + ，= 一l1 1 _432一 1 2 3 一2 -3 图4 解 在同一坐标系中画出厂( )=l + 3 和g( )=0 I 一1 I的图象，问题转化为 )与g(x)图象恰有4个交点的问题 当Y=n( ，一1)与Y= 七3x(或Y= 一。( 一1)与Y=一( +3 )相切时( ) 与g( )图象恰有3个交点把Y=a(x一1)代 人Y= +3 ，得 +3x=0( 一1)，即 + f3一a)x+。=0 由=0，解得口=1或0=9，又当8= 0时 )与g( )仅两个交点，从而可得。 (0，1)U(9，+) 变式 已知函数 高中数学教与学 rI lgx I(0
8、IUD) l一 +O L J， 若口，b，c互不相等 a)= b)= c)，则abc 的取值范围是 简解 由图5可知， n)=I lg a I= 一lg 0(b)=I lg bI=lg b(c)=一c+6 由厂(口)=，(b)，得一lg ：lg b，即lg ab=0， ab=1；由00；当12时 ( )0所以当 = C 1时 )取极大值 1)=一a； 二 当 =2时 )取极小值，(2)=2一口 故当 2)0或 1) 二 变式 已知二次函数Y=g( )的导函数 的图象与直线Y=2x平行，且Y=g( )在 =一1处取得极小值m一1(m0)设，( )= ，当 (jR)如何取值时，函数y=Ax) 一
9、存在零点，并求出零点 11 高中数学教与学 2015釜 构建函数螟型巧证不等式 崔 磊 (江苏省如东县平潮高级中学，226361) 构建函数模型证明不等式是近年来高考 中的热点题型之一构建函数的目的是为了 利用函数单调性和有界性解决问题，达到解 题目标对一些简单的函数不等式问题，只要 直接作差构建函数，再利用导数就能解决问 题；而对一些复杂问题，则需通过变换后才能 构建函数模型 一、作差构建函数模型 当遇到含有两个函数不等式问题证明 时，作差构建新函数模型是通法；再利用求 导、函数单调性或有界性可使问题获证 例1 已知定义在正实数集上的函数，( ) 1 = I_ +2ax，g(x)=3口2In
10、 +b，其中口o设 二 两曲线Y=，( )，Y=g( )在公共点( ， )处的 切线相同，求证 )g(x)( 0) 分析 本题求证目标是关于两个函数的不 等式，可通过作差构建新函数模型来证明由于 两个函数各含有一个不同的参数，因此，需利用 题设条件找出两个参数的关系，再行求解 -一 解 设g(x)=口 +6 +c(口0)，贝0 g ( )=2ax+b依题意可得a=1，所以g( ) = +6 +c，g ( )=2x+b Y=g(x)在 =一1处取得极小值m一 1(m0)， fg (一1)=0， Lg(一1)=玑一1， 、 即 r 2+ =0， L1一b+c：rn一1 解得 Ib=2， LC：ra
11、 所以g( )= +2 +t， ，( )： ： +旦+2( 0) 令函数 ( )= )一kx=(1一 ) +旦 +2( 0)，且令h( )=0，整理可得 (1一Ij) +2 +m=O(x0) 函数h(x)存在零点，等价于方程有非零 实数根，由m0可知，方程不可能有零棍 12 当k=1时，方程有唯一实数根一 m， 即 ( )存在唯一的零点 =一 ； 当k1时，令：0，解得k：1一一I， 易知此时函数h( )存在唯一的零点 令A0，得m(1一 )0时，解得k1一一1； 当m0时，解得k1一一1 以上两种情况下，方程都有两个不相 等的实数根 一1+,1一m(1一k) _= 一， 一一1一,1一m(1一k) = 它们就是函数h( )的两个零点
