1、第八讲 一元二次方程,一元二次方程 1.定义: 只含有_个未知数,并且未知数的最高次数为_的 _方程. 2.一般形式:_,一,2,整式,ax2+bx+c=0(a0),3.解法: (1)一般思路: 一元二次方程 一元_次方程.,一,(2)方法:,x=x1或x2,4.根的判别式: (1)一元二次方程根的判别式为=_ (2)判别式与方程根的关系: =b2-4ac0方程_的实数根. =b2-4ac=0方程_的实数根. =b2-4ac0方程_实数根.,b2-4ac,有两个不相等,有两个相等,没有,5、一元二次方程根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x
2、2= ,x1x2= .,6.应用: (1)增长(降低)率问题. (2)图形面积问题. (3)利润问题.,【自我诊断】(打“”或“”) 1.mx2+3x-5=0是关于x的一元二次方程. ( ) 2.一元二次方程3x2=5x+1的一次项系数为5. ( ) 3.若x=0是关于x的一元二次方程(k-2)x2+3x+k2-4=0 的一个根,则k=2. ( ),4.一元二次方程2x2-2 x+1=0有一个实数根. ( ) 5.一元二次方程(x+2)2=5的解为x= -2. ( ) 6.若一元二次方程3x2-5x-2=0的两个根分别为x1,x2, 则x1+x2=- . ( ) 7.三个连续整数的平方和为50
3、,则这三个连续整数为 3,4,5. ( ),考点一 一元二次方程的有关概念 【例1】(1)(2016泰州中考)方程2x-4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值为_. (2)(2016达州中考)设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根,则m2+3m+n=_. 世纪金榜导学号16104107,【思路点拨】(1)解一次方程,得x的值,再代入求m. (2)应用m2+2m-2018=0降次后应用根与系数的关系得到m+n的值,整体代入求解.,【自主解答】(1)由2x-4=0,解得x=2,把x=2代入方程x2+mx+2=0得4+2m+2=0,解得m=-3. 答案
4、:-3,(2)m,n是x2+2x-2018=0的根,m2+2m-2018=0, m2+2m=2018,由根与系数的关系得m+n=-2 m2+3m+n=m2+2m+m+n=2018-2=2016. 答案:2016,【名师点津】已知方程的根求与未知数有关的代数式的值,【题组过关】 1.(2017威海中考)若1- 是方程x2-2x+c=0的一个 根,则c的值为 ( ) A.-2 B.4 -2 C.3- D.1+,【解析】选A.1- 是方程x2-2x+c=0的一个根, (1- )2-2(1- )+c=0, 1-2 +3-2+2 +c=0, 2+c=0,c=-2.,2.(2016包头中考)若关于x的方程
5、x2+(m+1)x+ =0的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是 ( ) 世纪金榜导学号16104108,【解析】选C.原方程的一个实数根的倒数恰是它本身, 则该实根为1或-1, 若是1,则1+m+1+ =0, 解得m=- ; 若是-1,则m= .,3.(2017新疆生产建设兵团中考)已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是 ( ) A.-3 B.-2 C.3 D.6 【解析】选A.设方程的另一个根为t,根据题意得2+t=-1,解得t=-3,即方程的另一个根是-3.,4.(2016菏泽中考)已知m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根,则2m2-4m=_. 世纪金榜导学号
6、16104109,【解析】m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根, m2-2m-3=0,m2-2m=3,2m2-4m=6. 答案:6,考点二 一元二次方程的解法 【例2】(1)(2017丽水中考)解方程: (x-3)(x-1)=3. (2)(2017兰州中考)解方程: 2x2-4x-1=0.,【思路点拨】 (1)将方程整理后利用因式分解法求解. (2)用配方法或公式法求解.,【自主解答】(1)方程化为x2-4x=0, x(x-4)=0, 所以x1=0,x2=4.,(2)2x2-4x-1=0, x2-2x- =0, (x-1)2= , x-1= , x=1 . x1=1+ ,x2=1- .,
7、【名师点津】一元二次方程解法的选择 (1)直接开平方法适用情况: 当方程缺少一次项时,即方程ax2+c=0(a0,ac0); 形如(x+m)2=n(n0)的方程.,(2)因式分解法适用情况: 缺少常数项,即方程ax2+bx=0(a0); 一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积.,(3)配方法适用情况: 二次项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方程; 各项的系数比较小且便于配方的情况. (4)公式法适用情况:形如ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)的方程.,【备选例题】(2015泰安中考)方程(2x+1)(x-1) =8(9-x)-1的根为_.,【解析】方程可
8、变形为2x2+7x-72=0, 因为b2-4ac=72-42(-72)=6250, 所以x= 即x1= ,x2=-8. 答案: 或-8,【题组过关】 1.(2017南京中考)若方程 =19的两根为a和b, 且ab,则下列结论中正确的是 ( )世纪金榜导学号16104110 A.a是19的算术平方根 B.b是19的平方根 C.a-5是19的算术平方根 D.b+5是19的平方根,【解析】选C.因为若方程 =19的两根为a和b, 且ab,所以a-5与b-5是19的平方根,所以只有C正确.,2.(2017泰安中考)一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为 ( ) A.(x-3)2=15 B.(x-3)
9、2=3 C.(x+3)2=15 D.(x+3)2=3,【解析】选A.根据配方的步骤: 第一步移项得x2-6x=6; 第二步配方,方程的左右两边都加上一次项系数一 半的平方,x2-6x+9=6+9; 第三步整理 =15.,3.(2017温州中考)我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1,x2=-3,现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的解是 A.x1=1,x2=3 B.x1=1,x2=-3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3,【解析】选D.由题意可得:2x+3=1或-3, 解得x1=-1,x2=-3.,4.(2017德州中考)方程3x(x-1)=2(x
10、-1)的根为_. 世纪金榜导学号16104111,【解析】当x-1=0时,即x=1,方程两边均为0, 即x=1是原方程的根; 当x-10时,方程两边同除以x-1, 得3x=2,解得x= . 综上可知,原方程的根为x=1或x= . 答案:1或,5.(2016兰州中考)解方程:2y2+4y=y+2.,【解析】2y2+4y=y+2, 2y2+3y-2=0, y2+ y=1,考点三 一元二次方程根的判别式及其应用 【例3】(2016白银中考)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0. 世纪金榜导学号16104112,(1)若此方程的一个根为1,求m的值. (2)求证:不论m取何实数,此方程都有两个不相等
11、的实数根.,【思路点拨】(1)把x=1代入原方程 消去x 关于m 的方程 求解 结论. (2)证明根的判别式大于0.,【自主解答】(1)根据题意, 将x=1代入方程x2+mx+m-2 =0, 得1+m+m-2=0,解得m= . (2)=m2-41(m-2) =m2-4m+8=(m-2)2+40, 不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.,【名师点津】根的判别式的三个应用 (1)不解方程,直接判断一元二次方程根的情况. (2)根据方程根的情况,确定某个未知系数的值(或范围). (3)证明一个一元二次方程根的情况.,【题组过关】 1.(2017宜宾中考)一元二次方程4x2-2x+ =0的根
12、的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断,【解析】选B.根的判别式可表示为b2-4ac,在这个方 程中a=4,b=-2,c= ,b2-4ac=(-2)2-44 =0, 故此方程有两个相等的实数根.,2.(2017益阳中考)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-1,那么下列结论一定成立的是 ( ) 世纪金榜导学号16104113 A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac0 D.b2-4ac0,【解析】选A.因为方程有两个不相等的根,所以b2-4ac0.,3.(2017咸宁中考)已知a,b
13、,c为常数,点P(a,c)在 第二象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断,【解析】选B.点P(a,c)在第二象限, ac0,故原方程有两个不相等的实数根.,4.(2017攀枝花中考)关于x的一元二次方程(m-1)x2 -2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是 ( ) 世纪金榜导学号16104114 A.m0 B.m0 C.m0且m1 D.m0且m1,【解析】选C.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1= 0有两个实数根,m-10且0,即22-4(m-1) (-1)0,解得m0,m的取
14、值范围是m0且m1.,【变式训练】(2016抚顺中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2-x+1=0有实数根,则a的取值范围为_.,【解析】一元二次方程(a-1)x2-x+1=0有实数根, a-10即a1,且0, 即有=(-1)2-4(a-1)1=5-4a0, 解得a , a的取值范围是a 且a1. 答案:a 且a1,考点四 一元二次方程根与系数的关系 【例4】(1)(2017内江中考)设,是方程(x+1)(x-4)=-5的两实数根,则 =_.,(2)(2017鄂州中考)关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k +3=0有两个不相等的实数根.世纪金榜导学号16104115 求实数k的取值
15、范围. 设方程的两个实数根分别为x1,x2,存不存在这样的 实数k,使得|x1|-|x2|= ?若存在,求出这样的k值; 若不存在,说明理由.,【思路点拨】(1)将方程整理为一般形式求出+ 和通分 用+和表示结果. (2)原方程有两个不等实根0k的范围. 将|x1|-|x2|= 去掉绝对值两边平方得关于 k的方程k的值.,【自主解答】 (1)原方程可化为:x2-3x+1=0,则+=3,=1, 则=答案:47,(2)根据题意,得b2-4ac0. -41(k2-2k+3)0. 解得k ,即实数k的取值范围是k .,存在.由根与系数的关系, 得x1+x2=2k-1,x1x2=k2-2k+3. k2-
16、2k+3=(k-1)2+20,即x1x20, x1,x2同号. x1+x2=2k-1,k , x1+x20.,x10,x20. |x1|-|x2|= , x1-x2= . (x1-x2)2=5,即(x1+x2)2-4x1x2=5. (2k-1)2-4(k2-2k+3)=5. 解得k=4.,k , k的值为4.,【名师点津】 1.利用根与系数的关系的两个前提条件 (1)二次项的系数a0. (2)方程有实数根.,2.根与系数关系的三个应用 (1)已知方程的一根求另一根及未知的一个系数. (2)求某些固定代数式的值. (3)与根的判别式综合运用.,【题组过关】 1.(2017呼和浩特中考)关于x的一
17、元二次方程x2+ x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 世纪金榜导学号16104116( ) A.2 B.0 C.1 D.2或0,【解析】选B.根据“根与系数的关系”x1+x2= , -(a2-2a)=0,解得:a1=0,a2=2(舍去), 当a=2时,原方程为x2+1=0是无解的.,2.(2017绵阳中考)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为 ( ) A.-8 B.8 C.16 D.-16,【解析】选C.关于x的方程2x2+m+n=0的两个根是 -2和1, m=2,n=-4,nm=(-4)2=16.,3.(2017泰州中考)方程2x2+3x-1=0的两
18、个根为x1,x2, 则 的值等于_.世纪金榜导学号16104117,【解析】根据根与系数的关系可知,答案:3,4.(2017荆门中考)已知方程x2+5x+1=0的两个实数 根分别为x1,x2,则 =_. 【解析】由根与系数的关系,得x1+x2=-5,x1x2=1. =(x1+x2)2-2x1x2=(-5)2-21=25-2=23. 答案:23,【知识拓展】根与系数关系常见的五种恒等变形,【变式训练】(2016眉山中考)设m,n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根,则m2+3m+n=_.,【解析】m,n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根, m+n=-2. m是原方程的根, m2+2m-
19、7=0,即m2+2m=7, m2+3m+n=m2+2m+m+n=7-2=5. 答案:5,5.(2017南充中考)已知关于x的一元二次方程x2- (m-3)x-m=0. 世纪金榜导学号16104118 (1)求证:方程有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两实数根为x1,x2,且 -x1x2=7, 求m的值.,【解析】(1)=-(m-3)2-41(-m) =m2-2m+9=(m-1)2+80. 原方程有两个不相等的实数根.,(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=m-3,x1x2=-m. -x1x2=7,(x1+x2)2-3x1x2=7. (m-3)2-3(-m)=7. 解得m1
20、=1,m2=2. m的值为1或2.,考点五 一元二次方程的应用 【考情分析】一元二次方程的应用层级为能列一元二次方程解决实际问题,在各地中考中均有体现,是一元二次方程中的一个重要考向,主要考查点有平均增长(降低)率问题、几何图形面积问题、商品利润问题等.,命题角度1:平均增长(降低)率问题 【例5】(2017烟台中考)今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查,该品牌足球2015年单价为200元,2017年单价为162元. 世纪金榜导学号16104119,(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的
21、百分率. (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:,试问去哪个商场购买足球更优惠? 【思路点拨】(1)根据“2015的单价(1-降低的百分率)2=2017的单价”列方程求解. (2)分别计算两个商场的总收费,作出判断.,【自主解答】(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x. 根据题意,得200(1-x)2=162. 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). 答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.,(2)到A商场购买91个足球,赠送9个足球,共100个足球,总价=91162=14742元. 到B商场购买总价=1001620.9
22、=14580元. 1458014742, 去B商场购买足球更优惠.,【母题变式】本题中在A商场购买99个足球的费用可在B商场购买多少个足球? 提示:100个. 90162(1620.9) =100.,命题角度2:几何图形面积问题 【例6】(2016赤峰中考)如图,一块长5米宽4米的地 毯,为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影 部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地 毯面积的 .,(1)求配色条纹的宽度. (2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价.,【思路点拨】(1)设条纹的宽度为x米,根据条纹的面 积占总面积的 列方程求解.
23、 (2)分别计算条纹造价和其余部分造价再求和.,【自主解答】(1)设条纹的宽度为x米.依题意得 2x5+2x4-4x2= 54, 解得:x1= (不符合,舍去),x2= . 答:配色条纹的宽度为 米.,(2)条纹造价: 54200=850(元), 其余部分造价:(1- ) 45100=1575(元), 总造价为850+1575=2425(元). 答:地毯的总造价是2425元.,【母题变式一】 若把题中的条纹改成弯曲的形状(如图,但宽度始终相等).如何求条纹的宽度.,提示:设条纹宽度为x米,将条纹部分移走,其余部分正 好拼成一个长为(5-2x)米,宽为(4-2x)米的长方形,且 其面积为地毯面积
24、的 . 故列方程(5-2x)(4-2x)=54 , 解得x1= ,x2= (不合题意,舍去). 条纹宽度为 米.,【母题变式二】(2015襄阳中考)如图,一农户要建 一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另 外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直 于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的 长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?,提示:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m,由题意得 x(25-2x+1)=80, 化简,得x2-13x+40=0, 解得:x1=5,x2=8, 当x=5时,26-2x=1612(舍去),当
25、x=8时,26-2x=1012. 答:所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.,命题角度3:与涨价、降价有关的商品利润问题 【例7】(2017眉山中考)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元. 世纪金榜导学号16104120,(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品. (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?,【思路点拨】(1)设此批次蛋糕属于第x档
26、,则“原利润+2(增加后的档次-1)=后来的利润”列方程. (2)根据“每件的利润件数=总利润”列方程求解.,【自主解答】(1)设此批次蛋糕属于第x档次产品, 则10+2(x-1)=14,解得x=3. 答:此批次蛋糕属于第3档次产品. (或: +1=3,此批次蛋糕属第3档次产品.),(2)设该烘焙店生产的是第y档次的产品,根据题意,得 10+2(y-1)76-4(y-1)=1080, 解之,得y1=5,y2=11(舍去). 答:该烘焙店生产的是第5档次的产品.,【母题变式】(改变问法)该店生产的第几档产品利润最大.,提示:设总利润为w, 则w=10+2(y-1)76-4(y-1) w=-8y2
27、+128y+640, 当y= 时利润最大, 此时y=8,而产品只有六个档次, 故第六档次产品利润最大.,【名师点津】 1.增长率问题的有关公式 增长数=基数增长率;实际数=基数+增长数. (1)两次增长,且增长率相等的问题的基本等量关系式为:原来的(1+增长率)2=后来的.,(2)如果是下降率,则上述关系式为: 原来的(1-下降率)2=后来的. 2.与几何图形有关的计算问题 解题关键是依据几何图形的性质寻求问题中的等量关系.,3.商品利润问题 利润=售价-进价=进价利润率. 总利润=单位利润销售量.,【题组过关】 1.(2017安徽中考)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次
28、降价的百分率都为x,则x满足 ( ) A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16 C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16,【解析】选D.一种药品原价每盒25元,两次降价的百分率都为x,所以第一次降价后的价格用代数式表示为25(1-x)元,第二次降价后的价格用代数式表示为25(1-x)(1-x)=25(1-x)2,根据题意可列方程25(1-x)2=16.,2.(2016台州中考)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是 世纪金榜导学号16104121( ) A. x(x-1)=45 B. x(x+1)=45 C.x(x-1
29、)=45 D.x(x+1)=45,【解析】选A.有x支球队参加篮球比赛, 每两队之间都比赛一场, 总共比赛场数为 x(x-1), 共比赛了45场, x(x-1)=45.,【变式训练】春节期间,小组的同学互赠礼物,共赠送礼物72件,则小组共有_名同学. 【解析】设有x名同学,则x(x-1)=72, x1=9,x2=-8(舍去). 答案:9,3.(2017白银中考)如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是 ( ) 世纪金榜导学号16104122,A(32-2x)(20-x
30、)=570 B32x+220x=3232-570 C.(32-x)(20-x)=3220-570 D32x+220x-2x2=570,【解析】选A.把道路移动到矩形空地的边上,则种植草坪的面积是长为(32-2x)m,宽为(20-x)m的矩形面积,即可得 (32-2x)(20-x)=570.,(2017重庆中考B卷)某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨水等因素的影响,樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产.,(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,求该果农今年收获樱桃至少多少千克?,(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的
31、一部 分运往市场销售,该果农去年樱桃的市场销售量为 100千克,销售均价为30元/千克,今年樱桃的市场销售 量比去年减少了m%,销售均价与去年相同,该果农去年 枇杷的市场销售量为200千克,销售均价为20元/千克, 今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%,但销售均价比,去年减少了m%,该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同,求m的值.,【解析】(1)设该果农今年收获樱桃x千克, 根据题意得:400-x7x, 解得:x50, 答:该果农今年收获樱桃至少50千克.,(2)由题意可得: 100(1-m%)30+200(1+2m%)20(1-m%) =10030+20020, 令m%=y,原方程可化为:3000(1-y)+4000(1+2y)(1-y) =7000,整理可得:8y2-y=0, 解得:y1=0,y2=0.125, m1=0(舍去),m2=12.5, 答:m的值为12.5.,
