1、12009 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（二）数 学（附：解选择题、填空题常用方法：直接法、验证排除法、特殊法、数形结合法）一、 选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，只有一项是符合题目要求的）1设空集为 ，则： ( )A B0 C D02. 设a n是由正数组成的等比数列，且 a5a6 = 81，那么 log3a1 + log3a2 + + log3a10 的值是( )A30 B20 C10 D53. 若命题 ，则命题 p 是命题 q 的 ( )233:0logl,:0pxqx(A) 充 分 非 必 要 条 件 （ B） 必 要 非 充 分 条 件 (C)充 分
2、 必 要 条 件 （ D） 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件4.已知 且 ，则 ( )。Cz1)2(09izz(A). (B). (C). (D). i13i3i3i35. 已知函数 snyx的图象向左平移 2个单位后得到 ()yfx的图象，则（ ）A函数 ()f的最小正周期为 4； B函数 在区间 ,0上是减函数 ；C点 )0,(是函数 ()yfx的图象的一个对称中心 ；D直线 2x是函数 的图象的一条对称轴 。6. 两位同学去某大学参加自主招生考试，根据学校负责人对他们两人的对话：“我们要从考试的人中招收 5 人，你们两人同时被招进来的概率为 ”，可推断出19参加考试的人数为（ ）A
3、19； B、20； C21； D22。7.正方体的全面积为 ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( )2a2A B C D2a23a2a23a8.函数 31yx的图象与函数 2yxb的图象有三个不相同的交点，则实数 b的取值范围是（ ）A.(2,) B.(,0) C.(0,1) D.(1,2)9.如果把直线 xy向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，便与圆2xy40 相切，则实数 的值是（ ）A.13 或 3 B.13 或-3 C.- 13 或 3 D.-13 或-310.已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）xy20.17xyyxA B C D3 ，69,655(,
4、6,)9(,36,)11已知 AB 为直径的半圆，P 为半圆上一点，以 A,B 为焦点，且过点 P 做椭圆，当点 P 在半圆上移动时，椭圆的离心率有( ) A最大值 12 B最小值 12 C最大值 2 D最小值 212.设 是两个不共线的非零向量，又 与 共线，则实数 的值为（ ba, bka8ak）A ； B ； C、 ； D不能确定。222二、填空题（本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13. 已知方程 22()(3)1xy表示椭圆，则 的取值范围为 314设函数 的图象为 ，函数 的图象为 ，若 与2()log(3)fx1C()ygx2C关于直线 对称，
5、则 1Cy(f15已知函数 （ 为常数）图象上 处的切线与直线321()fxxmA的夹角为 45，则点 的横坐标为 30xyA16.对于实数 ，定义新运算 ，其中 是常数，等式右边是通常的yx, 1byaxba,加法和乘法运算。若 ，则 = 。2874,1532009 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（二）数 学 答题卡一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B A A B B A B A A D C二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）：13、 ； 14、 1 ；621且或且15、
6、 0 或 ； 16、 。6 三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 小题 10 分，其它小题各 12 分，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 10 分）已知向量 .58|),cos2,in(),si2,co( nmm（1）求 的值；（2）设 的值.)sin cos,132cos,0,0求解：（1） 2 分)2sin,cos( )sin(c()i| 2 m 5 分.58sin(253)sin(4（2）解： ,02,02又 7 分.135sin53)sin( ， sin)si(co)s(co= 10 分.653125418.（12 分）某重点高校数学教育专
7、业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是 13，且面试是否合格互不影响，求：（I）至少有 1 人面试合格的概率；（ II）签约人数 的分布列和数学期望。解：（I）至少有 1 人面试合格的概率为32197P（II） 216(0)33P21() 27123从而 的分布列为0 1 2 3P162782771785039E19 （12 分）如图所示，四棱锥 PABCD中，,ABD底 面 ，12PCM为 的中点， N点在 AB上且 13NB5（I）证明
8、： /MNPAD平 面 ；（II）求直线 与平面 CB所成的角方法一：（I）过点 M作 /ECDM 交 P于 E点，连结 A1342NB又 /,EDCAENM为平行四边形,/N平面 P（II）过 点作 Q交 B于点 ， FCB于点连结 ,F过 点作 H于 ，连结 MH易知 AQNF面 ， ， 而 ， 面,BCNNP而 平 ，为 直 线 与 平 面 所 成 的 角通过计算可得 23,24MEQF，26QFHN，3sin,0H6PCB直 线 与 平 面 所 成 的 角 为20 （12 分）已知 ()l1)(,fxx设 ()fx的反函数为 1()fx。（I）求 ()g的单调区间；（II）若对任意 0
9、，不等式 4ln3xffea恒成立，求实数 a的取值范围。解：（I）由 1l(1),()()yxyxfR得6()ln1)(1), xgxe当 0时， ,()0;1xg当 x时，1xe，()g的单调递增区间是（-1，0） ，单调递减区间是（0， ）（II）设 144()ln()ln(1)l()033x xxhxfefe则 2() xxxA当 0l2时， ()0,()h在 ,l)上是减函数；当 nx时， 在 n上是增函数。3mi 4()lll63h3l62a21 （12 分）已知双曲线 1C的渐近线方程是 yx，且它的一条准线与渐近线yx及 轴围成的三角形的周长是 21（I）求以 1的两个顶点为焦
10、点，以 1的焦点为顶点的椭圆 2C的方程；（II） AB是椭圆 2的长为 的动弦， O为坐标原来点，求 OAB的面积 S的取值范围。解：（I）由题意知双曲线焦点在 x轴，设双曲线 1的方程为21(0,)xyab则 2()21a，解得 1ab双曲线 1C的方程为 xy，故椭圆 2C的方程为21xy（II） （1）当直线 AB斜率不存在时，设直线 AB的方程为 m，则 2(,)(,),m代入 21xy得 ，O的面积 S7（2）当直线 AB斜率存在时，设直线 AB的方程为 ,ykxm代入21xy得 2()4(1)0kmx令 12,(,)xy则2124(),kxk221 281| ()mABkx222
11、()(1)4m又原点 O到 的距离为 2|1|,1Skk22 6()(,).,)84Stt则1,.2S则综合（1） （2）可知， OAB的面积 6,422 （12 分）已知 na是各项都为正数的数列， n为其前 项的和，且1,()aS（I）分别求 2， 3的值；（II）求数列 n的通项 na；（III）求证： 12 112()()nnSS解：（I）令 n，得 22)aa（舍去负的） ，2,SS从 而同理，令 3可得 2（II） 111(), ()22nnnnaa822121()()144, (2)()nnnnnnSaaSa是 首 项 为 ， 公 差 为 的 等 差 数 列 ，综 上 所 述 ，（）令 1 12()().()()n nn nbcSS1 22()()11nb 1()nn21()nc112221121 1,()()23()nnnnnnbcbcbSS又求 和 得
