1、郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 1 页 1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数 学 试 题 参 考 解 答 及 评 分 标 准 数 学(试卷一) 一、填空题:( 本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) (1) 4 1 2 1 1 lim 2 0 x x x x . (2) 设 1 ( ) ( ) z f xy y x y x ,其中 , f 具有二 阶连 续 导数, 则 ) ( ) ( ) ( 2 y x y y x xy yf y x z . (3) 设 L 为椭圆 1 3 4 2 2 y x ,其周 长 记为a ,
2、则 a ds y x xy L 12 ) 4 3 2 ( 2 2 . (4) 设 A 为 n 阶 矩阵 , * 0, AA 为 A 的 伴随 矩阵 , E 为 n 阶 单 位矩阵 , 若 A 有 特征 值 , 则 E A 2 * ) ( 必有 特征 值 2 ( ) 1 A . (5) 设平 面区 域 D 由 曲线y 1 x 及直线 2 0, 1, y x x e 所围 成 , 二 维随 机变 量(X,Y) 在区 域 D 上 服从 均匀 分布, 则(X,Y) 关于 X 的 边缘 概率 密度在 2 x 处的 值为 1 4 . 二、选择题:( 本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) (1
3、) 设 ) (x f 连续, 则 dt t x f t dx d x ) ( 2 2 0(A) (A) 2 () x f x (B) 2 () x f x (C) 2 2 ( ) x f x (D) 2 () x f x (2) 函数 23 ( ) ( 2) f x x x x x 的不 可导点 的个 数 是 (B) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知 函数 () y f x 在任意 点x 处的 增量 , 0 , 1 2 时 且当 x a x x y y 是 x 的高 阶无穷 小量 , (0) y , 则 (1) y 等于 (D) (A) 2 (B) (C) 4 e
4、(D) 4 e 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 2 页 (4) 设矩阵 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a是 满 秩 的 , 则 直 线 2 1 3 a a a x = 2 1 3 b b b y = 2 1 3 c c c z 与 直 线 3 2 1 a a a x = 3 2 1 b b b y = 3 2 1 c c c z (A) (A) 相交于 一点 (B) 重合 (D) 平 行但 不重合 (D) 异面 (5) 设 A 、 B 是随 机事 件, 且 0 0, ) ( ) ( A B P A
5、 B P ,则必有 (C) (A) ( ) ( ) P AB P AB (B) ( ) ( ) P AB P AB (C) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B (D) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B 三、( 本题满分 5 分) 求直线 1 1 1 1 1 : z y x l 在平面 0 1 2 : z y x 上的 投影 直线 0 l 的方程 , 并 0 l 求绕y 轴旋转 一周 所成 的方 程. 解一:设经 过l 且垂直 于平 面 的平 面方 程为 1 : ( 1) ( 1) 0 A x By C z , 则由条 件可 知 2 0, 0 A B C A B C
6、 ,由此 解得 : : 1:3: 2 A B C . 于是 1 的方程 为 3 2 1 0 x y z . 2 分 从而 0 l 的方程 为 0 l 2 1 0 : 3 2 1 0 x y z x y z , 3 分 即 0 2 : 1 ( 1) 2 xy l zy . 于是 0 l 绕y 轴旋 转一 周所 成曲面 的方 程为 2 2 2 2 1 4 ( 1) 4 x z y y ,即 2 2 2 4 17 4 2 1 0 x y z y . 5 分 解二:由于 直线l 的方 程可 写为 10 10 xy yz ,所以 过l 的平面 方程 可设为 1 ( 1) 0 x y y z ,即 ( 1
7、) (1 ) 0 x y z . 由它与 平面 垂直 ,得1 ( 1) 2 0 ,解 得 2 . 于是经 过l 且垂直 与 的平面 方程为 3 2 1 0 x y z . 2 分 从而 0 l 的方程 为 0 l 2 1 0 : 3 2 1 0 x y z x y z . 3 分 ( 下同解 法一) 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 3 页 四、( 本题满分 6 分) 确定 常数 , 使在 右 半平 面 0 x 上的向 量 4 2 2 4 2 ( , ) 2 ( ) ( ) A x y xy x y i x x y j 为某二 元函 数
8、 ( , ) u x y 的梯度 ,并 求 ( , ) u x y . 解:令 4 2 2 4 2 2 ( ) , ( ) P xy x y Q x x y . 则 ( , ) A x y 在右半 平面 0 x 上 为某 二元函 数 ( , ) u x y 的梯度 的 充 要条 件是 QP xy . 1 分 此即 44 4 ( ) ( 1) 0 x x y ,解之 得 1 . 3 分 于是, 在右 半平 面内 任取 一点, 例如 (1 ,0) 作为 积分路 径的 起点 ,则 得 ( , ) 2 42 (1,0) 2 ( , ) xy xydx x dy u x y C xy 4 分 2 4 2
9、 4 2 1 0 20 y x x dx x dy C x y x y 2 arctan y C x . 6 分 ( 注:不加 C 不扣 分.) 五、( 本题满分 6 分) 从船上 向海 中沉 放某 种探 测仪器 , 按 探测 要求 , 需 确定仪 器的 下沉 深 度 y (从海平面 算 起)与 下沉 速 度 v 之间的 函数关 系. 设仪 器在 重力 作 用下, 从海 平面 由静 止开 始铅直 下沉 , 在下沉 过程 中还 受到 阻力 和浮力 的作 用. 设仪 器的 质 量为 m ,体 积为 B , 海水 比重为 ,仪 器所受 的阻 力与 下沉 速度 成正比 ,比 例系 数 为 k(k0).
10、 试建 立 y 与 v 所满足的微 分方程 ,并 求出函 数关 系 式 y=y(v), 解:取沉 放在 原点 O ,OY 轴正向 铅直 向下 ,则 由牛 顿第二 定律 得 2 2 dy m mg B kv dt , 1 分 将 2 2 d y dy v dt dt 代入 以消 去t ,得vy 与 之间的 微分方 程 dy mv mg B kv dt , 2 分 即 mv dy dv mg B kv ,积 分得 2 () ln( ) m m mg B y v mg B kv C kk . 4 分 由初始 条件 0 |0 y v 定出 2 () ln( ) m mg B C mg B k ,故 所
11、求 的函数 关系 式为 2 () ln m m mg B mg B kv yv k k mg B . 6 分 六、( 本题满分 7 分) 计算 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( z y x dxdy a z axdydz , 其中 为下 半球 面 2 2 2 y x a z 的上侧,a 为郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 4 页 大于零 的常 数 解一: 2 1 2 2 2 2 () () axdydz z a dxdy x y z 2 1 () axdydz z a dxdy a . 1 分 补一块 有向 曲面 2 2 2 0
12、: , x y a z S ,其 法向 量与z 轴正向 相反 ,从 而得 到 22 1 ( ) ( ) SS I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a 2 分 2 1 (3 2 ) D a z dv a dxdy a 4 分 其中 为 S 围成 的空 间区 域,D 为 0 z 上的 平面 区 域 2 2 2 x y a . 于是 22 20 4 4 4 00 11 2 2 2 a ar I a zdv a a d rdr zdz aa 3 2 a . 7 分 解二: 2 1 () I axdydz z a dxdy a . 1 分 记 2 2 2 1 1 2 (
13、) yz D I axdydz a y z dydz a ,其 中 yz D 为 YOZ 平 面上 的 半圆 2 2 2 ,0 y z a z . 利用 极坐 标计 算, 得 2 2 2 3 1 0 2 2 3 a I d a r rdr a , 4 分 2 2 2 2 2 2 11 ( ) ( ) xy D I z a dxdy a a x y dxdy aa 2 2 2 2 2 3 00 1 (2 2 ) 6 a d a a a r r rdr a a , 其中 xy D 为 XOY 平面 上的 圆域 2 2 2 x y a . 因此 3 12 2 I I I a . 7 分 七、( 本题
14、满分 6 分) 求 2 sin sin sin lim 11 1 2 n nn n nn n . 解: 2 sin sin sin 12 sin sin sin 11 1 2 n n n n n n n n n n nn n 1 1 sin n i i nn 2 分 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 5 页 而 1 0 1 12 lim sin sin n n i i xdx nn . 3 分 又 2 sin sin sin 1 2 sin sin sin 11 11 2 nn n n n n nn n 1 1 sin 1 n i ni
15、 n n n 5 分 而 1 0 1 12 lim sin sin 1 n n i ni xdx n n n . 故 由夹 逼定 理知 2 sin sin sin 2 lim 11 1 2 n nn n nn n . 6 分 八、( 本题满分 5 分) 设正项 数列 n a 单减 ,且 级数 1 ) 1 ( n n n a 发散, 试问 级数 n n n a 1 ) 1 1 ( 是否 收敛 ?并 说明理 由. 解: 级数 1 1 1 n n n a 收敛. 1 分 理由: 由于 正项 数列 n a 单调 减少有 下界 ,故 lim n n a 存在 , 记这个 极限 值为a ,则 0 a .
16、2 分 若 0 a ,则 由莱 布尼 兹定 理知 1 ( 1) n n n a 收敛, 与题 设矛 盾, 故 0 a . 3 分 于是 11 1 11 n aa ,从而 11 11 n n n aa . 而 1 1 1 n n n a 是公 比为 1 1 1 a 的几 何级数 ,故 收敛.因 此由 比 较判别 法知 原级 数收 敛. 5 分 ( 注:(1) 若未说 明 0 a ,本题 至多 给 2 分,(2) 本题 也可 用根植 判别 法) 九、( 本题满分 6 分) 设 () y f x 是区 间0,1 上的任 一非 负连 续函数 (1) 试证 :存 在 0 (0,1) x ,使得在 区 间
17、 0 0, x 上以 0 () fx 为高 的矩 形面 积, 等于在 区 间 0 ,1 x 上以 () y f x 为曲 边的 曲边 梯形 面积; (2) 又设 ) (x f 在区 间 (0,1) 内可导, 且 2 ( ) () fx fx x ,证明(1) 中的 0 x 是唯 一的. 证 一:(1) 设 1 ( ) ( ) x F x x f t dt , 2 分 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 6 页 则 (0) (1) 0 FF ,且 1 ( ) ( ) ( ) x F x f t dt xf x . 对 () Fx 在区间0
18、, 1 上 应 用罗尔 定理 知, 存在一 点 0 (0,1) x 使 0 ( ) 0 Fx , 因而 0 1 00 ( ) ( ) 0 x f t dt x f x . 即 矩形 面积 00 () x f x 等于 曲边梯 形面 积 0 1 () x f x dx . 4 分 (2) 设 1 ( ) ( ) ( ) x x f t dt xf x , 5 分 则当 (0,1) x 时,有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x f x f x xf x .所以 () x 在区间 (0,1) 内 单调减 少,故 此时(1) 中的 0 x 是唯 一 的. 6 分 ( 注: 在 证明 (1 )时,
19、 若 对所设 辅助 函数 利用 闭区 间上连 续函 数的 介值 定理 仅得出 0 0,1 x ,但未 排除 端点 ,或 者排 除端点 的理 由不 充分 ,则 只给 1 分. ) 十、( 本题满分 6 分) 已知二 次曲 面方 程 2 2 2 2 2 2 4 x ay z bxy xz yz 可以经 过正交 变换 P z y x 化为椭 圆柱 面方 程 4 4 2 2 ,求 , ab 的值和正 交矩 阵P . 解: 由 11 1 1 1 1 b ba 与 0 1 4 相似 得 11 11 1 1 1 4 b ba 1 分 解之得 到 3, 1 ab . 2 分 对应于 特征 值 1 0 的单位
20、特征 向量为 1 11 ,0, 22 T x ; 对应于 特征 值 2 1 的单位 特征 向量为 2 1 1 1 , 3 3 3 T x ; 对应于 特征 值 3 4 的单位 特征 向量为 3 1 2 1 , 666 T x ; 5 分 因此P 1 1 1 2 3 6 12 0 36 1 1 1 2 3 6 . 6 分 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 7 页 十一、( 本题满分 4 分) 设A 是n 阶矩阵 , 若 存在 正整 数k , 使 线性 方程 组 0 k Ax 有解向 量 ,且 1 0 k A , 证明: 向量 组 1 ,
21、, , k AA 是线性 无关 的. 解:设有 常数 12 , , , k ,使 得 1 12 0 k k AA ,则 有 11 12 ( ) 0 kk k A A A , 2 分 从而有 1 1 0 k A .由于 1 0 k A ,所以 1 0 . 类似 可证得 23 0 k , 因此向 量组 1 , , , k AA 线性 无关. 4 分 十二、( 本题满分 5 分) 已知线 性方 程组() 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0 0 0 nn nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x
22、a x 的一 个基 础解系 为 11 12 1,2 ( , , , ) T n b b b , 21 22 2,2 ( , , , ) T n b b b , 1 2 ,2 ( , , , ) T n n n n b b b 试写出 线性 方程 组 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0 0 () 0 nn nn n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y 的通解,并说 明理 由. 解: (II ) 的通解 为 1 11 12 1 2 2 21 22 2 2 1 2 2 ( , , , , (
23、 , , , , ( , , , , T T T n n n n n n n y c a a a c a a a c a a a ) ) ) 其中 12 , , , n c c c 为任意 常数. 2 分 理由:方程 组(I ) 、( II ) 的系数 矩阵 分别 记为 , AB ,则 由(I )的已 知基 础解 系可 知 0 T AB ,于是 ( ) 0 T T T BA AB ,因 此可 知A 的n 个行 向量的 转置 向量 为(II ) 的n 个 解向量. 3 分 由于B 的秩为n , 故 (II ) 的解空间维 数为 2n n n . 又A 的秩 为 2n 与(I ) 的解 空间 维数
24、之 差 , 即 为n ,故A 的n 个 行向量 线性 无关 , 从而 它 们的转 置向 量构 成 (II ) 的 一个基 础解系 ,于 是得 到(II) 的上述通 解. 5 分 十三、( 本题满分 6 分) 设两个 随机 变 量 X ,Y 相 互独立, 且都 服从 均值 为 0 、 方差为 2 1 的正 态分 布, 求 随机变 量 Y X 的方 差. 解:令Z X Y .由于 22 11 (0,( ) ), (0,( ) ), 22 X N Y N 且XY 和 相互 独立 , 故郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 8 页 (0,1) ZN
25、 . 2 分 因为 2 2 2 2 (| |) ( ) (| | ) (| |) ( ) (| |) D X Y D Z E Z E Z E Z E Z , 3 分 而 22 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 E Z D Z EZ , 22 22 0 1 2 2 (| |) | | 22 zz E Z z e dz ze dz , 所以 2 (| |) 1 D X Y . 6 分 十四、( 本题满分 4 分) 从正态 总体 ) 6 , 4 . 3 ( 2 N 中抽 取容 量 为 n 的样 本, 如果 要求 其样 本 均值位 于区 间( 1.4,5.4 ) 内的概 率不 小 于 0.95 ,问
26、 样本容 量 n 至少 应取 多大 ? 附 表: 标准 正 态分布 表 dt e z t z 2 2 2 1 ) ( 解:以X 表示该 样本 均值 , 则 3.4 (0,1) 6 X nN , 1 分 从而有 1.4 5.4 2 3.4 2 | 3.4| 2 P X P X P X | 3.4 | 2 66 Xn Pn 2 ( ) 1 0.95 3 n . 2 分 故 ( ) 0.975 3 n ,由 此得 1.96 3 n ,即 2 (1.96 3) 34.57 n , 所以 n 至少应 取 35. 4 分 十五、( 本题满分 4 分) 设某次 考试 的考 生成 绩服 从正态 分布 ,从 中
27、随 机抽 取 36 位考 生的 成绩 ,算 得 平均成 绩 为 66.5 分 , 标 准差 为 15 分 , 问 在显 著性 水平 0.05 下 , 是 否可 以认 为这 次考 试 全体考 生的 平 均成绩 为 70 分 ? 并 给出 检 验过程. 附表:t 分布 表 p n t n t P p ) ( ) ( z 1.28 1.645 1.96 2.33 ) (z 0.900 0.950 0.975 0.990 ) (n t pp p n 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及
28、评分标准 1998 年 第 9 页 解: 设该 次考 试的 考生 成 绩为X ,则 2 ( , ) XN . 把从X 中抽 取的 容 量为n 的样本 均值记 为X ,样本 标准 差记 为S .本 题是 在显 著性 水平 0.05 下 检验假 设 01 : 70; : 70 HH , 1 分 拒绝域 为 1 2 | | 70 | | -1) x t n t n s ( . 由 0.975 36, 66.5, 15, (36 1) 2.0301 n x s t , 算得 | 66.5 70 | 36 | | 1.4 2.0301 15 t , 3 分 所以接 受假 设 0 : 70 H , 即在
29、显著 性水平 0.05 下, 可以 认为 这次 考试全 体考 生的 平均 成 绩为 70 分. 4 分 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 10 页 数 学(试卷 二 ) 一、填空题:( 本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) (1) 【 同 数学 一 第 一、 (1 )题 】 (2) 曲线 32 2 y x x x 与 x 轴所围 成的 图 形的面 积 A= 37 12(3) 2 lnsin cot lnsin cot sin x dx x x x x C x . (4) 设 ) (x f 连续, 则 dt t x f t
30、dx d x ) ( 2 2 0 2 () x f x . (5) 曲线 ) 1 ln( x e x y ( 0) x 的渐 近线方 程为 1 y x e . 二、选择题:( 本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) (1) 设数 列 n x 与 n y 满足 0 lim n n n y x , 则 下类 断言正 确的 是 (A ) (A) 若 n x 发散 ,则 n y 必发 散 (B) 若 n x 无界 ,则 n y 必有 界 (C) 若 n x 有界 ,则 n y 必为 无穷 小 (D) 若 n x 1 为无 穷小 ,则 n y 必为 无穷小 (2) 【 同 数学 一 第 二
31、、 (2 )题 】 ( 选项 的排 列顺 序不同 ) (3) 【 同 数学 一 第 二、( 3 )题 】 ( 选项 的排 列顺 序不同 ) (4) 设函数 () fx 在xa 的 某 个 领 域 内 连 续 , 且 () fa 为 极 大 值 , 则 存 在 0 , 当 ( , ) x a a 时, 必有 (A ) (A) 0 ) ( ) ( ) ( a f x f a x . (B) 0 ) ( ) ( ) ( a f x f a x . (C) ) ( 0 ) ( ) ( ) ( lim 2 a x x t x f t f a t . (D) ) ( 0 ) ( ) ( ) ( lim 2
32、 a x x t x f t f a t . (5) 设 A 是 任一 ) 3 ( n n 阶方 阵,A * 是其伴随矩 阵, 又 k 为常 数,且 1 , 0 k , 则必有(kA) * = (B) (A) kA * (B) k n-1 A * (C) k n A * (D) k -1 A 三、( 本题满分 5 分) 求函数 ) 4 tan( ) 1 ( ) ( x x x x f 在 区间 ) 2 , 0 ( 内的 间断 点 ,并判 断其 类型. 解: () fx 在 (0, 2 ) 内的间 断点 为 3 5 7 , , , 4 4 4 4 x . 1 分 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘
33、1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 11 页 在 4 x 处, ( 0) 4 f ,在 5 4 x 处, 5 ( 0) 4 f , 故 5 , 44 x 为第 二类 (或 无穷 )间 断点; 3 分 在 3 4 x 处, 3 4 lim ( ) 1 x fx ,在 7 4 x 处, 7 4 lim ( ) 1 x fx , 故 37 , 44 x 为第 一类 (或 可去 )间 断点; 5 分 四、( 本题满分 5 分) 确定常 数 c b a , , 的值, 使 ) 0 ( ) 1 ln( sin lim 2 0 c c dt t t x ax x b x . 解:由于
34、 0 x 时, sin 0 ax x ,且 极限c 不为 0, 所以当 0 x 时, 3 ln(1 ) 0 x b t dt t ,故 必有 0 b . 1 分 又因为 3 3 3 0 0 0 0 sin cos ( cos ) lim lim lim ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) x x x x ax x a x x a x x x t dt x t 32 00 ( cos ) cos lim lim ( 0) xx x a x a x cc xx . 3 分 故必有 1 a ,从 而 1 2 c . 5 分 五、( 本题满分 6 分) 利用代 换 x e x y x y x y
35、 x u y cos 3 sin 2 cos cos 将方程 化简 , 并 求出 原 方程的 通 解. 解一:由 cos u y x 两端对x 求导 ,得 cos sin u y x y x , cos 2 sin cos u y x y x y x . 2 分 于是原 方程 化为 4 x u u e , 3 分 其通解 为 12 cos 2 sin 2 5 x e u C x C x , 从而原 方程 的通 解为 12 cos2 2 sin cos 5cos x xe y C C x xx . 5 分 解二: sec y u x , sec sec tan y u x u x x , 23
36、sec 2 sec tan sec tan sec y u x u x x u x x u x , 2 分 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 12 页 代入 原 方程 得 4 x u u e . 3 分 以下同 解法 一. 六、( 本题满分 6 分) 计算积 分 2 3 2 1 2 1 dx x x . 解:注意 到被 积函 数内 有 绝对值 且 1 x 是其无 穷间 断点 ,故 3 1 2 22 1 1 2 dx dx x x x x 原 式1 分 而 1 1 2 1 2 1 2 2 11 () 42 dx dx xx x 1 1 2
37、 arcsin(2 1) arcsin1 2 x , 3 分 3 3 2 2 2 2 1 1 11 () 24 dx dx xx x 3 2 2 1 1 1 1 ln ( ) ( ) ln(2 3) 2 2 4 xx . 5 分 因此 3 2 2 1 ln(2 3) 2 dx xx . 6 分 七、( 本题满分 6 分) 【 同 数学一 第 五题 】 八、( 本题满分 6 分) 【 同 数学一 第 九题 】 九、( 本题满分 8 分) 设有曲 线 1 x y , 过 原点 作其 切 线, 求由 此曲 线 、 切 线及x 轴 围成的 平面 图形 绕x 轴旋转 一周 所得 到的 旋转 体的表 面积
38、. 解:设切 点为 00 ( , 1) xx ,则 过原 点 的切线 方程 为 0 1 21 yx x . 再以 点 00 ( , 1) xx 代入, 解得 0 0 0 2, 1 1 x y x ,则切 线方 程为 1 2 yx . 3 分 由曲线 1 (1 2) y x x 绕x 轴一周 所得 到的 旋转面 的面 积 22 2 1 11 2 1 4 3 (5 5 1) 6 S y y dx x dx ; 6 分 郝海龙:考研数学复习大全配套光盘1998 年数学试题参 考解答及评分标准 1998 年 第 13 页 由直线 段 1 (1 2) 2 y x x 绕x 轴一 周所 得到 的旋转 面的
39、 面积 2 2 0 15 25 22 S x dx . 因此, 所求 旋转 体的 表面 积为 12 (11 5 1) 6 S S S . 8 分 十、( 本题满分 8 分) 设 y=y(x) 是一向上凸 的连 续曲线 ,其 上任 意一 点(x,y) 处的曲 率为 2 1 1 y ,且 此曲 线 上的点(0,1) 处 的切 线方 程 为 y=x+1 , 求该 曲线 的方 程,并 求函 数 y=y(x) 的极值. 解:因曲 线向 上凸 ,故 0 y ; 由题设 ,有 32 2 1 1 1 y y y , 2 分 即 2 1 1 y y . 令 , p y p y 则 ,从 而上 述方 程化 为 2
40、 1 1 p p ,分离变 量得 2 1 dp dx p , 解之得 1 arctan p C x . 4 分 因为 () y y x 在点 (0,1) 处切线 方程 为 1 yx ,所以 00 | | 1 xx py ,代入 上式 得 1 4 C ,故 tan( ) 4 yx .积分 得 2 ln | cos( ) | 4 y x C . 6 分 因为曲 线过 点 (0,1) ,所以 0 |1 x y ,代 入上式 得 2 1 1 ln 2 2 C , 故所求 曲线 的方 程为 13 ln | cos( ) | 1 ln 2, ( , ) 4 2 4 4 y x x . 7 分 因为 cos( ) 1 4 x 且当 4 x 时,cos( ) 1 4 x , 所以当 4 x 时函 数取 得