1、 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1) _.2xd(2) 已知 ,则 _.()1f00lim(2)()xxff(3) 设方程 确定 为 的函数,则 _.2cosxyeydyx(4) 设 其中 则 _.12100,nnaAaLML0,12,ianL1A(5) 设随机变量 的概率密度为X2,01,()xf其 他 ，以 表示对 的三次独立重复观察中事件 出现的次数,则Y2X2PY_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项
2、前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线 的渐近线有 ( )2121arctn()xxye(A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条(2) 设常数 ,而级数 收敛,则级数 ( )01n21()nna(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关(3) 设 是 矩阵, 是 阶可逆矩阵,矩阵 的秩为 ,矩阵 的秩为 ,则AmnCArBAC1r( )(A) (B) 1r 1(C) (D) 与 的关系由 而定r(4) 设 ,则 ( ) 0()1,(),()()1PABPAB(A) 事件 和 互不相容 (B) 事件 和 相互对立A(C) 事件 和 互不独立
3、(D) 事件 和 相互独立(5) 设 是来自正态总体 的简单随机样本, 是样本均值,记12,nXL2()NX2 21 2113 4,(),(), ,nni ii ii ii iSXS则服从自由度为 的 分布的随机变量是 ( ) nt(A) (B) 1XtS 21XtSn(C) (D) 3tn4t三、(本题满分 6 分)计算二重积分 其中 .(),Dxyd2(,)1xyxy四、(本题满分 5 分)设函数 满足条件 求广义积分 .(yx40,()2,()4y0()yxd五、(本题满分 5 分)已知 ,求 .22(,arctnarctyxfxyxy2f六、(本题满分 5 分)设函数 可导,且 ,求
4、.(fx10(0),()()xnnfFtftd20()limnxF七、(本题满分 8 分)已知曲线 与曲线 在点 处有公共切线,求:()yaxlnyx0()y(1) 常数 及切点 ；0,(2) 两曲线与 轴围成的平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积 .xxxV八、(本题满分 6 分)假设 在 上连续, 在 内存在且大于零,记(fxa()fxa,()fFx证明 在 内单调增加.()Fx,九、(本题满分 11 分)设线性方程组 2311231344,.xaxaxx(1) 证明:若 两两不相等,则此线性方程组无解；1234,a(2) 设 ,且已知 是该方程组的两个解,其中(0)kk1212,写出此方程
5、组的通解.十、(本题满分 8 分)设 有三个线性无关的特征向量,求 和 应满足的条件.01Axy xy十一、(本题满分 8 分)假设随机变量 相互独立,且同分布1234,X,0.610.4(,23)i iPPXi求行列式 的概率分布.1234X十二、(本题满分 8 分)假设由自动线加工的某种零件的内径 (毫米)服从正态分布 ,内径小于 10 或X(1)N大于 12 的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润 (单位 :元)与销售零件的内径 有如下关系:T1,0,225,.TX问平均内径 取何值时,销售一个零件的平均利润最大 ?1994 年全国硕士研究生入
6、学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】 ln3【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知原式 2220xxxddd22010ln()ln6l3.x(2)【答案】 1【解析】根据导数的定义,有 .000()()limxfxff所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于 00(2)limxfxf000()(fxf0 0000) )(2)li lim2()1.2x xf fxffx所以 原式 .001lim()()xxf
7、f(3)【答案】 sin2yxe【解析】将方程 看成关于 的恒等式,即 看作 的函数.coy xyx方程两边对 求导 ,得x.sin()2sin2xyxy eey【相关知识点】两函数乘积的求导公式： .()()()fxgfgfx (4)【答案】12110000nnaaa【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式 ,1100ABB且 11221nnaaa 所以,本题对 分块后可得 .A1210000nnaa(5)【答案】 964【解析】已知随机变量 的概率密度 ,所以概率 ,求得二项X1204PXxd分布的概率参数后,故 .1(3,)4YB由二项分布的概率计算公式,所求概率为 .231946PYC
8、【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若 ,则 , ,()YBnp(1)knknPYCp0,1n二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(B) 【解析】本题是关于求渐近线的问题.由于 ,2121limarctn()4xxe故 为该曲线的一条水平渐近线.4y又 .21201liarctn()xxe故 为该曲线的一条垂直渐近线 ,所以该曲线的渐近线有两条.0x故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有 ,则 为水平渐近线；lim()xfay铅直渐近线：若有 ,则 为铅直渐近线；li()xaf斜渐近线：若有 存在且不为 ,则 为斜渐,li()xxbfaxy
9、axb近线.(2)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因,222(1)|11nnnaa(第一个不等式是由 得到的.)20,()bb又 收敛, 收敛,(此为 级数： 当 时收敛；当 时发散.)21na21np1pn1p所以 收敛,由比较判别法,得 收敛.21n21()|nna故原级数绝对收敛,因此选(C).(3)【答案】(C)【解析】由公式 ,若 可逆,则()min()rABrBA.1()()ErB从而 ,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).()r(4)【答案】(D)【解析】事实上,当 时, 是事件 与 独立的充分必要0()1PB(|)(|)APBA条件,证明如下：若 ,则
10、(|)(|)PA, ,()1()BP()()()ABPBPA,由独立的定义,即得 与 相互独立 .A若 与 相互独立 ,直接应用乘法公式可以证明 .(|)(|)PAB.(|)1(|)|PB由于事件 的发生与否不影响事件 发生的概率,直观上可以判断 和 相互独立.B B所以本题选(D).(5)【答案】(B)【解析】由于 均服从正态分布 ,根据抽样分布知识与 分布的12,nX 2()Nt应用模式可知, 其中 ,(01)n:1niiX, 21()(1)niiX:21(1).()nii tnX:即 .21 ()()()nii XtSn:因为 分布的典型模式是:设 , ,且 相互独立,则随机变量t (0
11、1)N2()YnXY服从自由度为 的 分布,记作 ./XTYnntTt:因此应选(B).三、(本题满分 6 分)【解析】方法 1：由 ,配完全方得 .21xy2213xy令 ,引入极坐标系 ,则区域为11cos,sin22xryr()r.3(,)02,D故 320()(1cosin)Dxydrrd2200(i)4.2 2003133sincod 方法 2：由 ,配完全方得 .2xy221xy引入坐标轴平移变换： 则在新的直角坐标系中区域 变为圆域1,2uxvyD.213(,)|Du而 ,则有 ,代入即得1xyuvdxyv.1 111()()DDDDududvduv由于区域 关于 轴对称,被积函
12、数 是奇函数,从而 .1v10同理可得 , 又 ,10Ddu132Dduv故 .3()2xy四、(本题满分 5 分)【解析】先解出 ,此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解.(yx方程 的特征方程为 ,解得 .4024012故原方程的通解为 .12()xyCe由初始条件 得),12,C因此,微分方程的特解为 .2xye再求积分即得 200()xde.20limli1b bxbde【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程 ：ypq首先写出方程 的特征方程： ,在复数域内解出两个特0ypq2r征根 ；12,r分三种情况：(1)两个不相等的实数根 ,则通解为12r12;rxrx
13、yCe(2)两个相等的实数根 ,则通解为112r(3)一对共轭复根 ,则通解为1,2ri2cosin.xyex其中 为常数.12,C五、(本题满分 5 分)【解析】由复合函数求导法,首先求 ,由题设可得fx22212arctn1fyyxxy.2322arctnarctnyyxxx再对 求偏导数即得y.2 22211f xyxyy【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 都在点 具(,)(,)uxvy(,)xy有对 及对 的偏导数,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数xy(,)zfuv在点 的两个偏导数存在,且有()()zfxy；12zuzvuvffxxx.12ffyyy六、(本题满分
14、 5 分)【解析】运用换元法,令 ,则nxtu1 1001()()()()().nxn nFfdtfudFxf由于 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,运用洛必达20limnx 0法则,可得12212000()()()lilimlinnnxxxFf,00()()lilinnxxfff由导数的定义,有 原式 .1()2fn【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶可导,则()tFfxd()t.()()Ffttft七、(本题满分 8 分)【解析】利用 在两条曲线上及两曲线在 处切线斜率相等列出三个方程,由0(,xy0()xy此,可求出 ,然后利用旋转体体积公式
15、求出 .a2bafdxV(1) 过曲线上已知点 的切线方程为 ,其中,当 存在时,0()xy00()yk0()y.0()kyx由 知 .由 知 .a2ayxlnyx12y由于两曲线在 处有公共切线,可见 ,得 .0() 0ax21a将 分别代入两曲线方程,有 .021xa0 022211lnlnyaya于是 ,201,xee从而切点为 .2()(2) 将曲线表成 是 的函数, 是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得yV旋转体体积为 2 2 22201 11()(ln)ln4ee exVxdxdxd.2222 21 1ll4ee 【相关知识点】由连续曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形
16、绕 轴()yfx,axbx旋转一周所得的旋转体体积为： .2()baVfd八、(本题满分 6 分)【解析】方法 1: ,22()()1) ()()fxafxaFfxafxa 令 ()()(,ff 由 ) )(0),xaxfxafxa 知 在 上单调上升 ,于是 .(,(故 .2()0xFa所以 在 内单调增加.(),方法 2: .2()()1()fxfxafxaFfx 由拉格朗日中值定理知 , .()ffx)于是有 .1()Fxfa 由 知 在 上单调增,从而 ,故 .()0fx()f()()0Fx于是 在 内单调增加.()Fx,a【相关知识点】1.分式求导数公式： 2uv2.拉格朗日中值定理
17、：如果函数 满足在闭区间 上连续；在开区间 内可导,()fx,abab那么在 内至少有一点 ,使等式 成立.,abab()()ff九、(本题满分 11 分)【解析】(1)因为增广矩阵 的行列式是范德蒙行列式, 两两不相等, 则有A1234,a,213141324()()()0aa故 .而系数矩阵 的秩 ,所以方程组无解 .()4rAr(2)当 时,方程组同解于1324,(0)kk231,.xk因为 ,知 .120k()rA由 ,知导出组 的基础解系含有 1 个解向量,即解空间的维数()31nr0x为 1.由解的结构和解的性质,是 的基础解系.12210Ax于是方程组的通解为 ,其中 为任意常数
18、.12kkk【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设 是 矩阵,线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广AmnAxb矩阵 的秩,即 .(或者说, 可由 的列向量 线表出,亦b()rA12,n等同于 与 是等价向量组)12n 12,n设 是 矩阵,线性方程组 ,则xb（1） 有唯一解 ().rAn（2） 有无穷多解 （3） 无解 ()1().r不能由 的列向量 线表出.bA12,n2.解的结构：若 、 是对应齐次线性方程组 的基础解系,知 的通解12 0xAxb形式为 其中 是 的基础解系, 是 的一个特解. 12,k,0xb3.解的性质：如果 是 的两个解,则其线性组合
19、 仍是 的12A12k0x解；如果 是 的一个解 , 是 的一个解,则 仍是 的解.AxbxA十、(本题满分 8 分)【解析】由 的特征方程,按照第二列展开 ,有,2011()()10EAxy得到 的特征值为 .123,1由题设有三个线性无关的特征向量,因此, 必有两个线性无关的特征向量 ,从而 .这样才能保证方程组 解空间的维数是 2,()rEA()0EAX即有两个线性无关的解向量.由初等行变换,将 第一行加到第三行上,第一行乘以 后加到第二行上有x,1010xyy由 ,得 和 必须满足条件 .()1rEAxy十一、(本题满分 8 分)【解析】记 则 随机变量 和 相互独立且同分布,1423
20、,YX12,XY1Y2由 与 独立可得出 ,故AB()()PAB11414140.16,PX.110084PYY由行列式的计算公式,随机变量 有三个可能取值：12,XY1,0.122, 846.34,XP10.3,PY00.7X所求的行列式的概率分布列于下表:0 11Px0.1344 0.7312 0.1344十二、(本题满分 8 分)【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有 (10212512ETPXXP()()(0)()25.此时数学期望依赖于参数 ,为使其达到最大值,令其一阶导数为 0,有22(10)(1)()(1)2(10)5,dETee令 ,得 ,()022()(1)5e即 .22(1)(1)5e解上面的方程得 05ln0.9得到唯一驻点 ,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而01.9且这个最大值是唯一的.由题意知,当 毫米时,平均利润最大.0
