1、 1 / 18常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1.绕点型（手拉手模型）（1 ）自旋转： 三三 三三三三 0018962 / 18例题讲解：1. 如图所示，P 是等边三角形 ABC 内的一个点，PA=2 ，PB= ，PC=4，求ABC 的边长。32CAB P2. 如图，O 是等边三角形 ABC 内一点，已知：AOB=115，BOC=125，则以线段OA、OB、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？ABCO3 / 183.如图，P 是正方形 ABCD 内一点，且满足 PA：PD：PC=1：2：3，则APD= .
2、4.如图（2-1）：P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到正方形的三个顶点 A、B、C 的距离分别为 PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形 ABCD 面积。（2 ）共旋转（典型的手拉手模型）4 / 18模型变形： 三三三 三三三三 三三三5 / 18三三三例题讲解： 1. 已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B,C 重合） ，以 AD为边作菱形 ADEF(按 A,D,E,F 逆时针排列） ，使DAF=60,连接 CF.(1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证： BD=CF AC=CF+CD.(2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上
3、且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF 、 CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。2.（13 北京中考）6 / 18在ABC 中，AB=AC，BAC= （ ） ，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得60到线段 BD。（1 ）如图 1，直接写出ABD 的大小（用含 的式子表示） ；（2 ）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断ABE 的形状并加以证明；（3 ）在（2 ）的条件下，连结 DE，若DEC=45 ，求 的值。
4、2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。7 / 18例题：1.在等腰直角ABCD 的斜边上取两点 M,N,使得 ,记 AM=m,MN=x,BN=n，45 MCN求证以 m，x，n 为边长的三角形为直角三角形。m x n BCA M N2.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB,AD 上各存在一点 P、 Q，若APQ 的周长为 2，求 的度数。PCQDACBQP3. 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， ， 为EFACD45EAF HEF垂足，求证： H CHFEDBA8 / 184. 已知，正方形
5、ABCD 中，MAN=45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N，AHMN 于点 H（1）如图，当MAN 点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系：AH=AB；（2）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，（1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的长（可利用（2）得到的结论）5.已知：正方形 ABCD 中，MAN=45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC
6、(或它们的延长线) 于点 M，N 当MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时( 如图 1)，易9 / 18证 BM+DN=MN(1)当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时( 如图 2)，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明(2)当MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想6.(14 房山 2 模). 边长为 2 的正方形 的两顶点 、 分别在正方形 EFGH 的两边ABCD、 上(如图 1)，现将正方形 绕 点顺时针旋转，当 点第一次落在 上DEGADF时停止旋转，旋转过程中， 边交 于
7、点 ， 边交 于点 .FMGN（1）求边 在旋转过程中所扫过的面积；A（2）旋转过程中，当 和 平行时(如图 2)，求正方形 旋转的度数；MNCBC（3）如图 3，设 的周长为 ，在旋转正方形 的过程中， 值是否有变化？BpADp请证明你的结论.10 / 187. (2011 石景山一模)已知：如图，正方形 ABCD 中，AC，BD 为对角线，将BAC 绕顶点 A 逆时针旋转 （045 ） ，旋转后角的两边分别交 BD 于点 P、点 Q，交BC， CD 于点 E、点 F，连接 EF，EQ（1 ）在 BAC 的旋转过程中， AEQ 的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直
8、接在答题卡上写出结果，不必证明） ；（2 ）探究APQ 与AEF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明8已知在 中， ， ， 于 ，点 在直线ABC 9026CBAABDE上， ，点 在线段 上， 是 的中点，直线 与直线 交于DE21FMCF点.N（1 ）如图 1，若点 在线段 上，请分别写出线段 和 之间的位置关系和数量DAE关系：_，_；（2 ）在（1 ）的条件下，当点 在线段 上，且 时，求证：F2FD；45CNE11 / 18（3 ）当点 在线段 的延长线上时，在线段 上是否存在点 ，使得ECDABF若存在，请直接写出 的长度；若不存在，请说明理由45NFDCBA9.(2014 平谷
9、一模 24)（1 ）如图 1，点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，EAF =45，连接 EF，则 EF、BE、FD 之间的数量关系是：EF=BE+FD连结 BD，交 AE、AF 于点 M、N，且MN、 BM、DN 满足 ，请证明这个等量关系；22DNBM（2 ）在ABC 中， AB=AC，点 D、E 分别为 BC 边上的两点如图 2，当BAC=60，DAE=30时，BD 、DE、EC 应满足的等量关系是如图 3，当BAC= ，(0 90)，DAE= 时，BD、DE、EC 应满足的等量关系21是_ 【参考： 】cossin22注意： 2AMBDNMFEDCBA图 1备用
10、图12 / 18MABC DEFMNABCDEF三1 B CDE三2 AB CDE三3AMN(1) 在正方形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90，ABM=ADN=45 把ABM 绕点 A 逆时针旋转 90得到 MAD连结 则 ,MN ，BD， 45EAF=45，BAM+DAN=45, DAM+ DAF=45, 45AN =MNNA在 中， ,DM 90 DM22 B（2 ） ； 22ECE 2cosDD3.空翻模型13 / 18例题：1.如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点(点 除外)，作MABDB，射线 与 外角的平分线交于点 ， 与 有怎样的数量关60DNN NDM系?NE
11、BMADG NEBMAD【解析】 猜测 .过点 作 交 于点 ， ，DNGD GAGDMB又 ，120 120N ，而 ，AB B ， DGMN DM2.如图，点 为正方形 的边 上任意一点， 且与 外角的平分线MABCDMNDABC交于点 ， 与 有怎样的数量关系？N14 / 18NCDEBMANCDEBMA【解析】 猜测 .在 上截取 ，DNG ，G45 ， ，13B ADNB ， DMN M3.【探究发现】如图， 是等边三角形， ，EF 交等边三角形外角平分线ABC60AEFCF 所在的直线于点 F当点 E 是 BC 的中点时，有 AE=EF 成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究 AE
12、、EF 的关系时 ， 运用 “从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点 E 是直线 BC 上（B,C 除外）任意一点时(其它条件不变) ，结论AE=EF 仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点 E 是线段 BC 上的任 意一点”；“点 是线段 BC延长线上的任意一点”；“ 点 是线段 BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图 1 中画出图形，并进行证明 CABCABFCABE15 / 18【拓展应用】当点 E 在线段 BC 的延长线上时，若 CE = BC，在备用图 2 中画出图形，并运用上述结论求出 的值:ABCFS4.弦图模型外弦图 内弦图 总统
13、图例题：1.两个全等的 30，60 三角板 ADE,BAC,如右下图所示摆放，E 、A、C 在一条直线上，连接 BD,取 BD 的 中点 M， 连 接 ME， MC（ 1） 求 证 ： EDM CAM； （ 2） 求 证 ： EMC 为 等 腰 直 角 三 角 形 2.如图ABC 中，已知A=90，AB=AC,16 / 18(1)D 为 AC 中点，AE BD 于 E,延长 AE 交 BC 于 F,求证：ADB=CDF(2)若 D，M 为 AC 上的三等分点，如图 2，连 BD，过 A 作 AEBD 于点 E，交 BC 于点F，连 MF，判断ADB 与CMF 的大小关系并证明3.(14 朝阳二
14、模) 已知ABC =90，D 是直线 AB 上的点，AD =BC（1 ）如图 1，过点 A 作 AFAB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF、CF，判断CDF 的形状并证明；（2 ）如图 2，E 是直线 BC 上的一点，直线 AE、CD 相交于点 P，且APD=45，求证BD=CE PECABD图 2FCABD图 117 / 18二、对称全等模型下图依次是 450、30 0、22.5 0、15 0及有一个角是 300直角三角形的对称（翻折） ，翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 GFE CBDA GFE CBDA P3P2P1A CBP EDAB CFEDBAC例题：1.
15、 如图 1，在ABC 中，已知BAC=45，ADBC 于 D，BD=2，DC=3，求 AD 的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图 1她分别以 AB、AC 为对称轴，画出ABD、ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，得到四边形 AEGF 是正方形设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图 2，在ABC 中，BAC=30，ADBC 于 D，AD=4请你按照小萍的方法画图，得到四边形 AEGF，求BGC 的周长（画图所用字母与图 1 中的字母对应）18 / 182. 问题：已知 ABC 中， BAC=2 ACB，点 D 是 ABC 内一点，且 AD=CD， BD=BA.探究 DBC 与 ABC 度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当 BAC=90时，依问题中的条件补全右图.观察图形， AB 与 AC 的数量关系为_；当推出 DAC=15时，可进一步推出 DBC 的度数为_；可得到 DBC 与 ABC 度数的比值为_.（2）当 BAC90时，请你画出图形，研究 DBC 与 ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.A B C
