1、用心 爱心 专心 - 1 -导数及其应用1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等） ；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c, mx(m 为有理数)， xaexalog,n,cos,in 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值导 数 导 数 的 概 念导 数 的 求 法 和 、 差 、 积 、
2、商 、 复 合 函 数 的 导 数导 数 的 应 用 函 数 的 单 调 性函 数 的 极 值函 数 的 最 值导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第 1 课时 变化率与导数、导数的计算1导数的概念：函数 y )(xf的导数 )(xf，就是当 x0 时，函数的增量 y 与自变量的增量 x的比 的 ，即 2导函数：函数 y )(xf在区间(a, b)内 的导数都存在，就说 )(xf在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做 )(xf的 ，记作 f或 y，函数 xf的导函数 (xf在 0时的函数值 ，就是
3、 f在 0x处的导数.基础过关知识网络考纲导读高考导航用心 爱心 专心 - 2 -3导数的几何意义：设函数 y )(xf在点 0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 ),(0yxM处的 .4求导数的方法(1) 八个基本求导公式)(C ； )(nx ；(nQ) sinx ， cos )(e ， )(xa lnx ， log (2) 导数的四则运算)(vu )(xCf ， vu )0(v(3) 复合函数的导数设 )(xu在点 x 处可导， )(ufy在点 )(x处可导，则复合函数 )(xf在点 x 处可导， 且f ，即 xx.例 1求函数 y= 12x在 x0到 x0+x 之间的平
4、均变化率.解 y= 1)()( 20020 xx.)(2,1)(2 200200 xxyxx变式训练 1. 求 y= 在 x=x0处的导数.解 )()(limlimli 00000 xxxxyx.211li 00x例 2. 求下列各函数的导数：（1） ;sin25xy （2） );3(2)1(xxy（3） ;4co1i （4） .典型例题用心 爱心 专心 - 3 -解 (1) ,sinsin232251xxxyy .cossi)si()( 23532 xx （2）方法一 y=（x 2+3x+2） （x+3）=x 3+6x2+11x+6，y=3x 2+12x+11.方法二 y=)()1(3)(1
5、 xxx=2)2(1x（x+3）+（x+1） （x+2）=（x+2+x+1） （x+3）+（x+1） （x+2）=（2x+3） （x+3）+（x+1） （x+2）=3x 2+12x+11.（3）y= ,sin21co2sinxx .s)(sisi1xxy（4） xxx12)(11 ， .)(2)(2y变式训练 2：求 y=tanx 的导数.解 y .cos1csinocos)(in)(sincosi 222 xxxx 例 3. 已知曲线 y= .341（1）求曲线在 x=2 处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）y=x 2,在点 P（2，4）处的切线的斜率 k= y|x
6、=2=4. 曲线在点 P（2，4）处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. （2）设曲线 y= 31x与过点 P（2，4）的切线相切于点 341,0xA，则切线的斜率 k= y| 0x= 2. 切线方程为 ),(3410x即 .34200xy 点 P（2，4）在切线上，4= ,342即 ,04,03230 xx ,0)1()1(00xx(x 0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2,用心 爱心 专心 - 4 -故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 变式训练 3：若直线 y=kx 与曲线 y=x3-3x2+2x 相切，则 k= .答案
7、2 或 41例 4. 设函数 bxaf)( (a,bZ)，曲线 )(xfy在点 )2(,f处的切线方程为 y=3.（1）求 xf的解析式；（2）证明：曲线 )(xfy上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解 2)(1)(bxaf，于是 ,0)2(1,3ba解得 ,1或 .38,49ba因为 a,bZ，故 .(xf（2）证明 在曲线上任取一点 1,00x由 200)1()(xf知，过此点的切线方程为 )(02002 xy令 x=1，得 10xy，切线与直线 x=1 交点为 1,0x令 y=x，得 20，切线与直线 y=x 的交点为 )2,(00
8、直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为 2121210000 xx所以，所围三角形的面积为定值 2.变式训练 4：偶函数 f（x）=ax 4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P（0，1） ，且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2，求 y=f（x）的解析式.解 f（x）的图象过点 P（0，1） ，e=1. 又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）.故 ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0，d=0. f（x）=ax 4+cx2+1.函数 f（x）在 x=1 处的切线方程为 y=x-2，可得切点为（1，-1）.a+c+1=
9、-1. 用心 爱心 专心 - 5 - )1(f=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，4a+2c=1. 由得 a= 25，c= 9. 函数 y=f（x）的解析式为 .1295)(4xxf1理解平均变化率的实际意义和数学意义。2要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.第 2 课时 导数的概念及性质1 函数的单调性 函数 y )(xf在某个区间内可导，若 )(xf0，则 )(xf为 ；若 )(xf0，则)(xf为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有 0)(xf，则 )(xf .注：连续函数在开区间和与之相
10、应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数 )(xf的 ； 求 f，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函数 )(的间断点（即 )(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间； 确定 )(xf在各小开区间内的 ，根据 )(xf的符号判定函数 )(xf在各个相应小开区间内的增减性.2可导函数的极值 极值的概念设函数 )(xf在点 0附近有定义，且对 0x附近的所有点都有 （或 ） ，则称0f为函数的一个极大（小）值称 为极大（小）值点. 求可导函数极值的步骤： 求导数 )
11、(xf； 求方程 0 的 ；小结归纳基础过关用心 爱心 专心 - 6 - 检验 )(xf在方程 )(xf0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数 y )(f在这个根处取得 .3函数的最大值与最小值： 设 y )(xf是定义在区间a ,b 上的函数，y )(xf在(a ,b )内有导数，则函数 y)(xf在a ,b 上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行： 求 y )(xf在(a ,b )内的 值； 将 y 的各 值与 )(af、 bf比较，其中最大的一个为最大值，
12、最小的一个为最小值.(3) 若函数 y )(xf在a ,b 上单调递增，则 )(af为函数的 ， )(bf为函数的 ；若函数 y 在a ,b 上单调递减，则 为函数的 ， 为函数的 .例 1. 已知 f(x)=ex-ax-1.（1）求 f(x)的单调增区间；（2）若 f(x）在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围；（3）是否存在 a,使 f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.解： )(xf=ex-a.（1）若 a0， )(f=ex-a0 恒成立，即 f(x)在 R 上递增.若 a0,ex-a0,e xa,xlna.f(x)的单调递
13、增区间为(lna,+).（2）f（x）在 R 内单调递增， )(xf0 在 R 上恒成立.e x-a0，即 ae x在 R 上恒成立.a（e x） min，又e x0，a0.（3）方法一 由题意知 ex-a0 在（-，0上恒成立.ae x在（-，0上恒成立.e x在（-，0上为增函数.x=0 时，e x最大为 1.a1.同理可知 ex-a0 在0，+）上恒成立.ae x在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0 为 f(x)的极小值点. )(f=0,即 e0-a=0,a=1.变式训练 1. 已知函数 f(x)=x3-ax-1.（1）若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求实数
14、a 的取值范围；（2）是否存在实数 a,使 f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不典型例题用心 爱心 专心 - 7 -存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方.（1）解 由已知 )(xf=3x2-a,f(x) 在（-,+）上是单调增函数， )(xf=3x2-a0 在（-,+ ）上恒成立，即 a3x 2对 xR 恒成立.3x 20,只需 a0,又 a=0 时， )(xf=3x20,故 f(x)=x3-1 在 R 上是增函数，则 a0.（2）解 由 )(xf=3x2-a0 在(-1,1)上恒成立，得 a3x 2,x(
15、-1,1)恒成立.-10,即 e-ax(-ax2+2x)0,得 02 时,f(x）在（1，2）上是减函数,f（x） max=f（1）=e -a. 当 1 a22,即 1a2 时，f(x)在 ,1上是增函数，在 2,a上是减函数，f(x) max=f a2=4a-2e-2. 当 2 时，即 02 时，f(x)的最大值为 e-a. 变式训练 3. 设函数 f(x)=-x(x-a)2(xR),其中 aR.（1）当 a=1 时，求曲线 y=f(x)在点（2，f(2)处的切线方程；（2）当 a0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值.解：（1）当 a=1 时，f(x)=-x(x-1) 2=-x3+2x2
16、-x,f(2)=-2, )(xf=-3x2+4x-1,)2(f-12+8-1=-5,当 a=1 时，曲线 y=f(x)在点（2,f(2)处的切线方程为5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a) 2=-x3+2ax2-a2x,)(xf=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),用心 爱心 专心 - 9 -令 )(xf=0,解得 x= 3a或 x=a.由于 a0，以下分两种情况讨论.若 a0，当 x 变化时， )(xf的正负如下表：x (-, 3a) ( 3a,a)a (a,+)(f- 0 + 0 -f(x) 3274a 0 因此，函数 f(x)在 x= 处取得极小值 f（ 3a）
17、，且 f（ 3a）=- ;2743函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=0.若 a0, =0 时,x=12，当 00,当 x12 时， )(xP0( )(xf-1 C.a- e15.已知函数 y=f(x)=x3+px2+qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点，且 y 极小值 =-4，那么 p、q 的值分别为 （ ）A.6,9 B.9,6 C.4,2 D.8,66.已知 x0,y0，x+3y=9,则 x2y 的最大值为 （ ）A.36 B.18 C.25 D.427.下列关于函数 f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 （ ）f(x)0 的解集是x|00 D.b2
18、或 c0,y=x 2+ +12 .122x上式等号仅当 x2= 1,即 x= 4时成立，所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2+1.22. 解 )(ts=3t2+2bt+c.由图象可知，s(t)在 t=1 和 t=3 处取得极值.则 )1(s=0, )3(s=0.用心 爱心 专心 - 17 -即 ,06273cb解得 96cb )(ts=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3).当 t 1，1 ）时， )(ts0.当 t(1,3)时， t0.则当 t=1 时，s(t)取得极大值为 4+d.又 s(4)=4+d，故 t 21，4 时，s(t)的最大值为 4+d.已知 s(t) 34或 d 34或 d-1.
