1、第二十二章 曲面积分,3 高斯公式与斯托克斯公式,一、高斯公式,1. 定理:,或,证明,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,解,2. 简单应用:,(利用柱坐标变换公式得),使用Guass公式时应注意:,例,2,计算曲面积分,ds,z,y,x,),cos,cos,cos,(,2,2,2,g,b,a,+,+,S,其中为,锥面,2,2,2,z,y,x,=,+,介于平面,0,=,z,及,),0,(,=,h,h,z,之间的部分的下侧,g,b,a,
2、cos,cos,cos,是在,),(,z,y,x,处,的法向量的方向余弦,.,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式,故所求积分为,(1). 通量的定义:,3. 物理意义:,(2). 散度的定义:,散度在直角坐标系下的形式,积分中值定理,两边取极限,高斯公式可写成,二、斯托克斯(stokes)公式,- 斯托克斯公式,1. 定理:,证明思路,曲面积分,二重积分,曲线积分,便于记忆形式,或,斯托克斯公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,解,按斯托克斯公式, 有,2. 简单应用:,解,按斯托克斯公式, 有,解,则单位法向量,解,则单位法向量,即,由斯托克斯公式,即,由斯托克斯公式,三代,二换,一投,三、小结,3、应用的条件,4、物理意义,2、高斯公式的实质,1、高斯公式,6、 斯托克斯公式成立的条件,5、 斯托克斯公式,
