1、初中最值问题专项训练- 1 -解决最值问题的常用方法一、配方法配方法是数学中的一种重要解题思想方法，将已知代数式（等式）配成若干个完全平方式的形式，结合非负数性质，从而使问题得到解决。例 1 设 x、y 为实数，代数式 5x2+4y28xy+2x+4 的最小值为_。二、分类讨论法当解决的问题存在一些不确定因素，这时常用分类讨论法按一定的标准或原则分为若干类、然后逐类求解，再综合这几点的结论从而求解。例 2 已知 0a4，那么 的最大值等于（ ）23a（A）1 （B）5 （C）8 （D）3三、数形结合法有些代数问题条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则可以通过作出与其
2、相关的几何图形，将代数问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来，从而利用几何关系来求解。例 3 使 取最小值的实数 x 的值为_。224(8)16xx四、函数模型法函数模型的应用是数学应用问题的主要类型，从数学角度理解问题，分析问题中的变量和常量，将实际问题抽象成数学问题建立函数模型，再根据函数的性质，结合自变量的取值范围从而求出最值。例 4 某工厂计划为震区生产 A，B 两种型号的学生桌椅 500 套，以解决 1250 名学生的学习问题，一套 A 型桌椅（一桌两椅）需木料 0.5m3，一套 B 型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料 302m3。（1）有多少种生产方案？（2）现
3、要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套 A 型桌椅的生产成本为 100 元，运费2 元；每套 B 型桌椅的生产成本为 120 元，运费 4 元，求总费用 y（元）与生产 A 型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。 （总费用=生产成本+运费）例 5 已知：抛物线 y=ax22ax+c(a0)与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点A，B，点 A 的坐标为（4，0） 。初中最值问题专项训练- 2 -（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E，连接 CQ。当CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标。五、
4、不等式法一些要求最大利润，最优方案生活问题，可根据题意把实际问题转化为不等式模型，从而求出某些量的取值范围，再结合函数性质求解。例 6：某加工厂以每吨 3000 元的价格购进 50 吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费为 600 元，需 天，每吨售价 4000 元；若进行精加工，每吨加工费用为 900 元，需13天，每吨售价为 4500 元，现将这 50 吨原料全部加工完。12（1）设其中粗加工 x 吨，获利 y 元，求 y 与 x 的函数关系式。（2）如果必须在 20 天内完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？六、垂线段法在一些几何问题中要求线段、周长、面积最小值时，可通过把
5、相关线段特殊化，化为垂线段，根据垂线段最短的性质从而得解。例 7：边长为 a 的菱形 ABCD 中，DAB=60，E 是 AD 上异于 A、D 两点的一个动点，F 是 CD 上的动点，且满足 AE+CF=a，如图。（1）证明：不论 E、F 怎样移动，BEF 总是正三角形，求出BEF 面积最小值。七、判别式法求某些字母代数式的最值时可设整个代数式为一个新的字母再变形转化为某个字母的一元二次方程，进而根据一元二次方程根的判别式去求出新字母的取值范围，即确定原代数式的取值范围，从而得解。例 8：设 a，b 为实数，那么代数式 的最小值是多少？22aba八、对称变换法求某些几何图形中的线段的和的最小值
6、时，可采用轴对称变换的方法将其中一条线段变换，进而把两条线段合并成一条线段根从而求出最值。例 9：如图，正方形 ABC 的边长为 3，点 E 在 BC 上，且 BE=2，点 P 在 BD 上移动，则ADCBE F初中最值问题专项训练- 3 -PE+PC 的最小值是多少？九、换元法对于形如 的函数，一般可考虑用换元法将其转化为二次函数，通yaxbcd过求二次函数的最值来达到求原函数的最值的目的。例 10 求函数 y=x 的最值。12十、消元法对于有条件等式的多元问题，常通过消元法把多个元素转化为以某一元素为主元的等式，再结合已知条件，经过合理的运算，使问题逐步简化，再求解。例 11 a、b、c
7、是非负实数，并且满足 3a+2b+c=5 , 2a+b3c=1 , 设 m=3a+b7c，记 x 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值，则 xy=_。十一、枚举法有些求最值问题可根据已知条件列举所有可能出现的情形，再通过计算后进行比较结果从而求出。例 12：若 a、b、c、d 是四个不相等的自然数，且 abcd=2583，求 S=a+b+c+d 的最值。十二、估算法对所要考察的代数式的取值情况，进行恰当的估算，确定其范围，可促使问题简明快捷地获解。例 13：五个互不相等自然的平均数是 15，中位数是 18，这五个数中最大数的最大值为（ ）（A）35 （B）36 （C）37 （D）38十三、转
8、化法（可化为一元二次方程的方程）转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程) 的基本思想解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解例 14： 若 051285xx，则 152x的值为 沙场练兵初中最值问题专项训练- 4 -1若关于 x的方程 01a有增根，则 a的值为 ；若关于 x的方程 12a 曾一 1 的解为正数，则 的取值范围是 2解方程 12)0(9)2(1)()( xxxx 得 3已知方程 m23有一个根是 2，则 m= 4方程 972xx的全体实数根的积为( )A60 B一 60 C10 D一 105解关于 的
9、方程 112xk不会产生增根，则是的值是( )A2 B1 C不为 2 或一 2 D无法确定6已知实数 x满足 02x，那么 x的值为( )A1 或一 2 B一 1 或 2 C1 D一 2 7(1)如表，方程 1、方程 2、方程 3、，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处；(2)若方程 bxa( a)的解是 1x=6， 2=10，求 a、 b的值该方程是不是(1)中所给的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程?(3)请写出这列方程中的第 n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第 n个方程序号 方 程 方程的解1 126x1x= 2x= 2 38=4 =63 1
10、40x 1x=5 2x=8 8解下列方程：（1） 619212xx ；（2） 0838822x；(3) 10)4(3)(；(4) 12xx9已知关于 的方程 022mx，其中 为实数，当 m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根 初中最值问题专项训练- 5 -10方程 221xx的解是 11解方程 21476513222 xxxx 得 12方程 87981的解是 13若关于 x的方程 03124xa恰有两个不同的实数解，则实数 a的取值范围是 14解下列方程：(1) 6)1(43)76(2xx；(2) 222)43(7x；（3） 3)1(2x；（4） 015当 a取何值时，方程 212xax有负数解?16已知 058234xx，求 的值 17已知：如图，四边形 ABCD 为菱形，AF上 AD 交 BD 于 E 点，交 BC 于点 F(1)求证：AD 2= 1 DEDB；(2)过点 E 作 EGAE 交 AB 于点 G，若线段 BE、DE(BE0)的两个根，且菱形 ABCD 的面积为 36，求 EG 的长
