1、备战 2017 中考系列：数学 2 年中考 1 年模拟第七篇 专题复习篇解读考点知 识 点 名师点晴特殊的四边形的变式题来源:理解并掌握特殊的四边形的性质，并能解决四边形的有关变式问题来源:学.科.网 Z.X.X.K三角形有关的变式题 利用三角形的性质、全等、相似解决相关是变式问题变式猜想问题来源 :ZXXK来源:学_科_网 Z_X_X_K图形的旋转与对称变式 利用图形的旋转和有关变换解决相关的变式问题考点归纳归纳 1：几何图形的有关变式猜想问题基础知识归纳：几何图形的变式猜想问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、矩形、菱形、正方形等几何载体基 本方法归纳：对于几何变式猜想问题主
2、要有以下的解题思路：其一是弄清在变式过程中，存在哪些变量与不变的关系；其二是建立起不变关系与变化的量之间存在的位置关系和数量关系，其基本工具是全等三角形和相似三角形、锐角三角函数等注意问题归纳：解决几何变式问题时，要注意特殊情况下的已知条件和结论之间的逻辑关系，从特殊到一般、类比归纳是解决此类问题的重要方法【例 1】 （2016 四川省达州市）ABC 中，BAC =90，AB=AC ，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与B，C 重合） ，以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF（1）观察猜想如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，BC 与 CF 的位置关系为： BC，
3、CD，CF 之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论，是否仍然成立 ？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸如图 3，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE若已知AB= ，CD= BC，请求出 GE 的长214【例 2】 （2016 山东省东营市）如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC ，四边形 ADEF是正方形，点 B、C 分别在边 AD、AF 上，此时 BD=CF，BDCF 成立（1）当ABC 绕点 A 逆时针旋转 （090
4、）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当ABC 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 H求证：BDCF；当 AB=2，AD= 时，求线段 DH 的长32 年中考【2016 年题组】一、填空题1 （2016 四川省内江市）问题引入：（1）如图，在ABC 中，点 O 是ABC 和ACB 平分线的交点，若A=，则BOC= （用 表示） ；如图，CBO= ABC，BCO= ACB，A=，则BOC= 1313（用 表示）拓展研究：（2）如图，CBO= DBC，BCO= ECB，A=，请猜想BOC= （用 1313表示） ，并说明理由
5、类比研究：（3）BO、CO 分别是ABC 的外角DBC、ECB 的 n 等分线，它们交于点O，CBO= DBC，BCO = ECB ，A=，请猜想BOC= 1n1n二、解答题2 （2016 山东省临沂市）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，且 CE=BF连接 DE，过点 E 作 EGDE，使 EG=DE，连接 FG，FC （1）请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，A
6、B 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断3（2016 山东省济南市）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究（一）尝试探究如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=60，ABC=ADC=90，点 E、F 分别在线段 BC、CD上，EAF =30，连接 EF（1）如图 2，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 60后得到ABE（AB与 AD 重合） ，请直接写出EAF= 度，线段 BE、EF 、FD 之间的数量关系为 （2）如图 3，当但点 E、F 分别在线段 BC、CD 的延长线上时，其他条
7、件不变，请探究线段 BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由（二）拓展延伸如图 4，在等边ABC 中，E、F 是边 BC 上的两点，EAF =30，BE=1，将ABE 绕点 A 逆时针旋转60得到ABE （ A B与 AC 重合） ，连接 EE，AF 与 EE交于点 N，过点 A 作 AMBC 于点M，连接 MN，求线段 MN 的长度4 （2016 广西南宁市）已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，ABC=60，EAF 的两边分别与射线CB，DC 相交于点 E，F，且EAF =60（1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系；（2）如图
8、2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：B E=CF；（3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB =15时，求点 F 到 BC 的距离5（2016 四川省南充市）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为正方形内一动点，若点 M 在 AB 上，且满足PBCPAM，延长 BP 交 AD 于点 N，连结 CM（1）如图一，若点 M 在线段 AB 上，求证：A PBN ；AM=AN ；（2）如图二，在点 P 运动过程中，满足PBCPAM 的点 M 在 AB 的延长线上时，AP BN 和AM=AN 是否成立？（不需说明理由）是否存在满足条件的
9、点 P，使得 PC= ？请说明理由126 （2016 江苏省泰州市）已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F在线段 CB 的延长线上，连接 EA、EC （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点 P 在线段 AB 上如图 2，连接 AC，当 P 为 AB 的中点时，判断ACE 的形状，并说明理由；如图 3，设 AB=a，BP =b，当 EP平分AEC 时，求 a：b 及AEC 的度数7 （2016 福建省南平市）已知在矩形 ABCD 中，ADC 的平分线 DE 与 BC 边所在的直线交于点 E，点 P是线
10、段 DE 上一定点（其中 EPPD ）（1）如图 1，若点 F 在 CD 边上（不与 D 重合） ，将DPF 绕点 P 逆时针旋转 90后，角的两边 PD、PF分别交射线 DA 于点 H、G求证：PG=PF ；探究：DF、DG、DP 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论（2）拓展：如图 2，若点 F 在 CD 的延长线上（不与 D 重合） ，过点 P 作 PGPF，交射线 DA 于点 G，你认为（1）中 DE、DG、DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由8 （2016 湖北省黄石市）在A BC 中，AB=AC，BAC=2DAE=2
11、（1）如图 1，若点 D 关 于直线 AE 的对称点为 F，求证：ADFABC；（2）如图 2，在（1）的条件下，若 =45，求证： ；22DEBC（3）如图 3，若 =45，点 E 在 BC 的延长线上，则等式 还能成立吗？请说明理E由9 （2016 辽宁省大连市）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，AB=AC ，点 D 在 BC 边上，DAB=ABD，BEAD，垂足为 E，求证：BC=2AE小明经探究发现，过点 A 作 AFBC，垂足为 F，得到AFB=BEA，从而可证ABFBAE（如图 2），使问题得到解决（1）根据阅读材料回答：ABF 与BAE 全等的条件是 AA
12、S（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图 3，ABC 中，AB=AC ，BAC=90，D 为 BC 的中点，E 为 DC 的中点，点 F 在 AC 的延长线上，且CDF=EAC，若 CF=2，求 AB 的长；（3）如图 4，ABC 中，AB=AC ，BAC=120，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，且 AD=kDB（其中0k ），AED =BCD，求 的值（用含 k 的式子表示）3AEC10（2016 辽宁省抚顺市）如图，在ABC 中，BC AC，点 E 在 BC 上，CE=CA，点 D 在 AB 上，连接DE
13、，ACB +ADE =180，作 CHAB，垂足为 H（1）如图 a，当ACB=90时，连接 CD，过点 C 作 CFCD 交 BA 的延长线于点 F求证：FA=DE；请猜想三条线段 DE，AD，CH 之间的数量关系，直接写出结论；（2）如图 b，当ACB=120时，三条线段 DE，AD，CH 之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论11 （2016 青海省）如图 1，2，3 分别以ABC 的 AB 和 AC 为边向ABC 外作正三角形（等边三角形） 、正四边形（正方形） 、正五边形，BE 和 CD 相交于点 O（1）在图 1 中，求证：ABEADC（2）由（1）证得ABEADC，由此可推得在图
14、 1 中BOC=120，请你探索在图 2 中，BOC 的度数，并说明理由或写出证明过程（3）填空：在上述（1） （2）的基础上可得在图 3 中BOC= （填写度数） （4）由此推广到一般情形（如图 4） ，分别以ABC 的 AB 和 AC 为边向ABC 外作正 n 边形，BE 和 CD仍相交于点 O，猜想得BOC 的度数为 （用含 n 的式子表示） 【2015 年题组】1 （2015 甘南州）如图 1，在ABC 和EDC 中，AC =CE=CB=CD；ACB=DCE=90，AB 与 CE 交于F，ED 与 AB，BC，分别交于 M，H（1）求证：CF=CH；（2）如图 2，ABC 不动，将ED
15、C 绕点 C 旋转到BCE=45时，试判断四边形 ACDM 是什么四边形？并证明你的结论2 （2015 齐齐哈尔）如图 1 所示，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 中，点 B、C、G 在同一条直线上，M是线段 AE 的中点，DM 的延长线交 EF 于点 N，连接 FM，易证：D M=FM，DMFM（无需写证明过程）（1）如图 2，当点 B、C、F 在同一条直线上，DM 的延长线交 EG 于点 N，其余条件不变，试探究线段DM 与 FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图 3，当点 E、B、C 在同一条直线上，DM 的延长线交 CE 的延长线于点 N，其余条件不变，探究线段
16、DM 与 FM 有怎样的关系？请直接写出猜想3 （2015 牡丹江）已知四边形 ABCD 是正方形，等腰直角AEF 的直角顶点 E 在直线 BC 上（不与点B，C 重合） ，FM AD ，交射线 AD 于点 M（1）当点 E 在边 BC 上，点 M 在边 AD 的延长线上时，如图，求证：A B+BE=AM；（提示：延长 MF，交边 BC 的延长线于点 H ）（2）当点 E 在边 CB 的延长线上，点 M 在边 AD 上时，如图；当点 E 在边 BC 的延长线上，点 M 在边AD 上时，如图请分别写出线段 AB，BE，AM 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1） ， （2）的条件下，若 BE
17、= ，AFM=15，则 AM= 34 （2015 临沂）如图 1，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ADE 和 DCF，连接 AF，BE（1）请判断：AF 与 BE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图 2，若将条件“两个等边三角形 ADE 和 DCF”变为“两个等腰三角形 ADE 和 DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；（3）若三角形 ADE 和 DC F 为一般三角形，且 AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断5 （2015 威海）如图 1，直线 与反比例函数 （ ）的图象交于点 A，B
18、，直线 与1ykxkyx02ykx反比例函数 的图象交于点 C，D，且 ， ，顺次连接 A，D，B，C，AD，BC 分别交 xkyx12012轴于点 F，H，交 y 轴于点 E，G ，连接 FG，EH（1）四边形 ADBC 的形状是 ；（2）如图 2，若点 A 的坐标为（2，4） ，四边形 AEHC 是正方形，则 = ；2k（3）如图 3，若四边形 EFGH 为正方形，点 A 的坐标为（ 2，6） ，求点 C 的坐标；（4）判断：随着 、 取值的变化，四边形 ADBC 能否为正方形？若能，求点 A 的坐标；若不能，请简1k2要说明理由6 （2015 德州） （1 ）问题如图 1，在四边形 AB
19、CD 中，点 P 为 AB 上一点，DPC=A=B=90，求证：A DBC=APBP（2）探究如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当DPC=A=B= 时，上述结论是否依然成立？说明理由（3）应用请利用（1） （2）获得的经验解决问题：如图 3，在ABD 中，AB=6，AD =BD=5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出了，沿边 AB 向点 B 运动，且满足DPC=A，设点 P 的运动时间为 t（秒） ，当以 D为圆心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切时，求 t 的值7 （2015 济南）如图 1，在ABC 中，ACB =90，AC=BC，EAC=90，
20、点 M 为射线 AE 上任意一点（不与 A 重合） ，连接 CM，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90得到线段 CN，直线 NB 分别交直线CM、射线 AE 于点 F、D（1）直接写出NDE 的度数；（2）如图 2、图 3，当EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变， （1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图 4，若EAC=15 ，ACM=60，直线 CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条件不变，62求线段 AM 的长8 （2015 济宁）阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， ，利用上述结论可以求解如下sin
21、isinabcABC题目：在ABC 中，A、B 、C 的对边分别为 a，b，c若 A=45，B=30，a=6，求 b解：在ABC 中， ， siniabB1sin6i302345理解应用：如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西302105方向的 B1 处，且乙船从 B1 处按北偏东 15方向匀速直线航行，当甲船航行 20 分钟到达 A2 时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2 处，此时两船相距 海里102（1）判断A 1A2B2 的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？9 （2015 烟台） 【问题提出】如图，已知ABC
22、是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC，将BCE 绕点C 顺时针旋转 60至ACF 连接 EF试证明：AB=DB +AF；【类比探究】（1）如图，如果点 E 在线段 AB 的延长线上，其他条件不变，线段 AB，DB ，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB ，AF 之间的数量关系，不必说明理由10 （2015 青岛）已知，如图，在ABCD 中，AB=3cm ，BC =5cm，AC AB，ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到PNM，速度为 1cm/
23、s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s，当PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图 ，设移动时间为 t（s） （0t4） ，连接 PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQMN？（2）设QMC 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使 SQMC ：S 四边形 ABQP=1：4？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（4）是否存在某一时刻 t，使 PQMQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由11 （2015 台州）定义：如图 1，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，
24、MN 和 BN，若以 AM，MN，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点（1）已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AM=2，MN=3，求 BN 的长；（2）如图 2，在ABC 中，FG 是中位线，点 D，E 是线段 BC 的勾股分割点，且 ECDEBD ，连接AD，AE 分别交 FG 于点 M，N，求证：点 M，N 是线段 FG 的勾股分割点；（3）已知点 C 是线段 AB 上的一定点，其位置如图 3 所示，请在 BC 上画一点 D，使点 C，D 是线段 AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可） ；（4）如图 4，已知点
25、 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，MNAMBN，AMC，MND 和NBE 均为等边三角形，AE 分别交 CM，DM，DN 于点 F，G ，H，若 H 是 DN 的中点，试探究 ， 和AMFSBEN的数量关系，并说明理由MNHGS四 边 形12 （2015 丹东）在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O；在 RtPMN 中，MPN=90（1）如图 1，若点 P 与点 O 重合且 PMAD 、PN AB，分别交 AD、AB 于点 E、F，请直接写出 PE 与PF 的数量关系；（2）将图 1 中的 RtPMN 绕点 O 顺时针旋转角度 （045） 如图 2，在旋转过程中（1）中
26、的结论依然成立吗？若成立 ，请证明；若不成立，请说明理由；如图 2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接 EF，若正方形的边长为 2，请直接写出线段 EF 的长；如图 3，旋转后，若 RtPMN 的顶点 P 在线段 OB 上移动（不与点 O、B 重合） ，当 BD=3BP 时，猜想此时 PE 与 PF 的数量关系，并给出证明；当 BD=mBP 时，请直接写出 PE 与 PF 的数量关系13 （2015 大连）在ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 上，且ADF+DEC=180，AFE= BDE（1）如图 1，当 DE=DF 时，图 1 中是否存在与 AB 相等的线段？若存在，请
27、找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图 2，当 DE=kDF（其中 0k 1）时，若A=90，AF=m，求 BD 的长（用含 k，m 的式子表示）14 （2015 葫芦岛）在ABC 中，AB=AC ，点 F 是 BC 延长线上一点，以 CF 为边，作菱形 CDEF，使菱形CDEF 与点 A 在 BC 的同侧，连接 BE，点 G 是 BE 的中点，连接 AG、DG （1）如图，当BAC=DCF=90时，直接写出 AG 与 DG 的位置和 数量关系；（2）如图，当BAC=DCF=60时，试探究 AG 与 DG 的位置和数量关系，（3）当BAC=DCF= 时，直接写出 AG 与 DG 的数
28、量关系15 （2015 抚顺）在 RtABC 中，BAC=90，过点 B 的直线 MNAC，D 为 BC 边上一点，连接 AD，作 DEAD 交 MN 于点 E，连接 AE（1）如图，当ABC=45时，求证：AD =DE；（2）如图，当ABC=30时，线段 AD 与 DE 有何数量关系？并请说明理由；（3）当ABC= 时，请直接写出线段 AD 与 DE 的数量关系 （用含 的三角函数表示）16 （2015 朝阳）问题：如图（1） ，在 RtACB 中，ACB=90，AC=CB，DCE=45，试探究AD、DE、EB 满足的等量关系探究发现小聪同学利用图形变换，将CAD 绕点 C 逆时针旋转 90
29、得到CBH，连接 EH，由已知条件易得EBH=90，ECH=ECB+BCH=ECB +ACD=45 根据“边角边” ，可证CEH ，得 EH=ED在 RtHBE 中，由 定理，可得 BH2+EB2=EH2，由 BH=AD，可得 AD、DE、EB 之间的等量关系是 实践运用（1）如图（2） ，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E、F 分别在 BC、CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求EAF 的度数；（2）在（1）条件下，连接 BD，分别交 AE、AF 于点 M、N ，若 BE=2，DF=3，BM=2 ，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及 MN 的长17 （2015 本溪）如图
30、 1，在ABC 中，AB=AC ，射线 BP 从 BA 所在位置开始绕点 B 顺时针旋转，旋转角为 （0180）（1）当BAC =60时，将 BP 旋转到图 2 位置，点 D 在射线 BP 上若CDP=120，则ACD ABD（填“ ”、 “=”、 “”） ，线段 BD、CD 与 AD 之间的数量关系是 ；（2）当BAC =120时，将 BP 旋转到图 3 位置，点 D 在射线 BP 上，若CDP=60，求证：BDCD= AD；3（3）将图 3 中的 BP 继续旋转，当 30180时，点 D 是直线 BP 上一点（点 P 不在线段 BD 上） ，若CDP=120，请直接写出线段 BD、CD 与
31、 AD 之间的数量关系（不必证明） 18 （2015 锦州）如图，QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，QPN=，将QPN绕点 P 旋转，旋转过程中QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点C，D 不重合） （1）如图，当 =90时，DE，DF ，AD 之间满足的数量关系是 ；（2）如图，将图中的正方形 ABCD 改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当 =60时， （1）中的结论变为 DE+DF= AD，请给出证明；12（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探
32、究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明19 （2015 三明）在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且EAF=CEF=45（1）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG （如图） ，求证：AEGAEF；（2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图） ，求证： ；22EFMN（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图） ，请你直接写出线段 EF，BE，DF 之间的数量关系1 年模拟BCD 中，点 H，E，G，F 分别在 AB，BC，CD，DA 上，若 EFHG 于点 O，探究线段 EF 与 HG 的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HFGE ，如图 3 所示，已知 BE=EC=2，EO =2FO，求图中阴影部分的面积
