1、 1【高效整合篇】一考场传真1.【2012 年北京卷数学（理） 】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+6 5 B. 30+6 5 C. 56+ 12 5 D. 60+1222.【2013 年全国卷新课标数学（理） 】已知 m， n为异面直线， m平面 ， n平面，直线 l满足 m， l n， ,ll ,则（ ）A. 且 B. 且 l C. 与 相交，且交线垂直于 l D. 与 相交，且交线平行于 l3.【2013 年全国卷新课标 I 数学（理） 】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水
2、深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. cm3 B. cm3 C. cm3 5003 8663 13723D. cm32048334.【2012 年陕西卷数学（理） 】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 1ABC，12CAB，则直线 1C与直线 1AB夹角的余弦值为（ ）A. 5 B. 53 C. 25 D.35. 【2012 年辽宁卷数学（理） 】已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为3的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_.46. 【2013 年山东卷数学（理） 】如图所示，在三棱锥 PAQ中， B平面 AQ，BAQ
3、P， ,DCEF 分别是 ,AB的中点， 2D， P与E交于 G， 与 交于点 H，连接 G.（）求证： /；（）求二面角 的余弦值.6又 EF平面 Q,平面 EF平面 PCDGH，7取 1y，得 (0,12)m.87. 【2012 年福建卷数学（理） 】如图，在长方体 1DCBA中， 11A，E为 CD中点。（）求证： 11AEB；（）在棱 上是否存在一点 P，使得 /D平面 E1？若存在，求 P的长；若不存在，说明理由。（）若二面角 1的大小为 03，求 AB的长.98. 【2013 年北京卷数学（理） 】如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA 1C1C 是边长为 4 的正方形.平
4、面 ABC 平面 AA1C1C，AB =3，BC =5.（）求证：AA 1平面 ABC；（）求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值；（）证明：在线段 BC1 存在点 D，使得 ADA 1B，并求 1DC的值.10119. 【2012 年湖北卷数学（理） 】如图 1，ACB =45，BC=3，过动点 A 作 ADBC ，垂足D 在线段 BC 上且异于点 B，连接 AB，沿 AD 将 ABD 折起，使BDC =90（如图 2 所示） ，（1 ）当 BD 的长为多少时，三棱锥 A-BCD 的体积最大；（2 ）当三棱锥 A-BCD 的体积最大时，设点 E，M 分别为棱 BC，AC 的中点，试在棱 CD
5、 上确定一点 N，使得 ENBM ，并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.12在 EGN中，易得 2EGN，所以 EGN是正三角形，故 60H，即 与平面 BM所成角的大小为 60.13二高考研究1. 考纲要求.（2 ）点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如
6、果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。理解以下性质定理，并能够证明：14如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行。如果两个平行平面同时和第三个平面相交
7、，那么它们的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2. 命题规律新课标下的立体几何高考题，基于新的教学理念，相较于大纲卷有两个明显的差别，一是难度略有降低，题量有所减少，二是更注重对空间几何体的直观认识的考查。反映在考题上，就是减少了繁难的证明和计算（新教材删除了线线、线面、面面距离和球面距离） ，增加了对几何体的认识的考查（三视图几乎成了必考内容） ，题量由过去的 34 个题减少为 23 个题。难度一般在 0.65 左右，略低于全卷的总体难度。这也与新教材
8、15一基础知识整合1.三视图：(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等” (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.2.体积与表面积公式：(1)柱体的体积公式： V柱 Sh；锥体的体积公式： 锥 13；台体的体积公式： 棱 台 ()hS；球体的体积公式： V球 34r。163.空间直线、平面之间的位置关系的判定
9、与性质（以下内容建议印发给学生，由学生对照回顾）（1 ） 异面直线判定：反证法（2 ） 直线与直线平行判定：平几方法：公理 4：线面平行的性质：面面平行的性质：（3 ） 直线与直线垂直判定：线面垂直 线线垂直。直接求角： 用勾股定理。平几方法：（4 ） 直线与平面平行判定：（定义）反证法判定定理：平面与平面平行的性质：性质：若一条直线平行于一个平面，则直线与平面无公共点。性质定理：（5 ） 直线与平面垂直判定：定义17判定定理：两条平行线中的一条垂直一个平面，那么另一条也垂直这个平面面面垂直的性质定理：P 73 第 5 题：一条直线垂直两个平行平面中的一个，那么也垂直另一个性质：性质定理：（6
10、 ） 平面与平面平行判定：定义判定定理：推论：性质：两平面平行，则这两个平面无公共点。性质定理：（7）平面与平面垂直判定：定义判定定理：性质：两平面垂直，则这两个平面所成的二面角为直二面角。18性质定理：课本 P72 思考.4.空间的角与距离（1 ） 异面直线的夹角过其中一条上的一点作另一条的平行线。过空间一点作这两条异面直线的平行线。向量求法。（2 ） 斜线与平面所成的角作出斜线在平面内的射影，求斜线 AB 与其射影 AC 所成的角。求出斜线上的一点 B 到平面 的距离 d（常用等积法） ，则 sindAB。19向量求法：设直线 AB 与平面 所成的角为 ,平面 的法向量为 n,则sin=
11、|ABn（3 ） 二面角在棱上适当取一点，分别在两面内作棱的垂线。如图，第一步：在 内选一点 P， 过点 P 作 PQ，垂足为 Q； 第二步：在 内过 Q 作 QRa，垂足为 R；第三步：连结 PR；第四步: 在 PQR 内，求PRQ向量求法（有两种方法） 。（4 ） 点到直线的距离直接作直线的垂线。求点 P 到平面 内的直线 a 的距离：20（5 ） 点到平面的距离直接作平面的垂线要作垂线，先作垂面 体积法（等积法）向量求法：设 B 为平面 外一点，A 为平面 内一点，平面 的法向量为 n,则点 B 到平面 的距离为： |nd。二高频考点突破考点 1 ： 三视图与直观图【例 1】 【2013
12、 年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于_ 2cm.21【规律方法】1、画三视图的基本原则是：长对正，宽相等，高平齐.在做题时也要根据这个原则来画直观图.要根据这个原则来验证所画直观图是否正确.2、三视图问题关键是搞清楚三视图中的每条轮廓线代表的意义，三视图中给出的尺寸在几何体中对应哪些线段的尺寸，三视图中的角度在几何体对应的角度是多少.尤其要注意22图中的直角，这是一个很重要的信息.必须结合三视图弄清几何体的直观图的构成，根据三视图的信息确定直观图中相关的量，然后才能进行相关计算.【举一反三】 【2012 年高考（湖北理） 】
13、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A 83B 3 C 103D 6考点 2 ： 球体【例 2】.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考理】已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O的球面上， SC为球 O的直径，且 SCOA,23SCOB， A为等边三角形，三棱锥 SABC的体积为 43，则球 O的半径为( )A . 3 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C24【规律方法】1、球体中常常用到以下结论：设球的半径为 R，球的截面圆的半径为 r，则球心到截面的距离为 2dRr2、求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点.因为三棱锥的每一个面
14、都可以作为底面，每一个顶点都可以作为顶点.【举一反三】【2014 届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. 163 193 1912D. 4325考点 3 ：纯线面位置关系的判定【例 3】 【广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试】对于平面 、 、 和直线 a、b、 m、 n,下列命题中真命题是( )A.若 ,an,则 a B.若 /,ab,则 /aC.若 /,ab则 / D.若 b,则 /【规律方法】综合运用线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，对每一选项逐一判断。【举一反三】
15、 【吉林市普通中学 2013-2014 学年度高中毕业班摸底测试理】设 nm,是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，有下列四个命题： 若 m则 ； 若 /,/则； 若 n则,； 若 ,m则其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 26考点 4 ：几何体中的线、面位置关系 【例 4】2011江苏卷 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面ABCD，ABAD ，BAD60，E 、F 分别是 AP、AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.27【规律方法】1、证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性
16、质定理；2、证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面。这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理。比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；4、在立体几何的平行关系问题中， “中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点” ，连“中点” ，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行。线线平行是平行关系的根本。5、在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直
17、，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直【例 5】 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】已知四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为菱形, 且 PDABC底 面 60， E为 的中点证明：PE平 面【规律方法】1、证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的方法。常见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直；若是28锥形、菱形（正方形） ，则对角线互相垂直；若是矩形，则邻边互相垂直；有时还用到以下结论：如下图，在
18、矩形 ABCD中，若 EBFA，则 DE；若告诉了线段的长度，或者是告诉了边与边之间的关系，则用勾股定理。2、对面面平行，在我的印象中高考解答题很少考过（查遍历年高考题，发现 13 年江苏考了） ，对面面平行我们是该重视它，还是忽略它，请各位老师定夺。【举一反三】1、 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考理】 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中， PABCD底 面 ， A，ACD， PABC， E是 PC的中点求证： E平 面 .【举一反三】2、 【广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题】如图 4，在四棱锥 PABCD中，侧面 P底面 ABCD, P, E为 C中点，底面是直角梯形， /,90， 1, 2D29(1) 求证： /BE平面 PAD；(2) 求证：平面 C平面 B30【举一反三】3、 【江苏省苏州市 2014 届高三九月测试试卷】如图，四棱锥 PABCD的底面为矩形， 2AB， 1C， ,EF分别是 ,ABPC的中点， E（）求证： EF平面 PAD；（）求证：平面 平面 31考点 5： 空间的角与距离
