1、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学 年全国硕士研究生入学统一考试数学 年全国硕士研究生入学统一考试数学 年全国硕士研究生入学统一考试数学三 三 三 三试题 试题 试题 试题 （ （ （ （万学 万学 万学 万学 海文提供 海文提供 海文提供 海文提供） ） ） ） 一 一 一 一、 、 、 、选择题 选择题 选择题 选择题: : : :1 1 1 1 8 8 8 8 小题 小题 小题 小题, , , ,每小题 每小题 每小题 每小题 4 4 4 4 分 分 分 分, , , ,共 共 共 共 32 32 32 32 分 分 分 分. . . .下列每题给出的四个选项中 下列每题给出的四
2、个选项中 下列每题给出的四个选项中 下列每题给出的四个选项中, , , ,只有一个选项符合题 只有一个选项符合题 只有一个选项符合题 只有一个选项符合题 目要求的 目要求的 目要求的 目要求的, , , ,请将所选项前的字母填在 请将所选项前的字母填在 请将所选项前的字母填在 请将所选项前的字母填在答题纸 答题纸 答题纸 答题纸 指定位置上 指定位置上 指定位置上 指定位置上. . . . (1) 当x 0 时，用“ ( ) o x ”表示比x高阶的无穷小， 则下列式子中错误的是 （ ） (A) 2 3 ( ) ( ) x o x o x = (B) 2 3 ( ) ( ) ( ) o x o
3、 x o x = (C) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) o x o x o x + = (D) 2 2 ( ) ( ) ( ) o x o x o x + = 【答案】(D) 【解析】如 2 3 2 ( ), ( ), x o x x o x = = 但 2 3 2 lim 1, x x x x + = 即 2 3 2 ( ) x x o x + . (2) 函 数 1 ( ) ( 1)ln x x f x x x x - = + 的 可 去 间 断 点 的 个 数 为 （ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】 ln 0 0 0 1 ln 1 li
4、m lim lim 1 ( 1)ln ln ln x x x x x x x x x e x x x x x x x - - = = = + , 1 1 ln 1 lim ( ) lim ( 1)ln 2 x x x x f x x x x = = + ， 1 1 1 ln 1 lim ( ) lim lim ( 1)ln 1 x x x x x f x x x x x - - - = = = + + . 故 1 x = 为可去间断点。 (3) 设 k D 是圆域 ( ) 2 2 , 1 D x y x y = + 位于第 k 象限的部分，记 ( ) k k D I y x dxdy = -
5、（ 1, 2,3,4 k = ） ，则 （ ） (A) 1 0 I (B) 2 0 I (C) 3 0 I (D) 4 0 I 【答案】(B) 【解析】方法一： 1 2 2 ( 1) ( 1) 0 2 2 1 ( ) ( sin cos ) (sin cos ) 3 k k k k k k D I y x dxdy d r r rdr d p p p p q q q q q q - - = - = - = - 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 1 1 (sin cos ) (cos sin ) 3 3 k k k k d p p p p q q q q q - - = - = - + ，代入
6、得 2 2 0. 3 I = 方法二： 第二象限中 0 y ， 0 x 即 0 y x - 2 0 I 选（B）. (4) 设 n a 为 正 项 数 列 ， 下 列 选 项 正 确 的 是 （ ） (A) 若 1 n n a a + ，则 1 1 ( 1) n n n a - = - 收敛. (B) 若 1 1 ( 1) n n n a - = - 收敛，则 1 n n a a + . (C) 若 1 n n a = 收敛,则存在常数 1 p ,使 lim p n x n a 存在. (D) 若存在常数 1 p ,使 lim p n x n a 存在,则 1 n n a = 收敛. 【答案】
7、(D) 【解析】因 =1 1 p n n 收敛 ( 1) p , lim = lim 1 p n n n n p a n a n 存在，由比较判别法知 =1 n n a 收敛 (5) 设 A , B , C 均 为 n 阶 矩 阵 ， 若 AB C = , 且 B 可 逆 . 则 （ ） (A) 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价. (B) 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价. (C) 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价. (D) 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价. 【答案】 （B） 【解析】将 , A C 按列分块， 1 1 ( ,., ), ( ,., ) n n A C
8、 a a g g = = 由于AB C = ,故 11 1 1 1 1 . ( ,., ) . . . ( ,., ) . n n n n nn b b b b a a g g = 即 1 11 1 1 1 1 . ,., . n n n n nn n b b b b g a a g a a = + + = + + 即C的列向量组可由 A 的列向量线性表示 由于B可逆，故 1 A CB - = ，A 的列向量组可由C的列向量组线性表示，选B (6) 矩 阵 1 1 1 1 a a b a a 与 2 0 0 0 0 0 0 0 b 相 似 的 充 要 条 件 为 （ ） (A) 0, 2 a
9、b = = (B) 0, a b = 为任意常数 (C) 2, 0 a b = = (D) 2, a b = 为任意常数 【答案】(B) 【解析】令 1 1 1 1 a A a b a a = ， 2 0 0 0 0 0 0 0 B b = ， 因为A为实对称矩阵，B为对角阵，则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为 2, ,0 b A的特征方程 1 1 1 0 1 1 1 a a E A a b a b a a a l l l l l l l l - - - - - - = - - = - - - - - - - - 1 0 0 1 a b a a l l l - - = - - - - =
10、 ( )( ) 2 2 2 b a l l l - - - ， 因为 2 l = 是A的特征值，所以 2 0 E A - = 所以 2 2 0 a - = ，即 0 a = . 当 0 a = 时， ( )( ) 2 E A b l l l l - = - - ， A的特征值分别为 2, ,0 b 所以b为任意常数即可. 故选(B). (7) 设 1 2 3 , , X X X 是随机变量，且 1 (0,1) X N , 2 2 (0, 2 ) X N , 2 3 (5,3 ) X N ， 2 2 ( 1,2,3) i i p P X i = - = ,则 （ ） (A) 1 2 3 p p
11、p (B) 2 1 3 p p p (C) 3 1 2 p p p (D) 1 3 2 p p p 【答案】(A) 【解析】 1 1 2 2 (2) ( 2) 2 (2) 1, p P X = - = F - F - = F - 2 2 2 0 2 0 2 0 2 2 (1) ( 1) 2 (1) 1, 2 2 2 X p P X P - - - - = - = = F - F - = F - 3 3 3 5 2 5 2 5 7 7 2 2 ( 1) (1), 3 3 3 3 3 X p P X P - - - - = - = = F - - F - = F - F 由下图可知， 1 2 3
12、p p p . (8) 设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为 X 0 1 2 3 Y 1 21 41 81 8X -1 0 1 Y 1 31 31 3则 2 P X Y + = = （ ） (A) 1 12(B) 1 8(C) 1 6(D) 1 2【答案】(C) 【解析】 ( 2) ( 1, 1) ( 2, 0) ( 3, 1) P X Y P X Y P X Y P X Y + = = = = + = = + = = - ( 1) ( 1) ( 2) ( 0) ( 3) ( 1) P X P Y P X P Y P X P Y = = = + = = + = = - 1
13、 1 1 1 1 1 1 . 4 3 8 3 8 3 6 = + + = y x 1 2 7/3 ( ) y x j = O 二 二 二 二、 、 、 、填空题 填空题 填空题 填空题： ： ： ：9 9 9 9 14 14 14 14 小题 小题 小题 小题, , , ,每小题 每小题 每小题 每小题 4 4 4 4 分 分 分 分, , , ,共 共 共 共 24 24 24 24 分 分 分 分. . . .请将答案写在 请将答案写在 请将答案写在 请将答案写在答题纸 答题纸 答题纸 答题纸 指定位置上 指定位置上 指定位置上 指定位置上. . . . (9) 设曲线 ( ) y f x
14、 = 与 2 y x x = - 在点 (1,0)处有公共切线，则 lim ( ) 2 n n nf n = + . 【答案】-2. 【解析】曲线 2 y x x = - 在点 (1,0)处的切线斜率是 1 1 (2 1) 1 x x y x = = = - = 因为曲线 ( ) y f x = 与 2 y x x = - 在点 (1,0)处有公共切线，所以 (1) 0, (1) 1 f f = = ，则 2 (1 ) 2 2 lim ( ) lim 2 2 2 2 n n f n n n nf n n n - - + = + + - + 2 (1 ) (1) 2 2lim 2 2 n f f
15、 n n - - + = - - +2 (1) 2 f = - = - (10) 设函数 ( , ) z z x y = 由方程( ) x z y xy + =确定，则 (1,2) z x = . 【答案】 2 ln 2 - . 【解析】把点 (1, 2)代入 ( ) x z y xy + = ，得 1 ( (1,2) 2) 2 z + = 则 (1,2) 0 z = 在方程 ( ) x z y xy + = 两边同时对x求偏导数，有 ( ) ln( ) 2 2 x z x z y z y x + + + = 解得 2 ln 2 z x = - (11) 2 1 ln (1 ) x dx x
16、+ = + . 【答案】 ln 2 【解析】 1 1 2 1 1 ln ln | ln | ln 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) x x dx x dx x x x x x + + + + = - + = = + + + + (12) 微分方程 1 0 4 y y y - + = 的通解为y = . 【答案】 1 2 1 2 ( ) x e c c x + . 【解析】二阶齐次微分方程的特征方程为 2 1 0 4 l l - + = ，解得 1 2 1 2 l l = = ，所以齐次方程的 通解为 1 2 1 2 ( ). x y e c c x = + (13) 设 ( ) ij
17、 A a = 是 3 阶非零矩阵， A 为 A 的行列式， ij A 为 ij a 的代数余子式，若 0 ( , 1, 2,3) ij ij a A i j + = = ，则 A = . 【答案】 1. - 【解析】方法一：取矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A = - ，满足题设条件， 1. A = - 方法二： * T A A = - ，则 * T A A = - ，整理得到 3 1 3 ( 1) A A - = - ，即 1 A = - 或者 0 A = . ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 i i i i i i i i i A a A a A a A
18、 a a a = + + = - + + 又因为A O ，所以至少有一个 0 ij a ，所以 ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 i i i i i i i i i A a A a A a A a a a = + + = - + + 从而 1. A = - (14) 设随机变量X 服从标准正态分布 (0,1) N ，则 2 ( ) X E Xe = . 【答案】 2 2e 【解析】标准正态分布的概率密度 2 2 1 ( ) 2 x f x e p - = . 2 2 1 ( 2) 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 x x X x x E Xe x
19、e f x dx xe e dx xe dx p p + + + - - - + - - - = = = 2 ( 2) 2 2 2 1 2 2 x e x e dx e p - + - - = = 三 三 三 三、 、 、 、解答题 解答题 解答题 解答题： ： ： ：15 15 15 15 23 23 23 23 小题 小题 小题 小题, , , ,共 共 共 共 94 94 94 94 分 分 分 分. . . .请将解答写在 请将解答写在 请将解答写在 请将解答写在答题纸 答题纸 答题纸 答题纸 指定位置上 指定位置上 指定位置上 指定位置上. . . .解答应写出文字说明 解答应写出文
20、字说明 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明、 、 、 、证 证 证 证明过程或演算步骤 明过程或演算步骤 明过程或演算步骤 明过程或演算步骤. . . . (15)(本题满分10 分) 当 0 x 时，1 cos cos 2 cos3 x x x - 与 n ax 为等价无穷小，求n与a的值 【解析】方法一： 0 0 cos6 cos 4 cos 2 1 1 1 cos cos 2 cos3 4 lim lim n n x x x x x x x x ax ax + + + - - = 1 0 0 3 cos6 cos 4 cos 2 6sin 6 4sin 4 2sin 2 lim li
21、m 4 4 n n x x x x x x x x ax a n x - - - - + + = = 2 0 36cos6 16cos 4 4cos 2 lim 4 ( 1) n x x x x a n n x - + + = - 2 0 n - = ，即 2 n = 时，上式极限存在. 当 2 n = 时，由题意 36 16 4 1 4 2 1 a + + = 7 a = 2, 7 n a = = . 方法二： 0 0 1 cos cos 2 cos3 sin 1 cos cos 2 cos3 lim lim sin n n x x x x x x x x x I ax ax x - - =
22、 = 0 0 1 1 sin sin 2 cos 2 cos3 sin sin 4 cos3 2 4 lim lim sin sin n n x x x x x x x x x ax x ax x - - = = 1 0 0 0 1 sin (sin 7 sin ) 7 cos cos 7 7 cos 1 1 cos 7 8 lim lim lim 8 ( 1) 8 ( 1) n n n x x x x x x x x x x ax a n x a n x + - + - - + - = = = + +当 2 n = 时， 2 2 2 0 0 0 7 1 cos 1 1 cos 7 7 1 c
23、os 1 1 cos7 lim lim lim 8 3 8 3 x x x x x x x I a x a x x - + - - - = = + 2 2 0 7 1 1 (7 ) 7 lim 1 24 2 2 x x a x a - = + = = 得到 7 a = 方法三： ( ) ( ) ln cos cos 2 cos3 1 1 0 0 0 cos cos2 cos3 1 cos cos2 cos3 lim lim =lim x x x n n n x x x e x x x x x x ax nax nax - - - - - 洛 ( ) ( ) ln cos cos 2 cos3
24、1 1 0 0 cos cos2 cos3 ln cos cos2 cos3 =lim =lim x x x n n x x e x x x x x x nax nax - - - - y=3x O y x x=3y x+y=8 2 6 6 2 (2,6) (6,2) ( ) 1 0 ln cos +ln cos2 +ln cos3 =lim n x x x x nax - - 1 0 sin sin 2 sin3 +2 +3 cos cos 2 cos3 =lim n x x x x x x x nax - ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 0 sec +4sec 2 +9se
25、c 3 tan +2tan 2 +3tan3 =lim lim 1 n n x x x x x x x x nax n n ax - - - 洛 ( ) ( ) 2 2 0 0 14 1 14 = lim = lim 1 1 1 n n x x x n n a x n n a - - = - - 故 =2, =7 n a . (16)(本题满分10 分) 设D是由曲线 1 3 y x = ，直线 ( 0) x a a = 及x轴所围成的平面图形， , x y V V 分别是D绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 10 y x V V = ，求a的值. 【解析】 0 1 5 5 2 3
26、3 3 0 3 3 ( ) 5 5 a a x V x dx x a p p p = = = ， 0 1 7 7 3 3 3 0 3 6 2 ( ) 2 . 7 7 a a y V x x dx x a p p p = = = 7 5 3 3 6 3 =10 =10 =7 7 7 5 y x V V a a a p p 因 ,故 ,所以 (17)(本题满分10 分) 设平面区域D由直线 3 , 3 , x y y x = = 及 8 x y + = 围成，计算 2 D x dxdy 【解析】 3 6 8 2 x y x x y y = = + = = ， 3 2 8 6 y x x x y y
27、 = = + = = 故 2 3 6 8 2 2 2 0 2 3 3 6 2 4 3 4 0 2 2 8 1 32 416 128 . 3 3 3 3 3 x x x x D x dxdy dx x dy dx x dy x x x - = + = + - = + = (18)(本题满分10 分) 设生产某产品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为 60 1000 Q P = - ， （P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件） ，已知产销平衡，求： (I)该商品的边际利润； (II)当 50 P = 时的边际利润，并解释其经济意义； (III)使得利润最大的定价P
28、【解析】由 60 1000 Q P = - 可知 1000(60 ) Q P = - 由 ( ) 60000 20 1260000 20000 C P Q P = + = - 2 ( ) 1000 60000 R P PQ P P = = - + 2 ( ) ( ) ( ) 1000 80000 1260000 L P R P C P P P = - = - + - （I）边际利润为 ( ) 2000 80000 L P P = - + (II)令 50 P = ， (50) 20000 L = - ，经济意义：当产品价格为 50 P = 时，价格每增长 1 元时 收益减少 20000. （I
29、II）令 ( ) 2000 80000 0, 40 L P P P = - + = = 唯一，又 ( ) 2000 0 L P = - ，使得 ( ) 1 f a = ； (II)对(I)中的a，存在 (0, ) a x ，使得 1 ( ) f a x = 【解析】 (I) 设 ( )= ( )-1 F x f x 0 x + lim ( )=2 x f x 0 X $ ，当 X x 时 ( )1 f x 令 0 x X 则 0 ( )1 f x 0 ( )0 F x 又 (0)=-10 F 由零点定理， 0 (0, ) (0,+ ) a x $ 使 ( )=0 F a ( )=1 f a (
30、II) 令 1 ( )= ( )- G x f x x a. 0 x ( )= ( )-1=0 G a f a ， (0)=0 G ( ) G x 在 0,a 连续，在 ( ) 0,a 可导 由罗尔定理 ( ) 0,a x $ 使 ( )=0 G x 1 ( )= f a x (20)(本题满分11 分) 设 1 0 1 , 1 0 1 a A B b = = ，当 , a b为何值时，存在矩阵C使得AC CA B - = ,并求所求矩 阵C 【解析】设 1 2 3 4 x x C x x = ,由于AC CA B - = ,故 1 1 0 a 1 2 3 4 x x x x - 1 2 3
31、4 x x x x 1 1 0 a = 0 1 1 b , 即 1 2 1 1 3 2 4 3 4 3 1 2 x x ax x ax x ax x x ax x x + + + - = + 0 1 1 b . 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 0 1 1 x ax ax x ax x x x x ax b - + = - + + = - - = - = (I) 由于矩阵C存在，故方程组(I)有解.对(I)的增广矩阵进行初等行变换： 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a a a a a a a
32、b b - - - - - - - - + - 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a a b - - - + 方程组有解，故 1 0 a + = , 0 b = ，即 1, 0 a b = - = ,此时存在矩阵C使得AC CA B - = . 当 1, 0 a b = - = 时，增广矩阵变为 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - - 3 4 , x x 为自由变量，令 3 4 1, 0 x x = = ，代为相应齐次方程组，得 2 1 1, 1 x x = - = . 令 3 4 0, 1 x x = =
33、，代为相应齐次方程组，得 2 1 0, 1 x x = = . 故 ( ) 1 1, 1,1,0 T x = - , ( ) 2 1,0,0,1 T x = ,令 3 4 0, 0 x x = = ，得特解， ( ) 1,0,0,0 T h = ，方程组的通解为 1 1 2 2 1 2 1 1 2 + + =( + +1,- , , ) T x k k k k k k k x x h = ,所以 1 2 1 1 2 1 k k k C k k + + - = . (21)(本题满分11 分) 设 二 次 型 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ( , , ) 2
34、( ) ( ) f x x x a x a x a x bx b x b x = + + + + + ， 记 1 2 3 a a a a = ， 1 2 3 b b b b = (I) 证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T aa bb + ； (II)若 , a b 正交且均为单位变量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 2 1 2 2y y + 【解析】 (I) 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ( , , ) 2( ) ( ) f x x x a x a x a x bx b x b x = + + + + + 1 1 2 3 2 3 2( , ,
35、) a x x x a a = 1 1 2 3 2 3 ( , , ) x a a a x x + 1 1 2 3 2 3 ( , , ) b x x x b b 1 1 2 3 2 3 ( , , ) x b b b x x = ( ) 1 1 2 3 2 3 ( , , ) 2 T T x x x x x x aa bb + T x Ax = ，其中 2 T T A aa bb = + ， 1 2 3 ( , , ) T x x x x = . 由 于 (2 ) 2 , T T T T T T A A aa bb aa bb = + = + = 所 以 二 次 型 f 对 应 的 矩 阵
36、为 2 T T aa bb + . (II)由于 2 T T A aa bb = + ,a 与 b 正交,故 0 T a b = ， a , b 为单位向量,故 1 T a a a = = , 故 1 T a a = ,同样 1 T b b = . Aa = (2 ) T T aa bb a + = 2 2 T T aa a bb a a + = ,由于 0 a ,故A有特征值 1 2 l = . Ab = (2 ) T T aa bb b + b = ,由于 0 b ,故A有特征值 2 1 l = . ( ) r A = (2 ) T T r aa bb + (2 ) ( ) T T r r
37、 aa bb + = ( ) ( ) T T r r aa bb + =1 1 2 3 + = 【解析】 (I) 2 2 3 | 3 3 , 0 1,0 , ( , ) ( ) ( | ) 0, X Y X y x x y x f x y f x f y x x = = 其他2 9 , 0 1,0 , = 0, y x y x x 其他(II) ( ) ( , ) Y f y f x y dx + - = ， 当 0 1 y 时， 2 1 1 2 2 9 ( ) 9 ln 9 ln Y y y y f y dx y x y y x = = = - ， Y 的边缘概率密度为 2 9 ln , 0 1 ( ) 0, Y y y y f y - = ERROR: limitcheck OFFENDING COMMAND: string STACK: 66038 33018 32512 33019
