1993考研数学全试题及答案.pdf-道客多多

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1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 1 页 1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学（试卷一）一、填空题： (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分 ) (1) 函数 )0()12()(1 xdttxFx 的单调减少区间为 1(0, )4 .(答 1(0, 4 也对 ) (2) 由曲线 223 2 120xyz 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点（ 0, 2,3 ）处的指向外侧的单位法向量为 1 0, 2, 35(3) 设函数 2()f x x x x 的傅里叶级数展开式为 10 s inc

2、o s2n nn nxbnxaa则其中系数 3b 的值为 32(4) 设数量场 2 2 2lnu x y z ，则 ()div gradu 2 2 21x y z(5) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n-1，则线性方程组 AX=0 的通解为 1,1, ,1 Tk 二、选择题： (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分 ) (1) 设 sin 2 3 40( ) si n( ) , ( )xf x t dt g x x x ，则当 x0 时， ()fx是 ()gx 的（ B） (A) 等价无穷小（ B）同阶但非等价无穷小（ C）高阶无穷小（ D）低

3、阶无穷小 (2) 双纽线 22222 )( yxyx 所围成的区域面积可用定积分表示为（ A） (A) 240 2cos d (B) 440 2cos d (C) 2 d40 2cos(D) 21 40 22cos d (3) 设直线 1 8251 1:1 zyxl与 32 6:2 zy yxl，则 1l 与 2l 的夹角为 (C) (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 设曲线积分 yd yxfyd xexf xL co s)(s in)( 与路径无关，其中 ()fx具有一阶连续郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 2

4、页导数，且 (0) 0f ，则 ()fx等于 (B) (A) 2 xx ee (B) 2 xx ee (C) 12 xx ee (D) 21 xx ee (5) 已知 Q=96342321t ， P 为三阶非零矩阵，且满足 PQ = 0，则 (C) (A) 6t 时 P 的秩必为 1 (B) 6t 时 P 的秩必为 2 (C) 6t 时 P 的秩必为 1 (D) 6t 时 P 的秩必为 2 三、 (本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分 ) (1) 求 21lim( sin cos )xx xx . 解：因02 1 l n ( s i n 2 c o s )l i m l n (

5、 s i n c o s ) l i mxtttx x x t 2 分 02 c o s 2 s inlim 2s in 2 c o sttt , 4 分所以原式 2e . 5 分 (2) 求 dxexexx1. 解：令 1xue，则 222ln (1 ) , 1 ux u d x d uu ，从而 222( 1 ) l n ( 1 ) 2( 1 )1xxx e u u ud x d uuue 2 分 22 ln(1 )u du 2 242 l n ( 1 ) 2 l n ( 1 ) 4 41 uu u d u u u u a r c tg u Cu 4 分 2 1 4 1 4 1x x

6、 xx e e a r c tg e C . 5 分 (3) 求微分方程 22 yxyyx 满足初始条件 11xy 的特解 . 解一： 22 y xyy x，令 y xu ，有 22 , 2xu u u u xu u u . 2 分分离变量得2 2du dxu u x，积分得11 ln ( 2 ) ln ln2 u u x C 即 22u Cxu ，亦即 22yxCxy . 4 分由 1 1xy得 1C ，故所求特解为 22yxxy ，即221 xy x . 5 分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 3 页解二 2 2221 1

7、 1 1 , , 1 , xxy z x z x z z zy y y x x 令有, 2 分解得 311 ( ) 2z x d x C C xxx 4 分即2212xy Cx ，由 1 1xy得 12C ，故所求特解为221 xy x 5 分四、 (本题满分 6 分 ) 计算 d xd yzyz d zd xxz d y d z 22，其中是由曲面 22 yxz 与222 yxz 所围立体的表面外侧 . 解： 22 , , , 2 , , 2 ,P Q R P Q RP x z Q y z R z z z z zx y z x y z 因故. 根据奥 -高公式， 22 x z

8、 d y d z y z d z d x z d x d y z d x d y d z 2 分 22 340 0 0s i n c o sd d r d r 5 分 2 . 6 分五、 (本题满分 6 分 ) 求级数 022 11n nn nn 的和 . 解： 20 0 0( 1 ) ( 1 ) 1 1( 1 ) ( ) ( )2 2 2n nnnn n nnn nn , 1 分其中10 21 1 2()2 1 3nn , 2 分设 22( ) ( 1 ) , ( 1 , 1 )nnS x n n x x ，则 200 2 ( ) 1xx nnxS x d x d x x x 故 2

9、32( ) ( )1 (1 )xSx xx230 2( 1 ) , ( 1 , 1 )(1 )nn xn n x xx ， 5 分于是014( 1)( )2 2 7nn nn ， 6 分 20( 1 ) ( 1 ) 4 2 2 22 2 7 3 2 7n nnnn 所以 . 7 分六、 (本题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分 ) (1) 设在 0, ) 上函数 ()fx有连续导数，且 f (x) 0k ， (0) 0f ，证明 ()fx在郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 4 页 (0, ) 内有且仅有一个零点证：

10、在 0, ) 上，由 ( )f x k 得00( )xxf x dx kdx，即 ( ) (0)f x kx f . 11( 0 ) ( 0 )0 , ( ) ( 0 ) 0ffx f x k fkk 取有. 2 分 1 0 1 0( ) 0 , ( 0 ) 0 , , ( 0 , ) , ( ) 0f x f x x f x 因由题设根据零点定理故必存在使. 4 分又因 ( ) 0f x k，故 ()fx严格单调增加， ()fx在 (0, ) 内有且仅有一个零点 5 分 (2) 设 bae，证明 ab ba . 证 : 要证 ab ba ，只需证 ln ln

11、.b a a b 令 ( ) ln ln ( ) ,f x x a a x x a 2 分因为 ( ) l n 1 0 ( ) ,aaf x a x axx 所以 ()fx在 xa 时单调增加 . 3 分于是，当 ba 时， ( ) ( ) 0f b f a，即有 ln lnb a a b . 5 分七、 (本题满分 8 分 ) 已知二次型 02332),( 32232221321 axaxxxxxxxf 通过正交变换化成标准形232221 52 yyyf ，求参数 a 及所用的正交变换矩阵 . 解：二次型 f 的矩阵 2 0 00303aaA ， 1 分特征方程为 222 0 0|

12、 | 0 3 ( 2 ) ( 6 9 ) 003aaa IA ， 2 分由题设，知 A 的特征值为 1 2 31, 2, 5 .将 1 （或 5 ）代入特征方程，得2 4 0, 2aa . 又 0a ，故取 2a .这时2 0 00 3 20 2 3A ，当 1 1 时，由 ()I A x 0 ，即 1231 0 00 2 2 00 2 2xxx ，解得对应的特征向量1011. 当 2 2 时，由 (2 )I A x 0 ，解得对应的特征向量为2100. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 5 页当 3 5 时

13、，由 (5 )I A x 0 ，解得对应的特征向量为3011. 7 分将 1 2 3, 单位化，得 0 0 01 2 30 1 0111 , 0 , 1 ,221 0 1 故所用的正交变换矩阵为0 1 01 / 2 0 1 / 21 / 2 0 1 / 2T . 8 分八、 (本题满分 6 分 ) 设 A 是 nm 矩阵， B 是 mn 矩阵，其中 nm ， I 是 n 阶单位矩阵 .若 AB = I，证明 B 的列向量组线性无关 . 证一：设 12 , , , nB ，其中 ( 1,2, , )i in 是 B 的列向量 . 若 1 1 2 2 0nnx x x ，即1212(

14、 , , , ) 0nnxx BXx ， 2 分两边左乘 A，则得 0ABX ，即 0IX ，亦即 0X . 5 分所以 12, , , n 线性无关 . 6 分证二：因为 ()r B n ， 1 分又 ( ) ( ) ( )r B r A B r I n ， 4 分故 ()r B n . 5 分所以 12, , , n 线性无关 . 6 分九、 (本题满分 6 分 ) 设物体 A 从点 (0,1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动 .物体 B 从点（ -1， 0）与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A. 试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分

15、方程，并写出初始条件 . 解：设在时刻 t ， B 位于点 (, )xy 处，则 (1 )dy y vtdx x ， 2 分两边对 x 求导得 22 ()d y dtxvx dx 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 6 页由 22 1 ( )ds dy dxvdt dx dt ，得 21 1 ( )2dt dydx v dx，代入 (*) 式得到所求的微分方程为 2 22 1 1 ( ) 02d y dyx x dx . 5 分其初始条件为 110, 1xxyy . 6 分十、填空题 (本题共 2 小题，每小题 3

16、分，满分 6 分 ) (1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1/6 . (2) 设随机变量 X 服从 (0,2) 的均匀分布，则随机变量 2YX 在（ 0， 4）内概率分布密度()Yfy 14 y 十一、 (本题满分 6 分 ) 设随机变量 X 的概率分布密度为 1( ) , .2 xf x e x (1)求 X 的数学期望 EX 和方差 DX； (2)求 X 与 X 的协方差 ;并问 X 与 X 是否不相关？ (3)问 X 与 X 是否相互独立？为什么？解： (1) ( ) 0EX xf x dx， 1

18、. 6 分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 7 页数学（试卷二）一三、【同数学一第一三题】四、 (本题共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分 ) (1) 设 ),(3 xyxyfxz ， f 具有连续二阶偏导数，求22,yzyz 及yxz2 解 : 4212z x f x fy . 2 分 2 5 3 3 5 31 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 22 2z x f x f x f x f x f x f x fy . 3 分 2 3 4 2 21 1 1 1 2 2 2 1 2 242

19、z x f x y f x y f x f x y f y fxy 341 2 1 1 2 242x f xf x yf yf . 6 分 (2) 【同数学一第四题】 (3) 已知 3R 的两个基为1111，1012，1013；1211，4322，3433.求由基 3,2,1 到基 3,2,1 的过渡矩阵 . 解：设由基 1 2 3, 到基 1 2 3, 的过渡矩阵为 C ，则 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 C 1 分故 11 , 2 , 3 1 , 2 , 3C ，其中 111 , 2 , 31 1 11 0 01 1 1 0 1 01102211122 3 分于

20、是 2340 1 01 0 1C. 5 分五九、【同数学一第五九题】郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 8 页数学（试卷三）一、填空题： (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分 ) (1) 0lnlim0 xxx. (2) 函数 ()y yx 由方程 0s in 222 xyeyx x所确定，则 dxdy = 2 2 2222 c o s ( )2 c o s ( ) 2xy e x x yy x y xy . (3) 【同数学一第一（ 1）题】 (4) 2c o s c o stg x d

21、x cxx. (5) 已知曲线 ()y f x 过点 1(0, )2 ，且其上任一点 (, )xy 处的切线斜率为 2ln(1 )xx ，则 ()fx 22(1 )ln (1 ) 1 / 2xx . 二、选择题： (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分 ) (1) 当 x 0 时，变量 xx 1sin12是 ( D) (A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界的，但不是无穷小量 (D) 无界的 ,但不是无穷大 (2) 设 ()fx1,21,112xxxx ，则在点 1x 处函数 ()fx ( A ) (A) 不连续 (B) 连续，但不可导 (C) 可导，但导数不连续 (D) 可导

22、，且导数连续 (3) 已知 ()fx 2 011 1 2xxx ，设 1( ) ( ) 0 2xF x f t dt x ，则 ()Fx为 (D) (A) 211031 3xxxx (B) 21103131 3xxxx (C) 2111031 3xxxx (D) 211103131 3xxxx (4) 设常数 0k ，函数 kexxxf )ln ()( 在 ,0 内零点个数为 ( B ) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 9 页 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (5) 若 ( ) ( )f x f x ，且在 ,0 内

23、 0)( xf , 0)( xf ,则 ()fx在 0, 内 (C) (A) 0)(,0)( xfxf (B) 0)(,0)( xfxf (C) 0)(,0)( xfxf (D) 0)(,0)( xfxf 三、 (本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分 ) (1) 设 2sin ( )y f x ，其中 f 具有二阶导数，求22dxyd . 解： 222 ( ) c o s ( )dy xf x f xdx , 2 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ( ) c o s ( ) 2 ( ) c o s ( ) 2 ( ) s i n ( ) dy f x f x x f

24、 x f x x f x f xdx 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) c o s ( ) 4 ( ) c o s ( ) ( ) s i n ( ) f x f x x f x f x f x f x . 5 分 (2) 求 2lim ( 1 0 0 )x x x x . 解：原式2100lim 100xxxx 1 分 2100lim10011xx 4 分 50 . 5 分 (3) 求 dxxx 40 2cos1 . 解：原式 442001 t a n2 c o s 2x d x x d xx 1 分 440 01 s in( ta n )2 c o s xx x dxx 3 分

25、 4011( l n c o s ) l n 22 4 8 4x . 5 分 (4) 求 dxxx 0 31解：原式30 11(1 )x dxx 1 分 2 3 20 01 1 1 1 l im( 1 ) ( 1 ) 1 2 ( 1 ) bbdxx x x x 3 分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 10 页 12 . 5 分 (5) 求微分方程 0)c o s2()1( 2 dxxxydyx 满足初始条件 10xy 的特解 . 解：原方程可化为 222 co s11dy x xydx x x 1 分此一阶线性微分方程的通解为

26、22112c o s( ) ,1xxd x d xxx xy e e d x Cx 3 分即2sin 1xCy x . 4 分由 0 1xy，得 1C ，故满足初始条件的特解是2sin 11xy x . 5 分四、 (本题满分 9 分 ) 设二阶常系数线性微分方程 xeyyy 的一个特解为 xx exey 12 .试确定常数 , 并求该方程的通解 . 解一：由题设特解知原方程的特征根为 1 和 2， 2 分所以特征方程为 ( 1)( 2) 0rr ，即 2 3 2 0rr ，于是 3, 2 5 分将 1 xy xe 代入方程得 ( 2 ) 3 ( 1 ) 2x x x xx

27、e x e xe e ，即 1 7 分从而原方程的通解为 212x x xy c e c e xe . 9 分解二 : 将 2 (1 )xxy e x e 代入原方程得 2( 4 2 ) ( 3 2 ) ( 1 )x x x xe e x e e , 2 分比较同类项的系数，有 4 2 03210 ，解方程组得 =-3, =2, =-1. 5 分即原方程为 32 xy y y e ，它对应的齐次方程的特征方程为 2 3 2 0rr ，解之得特征根 121, 2rr，故齐次方程的通解为 212xxY ce c e. 7 分由题设特解知，原方程的通解为 2212 (1 )

28、 x x x xy c e c e e x e , 即 234x x xy c e c e xe 9 分五、 (本题满分 9 分 ) 设平面图形 A 由 xyx 222 与 xy 所确定，求图形 A 绕直线 2x 旋转一周所得旋转体的体积 . 解： A 的图形如下图所示 . 取 y 为积分变量 ,它的变化区间为 0,1，易见 A 的两条边界曲线方程郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 11 页分别为 21 1 ( 0 1 )x y x y y 及 . 2 分于是相应于 0,1区间上任一小区间 ,y y dy 的薄片的体积元素为

29、 2 2 2 2 2 2 ( 1 1 ) ( 2 ) 2 1 ( 1 ) d V y y d y y y d y ， 5 分于是所求体积为 1 220 2 1 (1 ) V y y d y 6 分 13201 (1 )2 1 a r c si n 2 2 3yyyy 8 分 12 ( )432 223 9 分六、 (本题满分 9 分 ) 作半径为 r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 h 为何值时，其体积 V 最小，并求出该最小值 . 解：设圆锥底面圆半径为 R，如图所示 S C h , O C O D r , B C R . 因2 22, , R 2()B C CD R r

30、 rhS C S D h h h rh r r 故从而 =. 2 分于是圆锥体积为 222( ) ( 2 )3 3 2rhV h R h r hhr . 4 分 2224( h ) = , ( h ) 0 4 , 0 ( ) .3 ( 2 )r h r h h r hhr 因 V 故解 V 得舍去 7分由于圆锥的最小体积一定存在 ,且 h=4r 是 ()Vh在 (2r,+ ) 内的唯一驻点，所以当 h=4r 时， V 取最小值 2 2 3( 4 ) 8( 4 )3 ( 4 2 ) 3r r rVr rr. 9 分七、 (本题满分 9 分 ) 设 0x ，常数 ae ，证

31、明： xaa axa . 证：因为 lnyx 是单调增加函数，所以欲证明 xaa axa ，只需证 ln( ) ( ) lna a x a x a . 2 分设 ( ) ( ) l n l n ( ) ,f x a x a a a x 4 分则在 0, ) 内连续且可导，又有 ( ) ln af x a ax . 5 分 l n 1 , 1 , ( ) 0 , ( ) 0 , .aa f x f xax 因为故所以函数在内单调增加 7 分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 12 页 ( 0 ) 0 ,

32、( ) 0 ( 0 ) , l n ( ) ( ) l n , ( ) a a xf f x x a a x a x a a x a 而所以即. 9 分八、 (本题满分 9 分 ) 设 fx 在 0, a 上连续，且 (0) 0f ，证明： 20 () 2a Maf x dx ，其中0max ( )xaM f x. 证一：任取 (0, xa ，由微分中值定理有 ( ) ( 0 ) ( ) , ( 0 , )f x f f x x . 3 分又 (0) 0f ，故 ( ) ( ) , ( 0 , f x f x x a. 所以0 0 0( ) ( ) ( )a a af x d x

33、f x d x f x d x 6 分 0aM xdx 22Ma 9 分证二：设 0, xa ，由 (0) 0f ，知0 ( ) ( ) ( 0 ) ( )x f t d t f x f f x 4 分由积分基本性质，并考虑到0max ( )xaM f x，有 0 0 0( ) ( ) ( )x x xf x f t d t f t d t M d t M x . 7 分于是 20 0 0( ) ( ) 2a a a Maf x d x f x d x M x d x . 9 分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年第 13 页

34、数学（试卷四）一、填空题： (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分 ) (1) 562s in35 53lim2 xxxx. (2) 已知 232 ,32xy f f x a r c tg xx 则 0xdxdy 43 . (3) 级数 0 23lnn nn 的和为 22 ln3 . (4) 设 4 阶方阵 A 的秩为 2, 则其伴随矩阵 *A 的秩为 0 . (5) 设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 ( 4.804 ,5.196 ) . 二、选择题

35、： (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分 ) (1) 已知函数0,00,1s in)( 2xxxxxf , 则 f (x ) 在点 x = 0处 ( C ) (A) 极限不存在 . (B) 极限存在但不连续 . (C) 连续但不可导 . (D) 可导 . (2) 设 ()fx为连续函数，且 ln1( ) ( )xxF x f t dt, 则 )(xF 等于 ( A ) (A) )1(1)(ln12 xfxxfx (B) )1()(ln xfxf (C) )1(1)(ln12 xfxxfx (D) )1()(ln xfxf (3) n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A

36、与对角阵相似的 (B) (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件 A 和 B 满足 ( ) 1PBA ，则 (D) (A) A 是必然事件 (B) ( ) 0P B A (C) A B (D) A B (5) 设随机变量 X 的密度函数为 )(x ,且 )( x = )(x , ()Fx是 X 的分布函数 ,则对任意实数 a ，有 ( B ) ( A ) 0( ) 1 ( )aF a x dx (B) 01( ) ( )2aF a x dx 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标

37、准 1993 年第 14 页 ( C ) ( ) ( )F a F a (D ) ( ) 2 ( ) 1F a F a 三、 (本题满分 5 分 ) 设 ( , )z f x y 是由方程 0z y xz y x xe 所确定的二元函数，求 dz . 解：将方程两端微分，得 ( ) 0z y x z y xd z d y d x e d x x e d z d y d x 3 分整理后得 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )z y x z y x z y x z y xx e d z x e e d x x e d y 4 分由此，得 1 ( 1 )1 z y xz y xxed

38、z d x d yxe. 5 分四、 (本题满分 7 分 ) 已知 a xxx dxexaxax 224lim ，求常数 a 的值 . 解：左边 = 22lim( 1 ) xaxa exa . 2 分 2 2 2 2 22 2 4x x xaaax d e x e x e d x 右边 3 分 2 2 222axaa e xde 4 分 2 2 2 22 2 2a x xa aa e x e e d x 5 分 2 2 2 222a a x aa e ae e 2 2 2 222a a aa e ae e . 6 分于是，有 2 2 2 2 222a a a ae a e a e e

39、，解得 0a 或 1a 7 分五、 (本题满分 9 分 ) 设某产品的成本函数为 2C aq bq c ，需求函数为 1q d pe，其中 C 为成本，q 为需求量 (即产量 )， p 为单价， , , , ,abcd e 都是正的常数，且 db ，求： (1) 利润最大时的产量及最大利润； (2) 需求对价格的弹性； (3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量 . 解： (1) 利润函数为 22( ) ( ) ( ) ( )L p q C d e q q a q b q c d b q e a q c 2 分两侧同时对 q 求导，得 ( ) 2 ( )L d b e a q . 令 L=0 ，得2( )dbq ea 3 分因为 2( ) 0L e a ，所以当2( )dbq ea 时，利润最大，且 4 分 2m ax ()L 4( )db cea. 5 分郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1993

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