1、1.编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是 X.（1）求随机变量 X 的分布列；（2）求随机变量 X 的数学期望和方差 .解 （1）P（X=0）= = ；3A21P（X=1）= = ；P（X=3）= = ；31C36随机变量 X 的分布列为X 0 1 3P 31261（2）E（X）=1 +3 =1.216D（X ）=(1-0) 2 +(1-1)2 +(3-1)2 =1.3612 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有 9 个白球、1 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金 1
2、0 元；摸出两个红球可获得奖金 50 元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令 X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：（1）X 的分布列；（2）X 的均值.解 （1）X 的所有可能取值为 0， 10，20，50，60.P（X=0）= = ；309172P（X=10）= + = ;0912C091243P(X=20)= = ;1028P(X=50)= = ;909P(X=60)= = .310故 X 的分布列为X 0 10 20 50 60P 17290124301801901（2）E（X）=0 +10 +20 +50 +60 =3.3(元).0179043893（本小题满分
3、13 分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克） 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81（1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x175，且 y75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 的分布列极其均值（即数学期望
4、） 。解：（1） 987,34，即乙厂生产的产品数量为 35 件。（2）易见只有编号为 2，5 的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品 ,故乙厂生产有大约 314（件）优等品，（3） 的取值为 0，1，2。21 233235551(),(),()0CCCPPP所以 的分布列为0 1 2P 31061010故 342.55E的 均 值 为4 湖南理 18 （本小题满分 12 分）某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量（件） 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变） ，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货
5、少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率。（）求当天商品不进货的概率；（）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期型。4解（I） P（“当天商品不进货 ”） P（“当天商品销售量为 0 件” ）（“当天商品销售量为 1 件” ） .13205（）由题意知， 的可能取值为 2,3.X)2(（“当天商品销售量为 1 件” ） ;4P3（“当天商品销售量为 0 件” ） P（“当天商品销售量为 2 件” ） （“当天商品销售量为 3 件” ）.435091故 X的分布列为2 3P1的数学期望为 .4E5、江西理 16 （本小题满分 12 分）某饮料公
6、司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料，若 4 杯都选对，则月工资定为3500 元，若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元，否则月工资定为2100 元，令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数，假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力（1）求 X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望。 （本小题满分 12 分）解：（1）X 的所有可能取值为： 0，1，2，3，4145()(,)iCPi即X 0
7、1 2 3 4P 76701670（2）令 Y 表示新录用员工的月工资，则 Y 的所有可能取值为2100，2800，3500 1(350)(4)7082835(10)(2)70163358280.7PXYE则所以新录用员工月工资的期望为 2280 元.6、辽宁理（19） （本小题满分 12 分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙（I）假设 n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求 X 的分布列和数学期望；
8、（II）试验时每大块地分成 8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：品种甲403 397 390 404 388 400 412 406品种乙419 403 412 418 408 423 400 413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据 nx,21的的样本方差 )()()( 222 xxns n，其中 为样本平均数6解：（I）X 可能的取值为 0，1，2，3，4，且4813482483148(),7,5(),5().70PCXCP即 X 的分布列为4 分X
9、 的数学期望为 18181()02342.735570E6 分（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222221(4039740380416)40,8)(1)()57.xS甲甲8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 2222221(490314803401),87)6()1(56.xS乙乙10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.7、山东理 18 （本小题满分 12 分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，甲对A，乙对 B，丙对 C 各一盘，已知甲胜 A，乙胜 B，丙
10、胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望E.7解：（I）设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F，则 ,DF分别表示甲不胜 A、乙不胜 B，丙不胜 C 的事件。因为 ()0.6,().5,()0.,PP由对立事件的概率公式知 ().4,().,().,EF红队至少两人获胜的事件有： ,.DEFEF由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 ()()()()0.65.06.50.45.06.5PPDEF（II
11、）由题意知 可能的取值为 0，1，2，3。又由（I）知 ,DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此 (0)()0.45.01,P1()PDEF.45.6.03()()0.5.01.PDEF由对立事件的概率公式得 (2)1()()(3).4,P所以 的分布列为：0 1 2 3P 01 035 04 015因此 352516.E20解（）A i 表示事件“甲选择路径 Li 时，40 分钟内赶到火车站” ，Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时，50 分钟内赶到火车站” ，i=1,2用频率估计相应的概率可得P（A 1）=01+02+0 3=0 6，P （A 2）=01+0 4=0 5，P（
12、A 1） P（A 2）, 甲应选择 LiP（B 1） =01+02+0 3+02=08，P（B 2）=01+04+0 4=09，P（B 2） P（B 1）, 乙应选择 L2（）A,B 分别表示针对（）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（）知 ()0.6,().9APB,又由题意知，A,B 独立，(0)()().41.PXBP1()AAPB.49.60.2(2)()().609.54X的分布列为X 0 1 2P 004 042 054.41.2.54.E8、四川理 18 （本小题共 12 分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租
13、不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算） 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 1,4；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 1,24；两人租车时间都不会超过四小时。（）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E；8解析：（1）所付费用相同即为 0,24元。设付 0 元为 1428P，付 2元为 2148P，付 4 元为 36则所付费用相同的概率为 125P（2）设甲，乙两个所付的费用之和为 ， 可为 0,2481(0)852421
14、61()43642161(8)PP分布列 02468P185613159742E9、天津理 16 （本小题满分 13 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2个黑球，乙箱子里 装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在 1 次游戏中，（i）摸出 3 个白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在 2 次游戏中获奖次数 X的分布列及数学期望 ()EX .9本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知
15、识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分 13 分.（I） （i）解：设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件(0,23),iA则13253).CP（ii）解：设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 23A，又2132553() ,AC且 A2，A 3 互斥，所以 2317()().50PBA（II）解：由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2.21279(0)(),0,5749()(.0PXC所以 X 的分布列是X 0 1 2P 912504910X 的数学期望 497() .01E10 重庆理 17 （本小题满分 13 分） （）小问 5 分， （）小问 8 分）某市公
16、租房的房源位于 A，B，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中：（）恰有 2 人申请 A 片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望10 （本题 13 分）解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I）解法一：所有可能的申请方式有 34 种，恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 24C种，从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为248.73解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验.记“申请 A 片区房源”为事件 A，则 1()3P从而，由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次
17、的概率计算公式知，恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 24418()().37PC（II） 的所有可能值为 1，2，3.又42132 244 3(),()()1()77CCPP或12 2334 4()().99A或综上知， 有分布列 1 2 3P 7 4 9从而有 16523.27E11.（2008全国理，20）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的
18、 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验.(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;(2) 表示依方案乙所需化验次数,求 的期望.解 （1）设 1、 2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则方案甲中 1的分布列为1 2 3 4P 5514514523方案乙中 2的分布列为1 2 3P 0 53C1435524若甲化验次数不少于乙化验次数,则P=P( 1=1)P( 2=1)+P( 1=2)P ( 2=1)+P( 2=2)+P( 1=3)P ( 2=1)+P( 2=2)+P( 2=3)+P( 1=4
19、)=0+ （0+ ）+ （0+ + ）+ = =0.72.5353518(2)E（ ）=10+2 +3 = =2.4.212.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 p，且乙21投球 2 次均未命中的概率为 .16（1）求乙投球的命中率 p；（2）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望.解 (1)设“甲投球一次命中”为事件 A， “乙投球一次命中”为事件 B.由题意得(1-P(B) 2=(1-p)2= ,16解得 p= 或 p= （舍去） ，所以乙投球的命中率为 .43543（2）由题设和（1）知 P(A)= ,P( )= ,P
20、(B)= ,21P( )= .B4可能的取值为 0，1，2，3，故P( =0)=P( )P( )= = ,AB2413P( =1)=P(A)P( )+ P（B ）P（ ）P（ ）2CA= +2 = ,21434137P( =3)=P(A)P(BB)= = ,229P( =2)=1-P( =0)-P( =1)-P( =3)= .315的分布列为0 1 2 3P 32132731529的数学期望E（ ）=0 +1 +2 +3 =2.32175913.设在 12 个同类型的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以 和 分别表示取出次品和正品的个数.（1）求 的
21、分布列、期望值及方差；（2）求 的分布列、期望值及方差.解 （1） 的可能值为 0，1，2.若 =0，表示没有取出次品，其概率为：P（ =0）= = ;3120C6同理，有 P（ =1）= = ；P （ =2）= = .312093120C 的分布列为：0 1 2P 16291E（ ）=0 +1 +2 = .16292D（ ）=(0- )2 + + 121= + + = .2389415(2) 的可能值为 1，2，3，显然 + =3.P( =1)=P( =2)= ,P( =2)=P( =1)= ,29P( =3)=P( =0)= .16 的分布列为：1 2 3P 2916E（ ）=E（3- ）
22、=3-E（ ）=3- = .15 =- +3，D（ ）=（-1） 2D（ ）= .414.某地区的一个季节下雨天的概率是 0.3，气象台预报天气的准确率为 0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失 3 000 元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天 500 元.（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失 的分布列，并求其平均值；（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以 表示每天的损失，写出 的分布列.计算 的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？解 （1）设 为损失数，分布列为：0 3 000P 0.7 0.3E（ ）=3 0000.3=
23、900 （元） .（2）设 为损失数，则P（ =0）=0.70.8=0.56.P( =500)=0.30.8+0.70.2=0.38.P（ =3 000）=0.30.2=0.06.分布列为： 0 500 3 000P 0.56 0.38 0.06E（ ）=0+5000.38+3 0000.06=370平均每天损失为 370 元.370900，按天气预报作防雨处理是正确的选择.15.（2008湖北理，17）袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球， 表示所取球的标号.（1）求 的分布列、期望和方差；（2）若 =
24、a +b,E（ ）=1,D（ ）=11,试求 a,b 的值.解 （1） 的分布列为0 1 2 3 4P 2051E（ ）=0 +1 +2 +3 +4 =1.5.101251D（ ）=(0-1.5) 2 +(1-1.5)2 +(2-1.5)2 +(3-1.5)2 +(4-1.5)20003=2.75.51(2)由 D（ ）=a 2D（ ）,得 a22.75=11,即 a=2.又 E（ ）=aE（ ）+b,所以当 a=2 时,由 1=21.5+b,得 b=-2.当 a=-2 时,由 1=-21.5+b,得 b=4. 或 即为所求.,2b416.A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比
25、试验.每个试验组由 4只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ，服用 B 有效的概率为 . 321（1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察 3 个试验组，用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和 数学期望.解 （1）设 Ai表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有 i 只” ，i=0，1，2，Bi表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小白鼠有 i 只” ，i=0，1，2.依题意有P（A 1）=2 = ,3294P（A 2）= = .P(B0)= = ,14P(B1)=2 = .2所求的概率为P=P(B0 A1)+P（B 0 A2）+P（ B1 A2）= + + = .4949（2） 的可能值为 0,1,2,3，且 B(3, ).94P（ =0）= = ，395721P（ =1）= = ,3C4430P( =2)= = ,29528P( =3)= = .3476的分布列为0 1 2 3P 729543807964数学期望 E（ ） =0 +1 +2 +3 = .23
