1、计算传热学第5讲,离散方程的求解 Solution of Difference Equations,本讲内容：,引言 几个基本事实 基本迭代法 加速收敛技术块迭代法 加速收敛技术多重网格法 加速收敛技术块修正法 加速收敛技术其它方法 收敛判据、收敛速度的控制及其它,阅读要求,陶文铨数值传热学 第4章第4.4节第7章,5.1 离散化方程的求解必须讲求方法,离散化代数方程的求解 不论何种方法 不论问题的性质如何 且一般是非线性的 具有基本重要性 不可或缺,离散化方程的求解必须讲求方法,直接方法（或精确解法）direct solution 未知数个数巨大 计算工作量太大，根本得不到解 舍入误差（ro
2、und-off error) 得不到“精确解” 精确解法的结果往往是错误的 只能采用迭代法（iteration method） 在数值传热学中：基本重要性 普通迭代法 效率低 收敛速度慢 采用加速收敛方法（acceleration methods）,5.2 几个基本事实,离散化方程的形式：,对于二维问题，,对于一维问题，,或者写成，,39,几个基本事实,离散化方程的形式 对于一维问题，它是一个三对角方程，TDMA法 对于多维问题： 大型稀疏系数矩阵 不能形成“对角”方程 对角方程：高效的求解方法 聪明的节点编号：“对角方程”,几个基本事实,迭代法是近似法 理论上：给出任意指定精度的近似解 迭代
3、法的收敛速度 问题的性质 结点数目增加，收敛速度迅速降低 Recall：数值解的精度与子区域的大小有关 实际问题：结点数目非常大 为什么节点数增加，收敛速度下降？ 边界条件信息向区域内部的传递速度,节点多了，层次多了，“路径”长了，收敛速度慢了！,特别提示,加速边界信息的传递，必然会提高收敛速度 加速收敛的主要思路之一,几个基本事实,收敛速度与边界条件的类型有关 第一类边界： 边界信息最为确定，收敛速度最快 第三类边界： 边界信息较确定，收敛速度较快 第二类边界： 边界信息最不确定，收敛速度最慢,几个基本事实,收敛速度与问题的类型有关： 扩散型方程易于收敛 对流扩散方程收敛慢 层流比紊流问题收
4、敛更困难 线性问题比非线性问题容易收敛 收敛速度与迭代顺序有关 设定边界条件时一定要慎重 确定的待求变量数值,几个基本事实,三对角方程：可以高效直接求解 直接解法可以一次性传递边界信息 迭代过程中要尽可能多地采用直接法,5.3 基本迭代法松弛法,松弛法（Relaxation method) 用上次迭代值（0）和本次迭代值构造本轮迭代解，即，,从方程（1）中解出P代入（4），有，,松弛法（Relaxation method),是松弛因子， relaxation factor 0 1: 超松弛（Over relaxation）,松弛法（Relaxation method),最佳松弛因子opt: 获
5、得最快的收敛速度 不能事先预测 对于扩散型问题：超松弛可以加速收敛 亚松弛：改善收敛特性，抑制发散 复杂问题一般用亚松弛 公式(5):点迭代（stepwise iteration) 程序简单 收敛速度慢 计算机速度的提高：点迭代的可能性,松弛法（Relaxation method),松弛法的基本思想：具有重要意义 点迭代 线迭代 源项等的处理：对于强源项问题，,5.4 加速收敛技术,为什么一定要采用加速收敛方法？ 收敛速度成为制约因素 加速收敛的基本出发点： 加速边界信息的传递 增加直接求解的份额 最大限度地减少待求变量的数目,5.4.1块迭代法,块迭代法：Block iteration 将求
6、解区域分成若干块（大的子区域） 未知数个数巨大 块：一条线和数条网格线组成 同一块上的待求变量用直接法求解 不同块之间用迭代法求解 这相当于： 代数方程可以分区域求解 各个区域间用迭代法完成,5.4.1 块迭代法,最常用的方案：线迭代(line iteration) 对于二维问题，参见方程（2）：,改写：,方程（7）形式上变为一维问题,线迭代法,说明： 形式上变为一维问题 b中的S和N是未知的：上次迭代值 在同一条线上求解 逐线求解，直到覆盖整个求解区域。,扫 描 方 向,扫 描 方 向,线迭代法,当然，将方程（2） 还可以这样改写，,显然，它给出了竖直线之间的迭代。,扫描方向,扫描方向,线迭
7、代法说明,交替方向法(ADI, Alternative Direction Iteration) 特点： 增加了直接求解的份额 加速了边界信息的传递速度 大幅度地提高了收敛速度（与点迭代相比） 程序仍然相对简单 内存占用增加不多 属于必须掌握的方法,线迭代法说明,分类 Jacobi迭代 Gauss-Seidel迭代 松弛迭代 系数一定要采用Jacobi迭代，否则 扩散系数计算的不一致 导致违反流的相容性原则 迭代过程发散,线迭代法说明,扫描方向与扫描起始线 对收敛速度的影响比较大 有确定信息的边界作为扫描起始线 扫描方向：对着边界信息较确定的边界 各边界信息量相同时：“短路径”原则,1st,3
8、rd,2nd,2nd,扫描方向,线迭代法说明,程序中扫描方向的设计 最佳方案：每个坐标方向上各进行来回两次扫描 简化方案：每个坐标方向上各进行一次扫描 对坐标系进行调整，起始线：确定信息,2nd,1st,2nd,3rd,5.4.2 多重网格法,Multi-grid method的依据 影响收敛速度的关键因素：边界信息的传递 节点数目增加，收敛速度降低 节点数目增加，边界到内部的相对路径增加，层次增多 网格加密不利于误差矢量长波分量的衰减 方案: 在粗网格上求解：加速边界相息的传递 在密网格上求解：得到满足精度要求的解,多重网格法,由疏到密的过程,多重网格法,由密到疏的过程,多重网格法,实际操作
9、时： 先由密到疏，再由疏到密 细网格：衰减误差的短波分量 粗网格：衰减误差的长波分量 迭代：控制迭代次数，监视迭代误差 尽可能采用直接法求解 最细层次网格上的迭代：控制迭代精度，监视迭代次数,多重网格法,两层网格之间： 有尽可能多的“继承关系” 减少插值（由细到粗） 简化由粗到细网格的插值 （插值方法在这里是关键技术）,多重网格法,在精度要求不是特别高时，可以明显加快收敛过程 如果精度要求非常高，效果不明显,多重网格法,缺点： 程序复杂化 专业程序开发人员,5.4.3 块修正法,Block-correction technique 基本出发点： 减少结点数目 加快边界信息向求解区域传递 基本思
10、想： 把求解区域分为若干个“大的块儿” 在进行下一次迭代前对迭代初值进行估算： 下次迭代值上次迭代值修正值 假定同一块上的节点有相同的修正值,块修正法,对于二维问题，将方程（2）改写：,经过若干次迭代后，得到了近似解*i,j 在此基础上，估算新的迭代值：,块修正法,这相当于假定i,j （j1,2,3,M）这M个待求变量可以在上次迭代值*i,j的基础上加上同一个修正值得到。 将方程（12）代入方程（11）,块修正法,整理后得到:,其中，,块修正法,将方程（14）对j求和，,令，,块修正法,于是有，,求解上述方程，得到修正量，代入方程（12），得到新的迭代值。,块修正法,收敛时，必然有参见方程（1
11、1），,于是，,从而，,块修正法,所以，方程（17）当迭代收敛时有0解：,当迭代没有收敛时，利用方程（17）和方程（12）可以得到更好的试探值,块修正法,说明： 它不是一种独立的解法 它只能提供“较好”的迭代试探值 程序的复杂化 为了提高试探值的精度，可以采用多块修正法 也就是多重网格法,5.4.4 TDMA的扩展,增加直接求解的份额可以提高收敛速度 沿边界逐层构造方程组进行求解,TDMA的扩展,优点 最大限度地应用了TDMA方法 增加了直接求解的份额 提高了收敛速度 缺点 程序大大复杂化 在计算机上的实现很困难 文献中很少采用,5.5加速收敛的其它方法,边界节点消去法（附加源项法） 消去边界
12、节点待求变量 明显减少待求变量的数量 正方形平面区域，边界节点所占份额4（N1/2-1)/N N=1000, 12.25% N=10000, 3.92% 立方体区域，边界节点所占份额（6N2/3-11N1/3+8)/N N=1000, 49.8% N=10000, 25.6% N=100000, 12.4% 求解区域缩小，边界内移，提高收敛速度,加速收敛的其它方法,调整步长和精度控制 尽可能采用较大的步长 较低的精度控制 前提：获得精度控制及步长无关解,5.6 收敛判据与收敛速度的控制,收敛判据：精度无关解 最大相对误差：max(- *)/ 最大绝对误差: max- * 余量范数: 最大迭代次数：,收敛判据与收敛速度的控制,收敛速度的控制 求解稳态问题的非稳态方法 欠松弛法 源项松弛 源项逐步加大法 网格尺寸的确定：网格无关解 等步长与变步长计算：均匀网格优先原则,简单的算例,求解下面的一维稳态导热问题：,节点数目对求解结果的影响,精度控制：0.5105,节点数量对迭代次数的影响,精度控制对迭代次数的影响,N300,精度控制对计算结果的影响,N300,End of This Lecture 5,THANK YOU,
