1、一些典型方程和定解条件的推导,要求：,1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、初始条件、边界条件等基本概念。,2）弄清三类典型方程对各自初始条件、边界条件的要求。,3）基本方程的建立（推导过程）不要求。 但是根据问题的描述，要会写出定解问题。,一些典型方程和定解条件的推导（I）,要求：,1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、初始条件、边界条件等基本概念。,基本概念,微分方程: 含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.,偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程,偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程,方程中，未知函数的
2、偏导的最高阶数称为偏微分方程的阶。,是二阶偏微分方程，,是一个三阶偏微分方程.,例如，方程,而方程,如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数），则称为线性偏微分方程。一个偏微分方程若不是线性的，则称为非线性偏微分方程。,例如，方程,是一个二阶线性偏微分方程，,都是非线性偏微分方程。,而方程,n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为,可假设 ，这里 和 都是关于自变 量 的实值函数。如果 ，则称方程为齐次的；否则就称为非齐次的。,本书主要研究对象：,方程的通解,求解常微分方程时，常用方法是先求出方程的通解,然后根据给定的条件确定特解
3、.其中 n 阶常微分方程的通解依赖于n个常数,它可以表示成n个线性无关函数的线性组合。,然而对偏微分方程来说，这样的结论一般不成立，这是由于每一个线性齐次偏微分方程的解空间都是无限维的函数空间。,例：考虑二阶方程：,解：分别对 x 和 y 积分，可以知道方程的解形如：,其中，g(x) 和 h(y) 都是任意可微函数。,方程(3)有无限多个线性无关的解。,描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件.只附加边界条件的定解问题称为边值问题.,描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始条件。只附加初值条件的定解问题称为初值问题（Cauchy 问题）,包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题(初边
4、值问题),初值条件、边界条件统称为定解条件 .初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题.,一些典型方程和定解条件的推导（II）,要求：,2）弄清三类典型方程对各自初始条件、边界条件的要求。,1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、初始条件、边界条件等基本概念。,弦的强迫横振动方程：,弦的自由横振动方程：,波 方 程,均匀杆的纵向振动问题：以 u(x,t) 表示杆上各点的纵向位移，则 u(x,t) 满足波方程。,二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波和声波的传播）：,热 方 程,三维齐次热传导方程,三维非齐次热传导方程,若物体内部有热源,u(x,y,z,t) ：物体在空间位置
5、 x 以及时刻 t 的温度。,Laplace方程, 泊松方程,稳定的热场,有源的稳定热场,第一类边界条件直接给出 u 在边界 S 上的值，即,第二类边界条件是给出 u 沿 S 的外法线方向的 方向导数，即,第三类边界条件是给出 u 以及 的线性组合在边界的值，即,弦振动问题：若弦的两端是固定的，边界条件为,若弦的两端按照规律 运动, 边界条件为,热传导问题：若物体边界上的温度为 f(M,t)，边界条件为,第一类边界条件,第二类边界条件,弦振动问题：弦的一端（如 x = l）可以在垂直 x 轴的直线上自由上下滑动，称这种端点为“自由端”。,热传导问题：物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的
6、流速始终为0，,热传导问题：若 f(M) 表示 t = 0 时物体内一点M的温度，则热传导问题的初始条件为,泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态的，与时间无关，所以不提初始条件。,弦振动问题：设初始位移、初始速度为 ,则波动方程的初值条件为,初始条件,初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非系统中个别点的初始状态。,一些典型方程和定解条件的推导（III）,要求：,3）基本方程的建立（推导过程）不要求。 但是根据问题的描述，要会写出定解问题。,1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、初始条件、边界条件等基本概念。,2）弄清三类典型方程对各自初始条件、边界条件的要求。,假设弦在 x=0 端按照
7、规律 运动，在 x=l 端自由，初始位移、初始速度为 ，弦振动满足的定解问题为：,例：,叠加原理,设 L 是线性微分算子，若 满足线性方程（或线性定解条件）,分离变量法,掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分离变量解法； 掌握矩形域和圆域内拉普拉斯方程的分离变量法解法； 会使用特征函数法解非齐次方程的定解问题 会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条件的定解问题。,要求：,分离变量法（I）,掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分离变量解法；,要求：,解：令,引入参数 得,例：两端自由的杆的自由纵振动问题.,分离变量：,由边值条件,得C1 =C 2=0 从而 ， 无意义,由边值条件,由边值条件
8、,从而,特征值,特征函数,T 的方程,其解为,特征值,特征函数,特征函数,故,代入初始条件:,展开为傅立叶余弦级数，比较系数,展开为傅立叶余弦级数，比较系数,也可以用以下函数系的正交性来计算系数：,注： l 是区间的长度，若,一、一,一、二,二、一,二、二,对波动方程和热传导方程，以下四种边界条件 要求掌握：,第三类边界条件不要求,注：对于波动方程和热传导方程而言, 边界条件唯一确定了其特征值和特征函数。,关于热方程的定解问题,其中,分离变量法（II）,2. 掌握矩形域和圆域内拉普拉斯方程的分离变量法解法；,要求：,例. 在带电的云跟大地之间的匀强静电场(设其强度为 ,方向为竖直的)，水平架设
9、一输电线，讨论输电线(导体圆柱体)对匀强电场的影响。,解: 设输电线圆柱半径为 a，取垂直于圆柱体的平面为x y平面, (x,y) 点处电势用 u(x,y) 表示。,柱体外空间无电荷，电势满足二维Laplace方程,亦即,无限远处静电场保持匀强 ，且由于 x 轴平行于 故在无限远处 ，即,因此 u(x,y) 满足的定解问题为：,采用平面极坐标。,由于 不能分解，故不能 直接用分离变量法。,令 则,则,取参数,由平面极坐标下极角周期性，应有,即,亦即,自然周期条件,则,本征值问题,本征值和本征函数,的方程,欧拉型常微分方程,其解为,分离变量形式解,分离变量形式解,所以,由边界条件,由边界条件,由
10、此,即,再由条件,由于 大时， 和 远远小于 项，当 时，,再由条件,由于 大时， 和 远远小于 项，当 时，,因而得,从而,最后得柱外的静电势为：,式中三项有明显的物理意义：,均匀带电圆柱体周围的静电场和的电势;,原来的匀强静电场中的电势分布;,分离变量法（III）,3. 会使用特征函数法解非齐次方程的定解问题,要求：,4. 会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条件的定解问题。,非齐次方程的解经叠加后一般不再是原方程的解，所以分离变量法不再适应。,分离变量法的基本要点和解题步骤,对于一维波动方程和热传导方程,(i)当方程和边界条件均为齐次时, 不管初始条件如何, 可直接用分离变量法。,(ii
11、)当边界条件为齐次,方程为非齐次时, 将原定解 问题分解为两个：其一是具有原初始条件的齐次方 程，这个问题用分离变量法来求解。,其二是具有齐 次定解条件的非齐次方程该问题用特征函数法求解，这时要注意初始条件的变化。,(iii)当边界条件为非齐次时, 则需要引进辅助函数 把边界条件化为齐次的, 然后再用上述方法求解.,(2)对于二维拉普拉斯方程的边值问题,应根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在 此坐标系下边界条件的表达方式最简单.,例如, 对于圆域、圆环、扇形等区域可以采用极坐标。应当指出，只有当求解区域非常规范时，才可以用分离变量法解拉普拉斯方程的定解问题。,方程以及边界条件都是齐次的
12、,非齐次方程的解法,利用叠加原理,设(2.4.6)的解具有如下形式,其中 是待定函数，下面要确定 。,设(2.4.6)的解具有如下形式,其中 是待定函数，下面要确定 。,2) 将方程中的非齐次项 f(x, t) 按照上述特征函数 展开为傅立叶正弦级数:,其中,代入方程得,用拉普拉斯变换法求得上述问题的解为,练习 求解,其中 都是常数。,解 齐次问题所对应的特征函数为,因此设方程的解为,代入所给方程, 有,设方程的解为,代入所给方程, 有,设方程的解为,由初始条件, 得,显然当 时, ;,当 时,故所求的解为,例： 求解,解 齐次问题所对应的特征函数为 ,因此设方程的解为,代入方程,由于 ，它关
13、于的傅立叶系数为:,即有,由初始条件, 得,所以,解方程即得,故所求的解为,非齐次边界条件的处理,处理原则: 不论方程是否为齐次的,都选取（容易求解的）辅助函数 ，通过函数之间的代换:,使得对新的未知函数 具有齐次边界条件。,如果边界条件不全是第一类的，则,1)若,令,2)若,令,3)若,令,注意：对于给定的定解问题, 如果方程中的自由项f 和边界条件中的 都和自变量 t 无关，则可 选取辅助函数 w(x) ，通过代换,将方程和边界条件同时变成齐次的.,例 求下列定解问题的解,其中 为常数。,解 1）边界条件齐次化，令,于是 满足如下定解问题,2）将问题分解为两个定解问题。设,非齐次方程 齐次边界条件 定解问题,满足定解问题,其中,满足定解问题,3）求解问题 (I), (II) 。,首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。,将 叠加，利用初始条件确定系数,计算得,其次，利用特征函数法求解问题 (II) 。,由于,代入问题（II）的方程及初始条件，得,比较系数,解得,所以，,4）综合上述结果, 得到原问题的解,
