1、二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 1 页1如图所示，抛物线 y=ax2+bx3 与 x轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线 BC下方的抛物线上有一点 P，过点 P作 PEBC 于点 E，作 PF平行于 x轴交直线 BC于点 F，求PEF 周长的最大值；（3）已知点 M是抛物线的顶点，点 N是 y轴上一点，点 Q是坐标平面内一点，若点 P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以 P、M、N、Q 为顶点且以 PM为边的正方形？若存在，直接写出点 P的横坐标；若不存在，说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题
2、）第 2 页2如图，抛物线 y=x 2+2x+3与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，点 D，C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD与 y轴相交于点 E（1）求直线 AD的解析式；（2）如图 1，直线 AD上方的抛物线上有一点 F，过点 F作 FGAD 于点 G，作 FH平行于 x轴交直线 AD于点 H，求FGH 周长的最大值；（3）如图 2，点 M是抛物线的顶点，点 P是 y轴上一动点，点 Q是坐标平面内一点，四边形 APQM是以PM为对角线的平行四边形，点 Q与点 Q关于直线 AM对称，连接 M Q，P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM 面积的 时，求APQM 面积
3、二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 3 页3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x轴交于 A，B 两点（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C，点 A的坐标为（1，0） ，且 OC=OB，tanACO= （1）求抛物线的解析式；（2）若点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD下方的抛物线上有一点 P，过点 P作 PHAD 于点H，作 PM平行于 y轴交直线 AD于点 M，交 x轴于点 E，求PHM 的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点 E为端点，在直线 EP的右侧作一条射线与抛物线交于点 N，使得NEP 为锐角，在线段 EB上是否存在点
4、 G，使得以 E，N，G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 4 页4如图（1） ，抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴交于 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点（x 10x 2） ，与 y轴交于点C（0，3） ，若抛物线的对称轴为直线 x=1，且 tanOAC=3（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点 D是抛物线 BC段上的动点，且点 D到直线 BC距离为 ，求点 D的坐标（3）如图（2） ，若直线 y=mx+n经过点 A，交 y轴于点 E（0， ） ，点 P是直线 AE下方抛物线上一点，过点 P作 x
5、轴的垂线交直线 AE于点 M，点 N在线段 AM延长线上，且 PM=PN，是否存在点 P，使PMN 的周长有最大值？若存在，求出点 P的坐标及PMN 的周长的最大值；若不存在，请说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 5 页5已知：如图，直线 y=x+2 与 x轴交于 B点，与 y轴交于 C点，A 点坐标为（1，0） （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式（2）在直线 BC上方的抛物线上有一点 D，过 D作 DEBC 于 E，作 DFy 轴交 BC于 F，求DEF 周长的最大值（3）在满足第问的条件下，在线段 BD上是否存在一点 P，使DFP=DBC若存在，求出点 P的坐标；若
6、不存在，说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 6 页6如图，抛物线 y=x 2+（m1）x+m（m1）与 x轴交于 A、B 两点（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称，点你 F在直线 AD上方的抛物线上，FGAD 于 G，FHx 轴交直线 AD于 H，求FGH 的周长的最大值；（3）点 M是抛物线的顶点，直线 l垂直于直线 AM，与坐标轴交于 P、Q 两点，点 R在抛物线的对称轴上，使得PQR 是以 PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线 l的解析式二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 7 页7如
7、图，已知抛物线 y=x 2+2x+3与坐标轴交于 A，B，C 三点，抛物线上的点 D与点 C关于它的对称轴对称（1）直接写出点 D的坐标和直线 AD的解析式；（2）点 E是抛物线上位于直线 AD上方的动点，过点 E分别作 EFx 轴，EGy 轴并交直线 AD于点F、G，求EFG 周长的最大值；（3）若点 P为 y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点 Q，使得以 A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 8 页8如图，抛物线 y= x2 x+3与 x轴相交于 A、B 两点（点 A在点 B的左侧） ，交 y轴
8、与点 D，已知点 C（0， ） ，连接 AC（1）求直线 AC的解析式；（2）点 P是直线 AC上方的抛物线上一动点，过点 P作 PEy 轴，交直线 AC于点 E，过点 P作 PGAC，垂足为 G，当PEG 周长最大时，在 x轴上存在一点 Q，使|QPQC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QPQG|取得最大值时，直线 PG交 y轴于点 M，把抛物线沿直线 AD平移，平移后的抛物线 y与直线 AD相交的一个交点为 A，在平移的过程中，是否存在点 A，使得点 A，P，M 三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点 A的坐标；若不存在，请说明理由二次函数专题训练（
9、三角形周长最值问题）第 9 页9如图，抛物线 y= x2+ x+3交 x轴于 A、B 两点，点 A在点 B的左侧，交 y轴于点 C（1）求直线 AC与直线 BC的解析式；（2）如图 1，P 为直线 BC上方抛物线上的一点；过点 P作 PDBC 于点 D，作 PMy 轴交直线 BC于点 M，当PDM 的周长最大时，求 P点坐标及周长最大值；在的条件下，连接 AP与 y轴交于点 E，抛物线的对称轴与 x轴交于点 K，若 S为直线 BC上一动点，T为直线 AC上一动点，连接 EK，KS，ST，TE，求四边形 EKST周长的最小值；（3）如图 2，将AOC 顺时针旋转 60得到AOC，将AOC沿直线
10、OC平移，记平移中的AOC为AOC，直线 AO与 x轴交于点 F，将OCF 沿 OC翻折得到OCF，当CCF为等腰三角形时，求此时 F点的坐标二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 10 页参考答案与试题解析1如图所示，抛物线 y=ax2+bx3 与 x轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线 BC下方的抛物线上有一点 P，过点 P作 PEBC 于点 E，作 PF平行于 x轴交直线 BC于点 F，求PEF 周长的最大值；（3）已知点 M是抛物线的顶点，点 N是 y轴上一点，点 Q是坐标平面内一点，若点 P是抛物线上一点，且位于抛
11、物线的对称轴右侧，是否存在以 P、M、N、Q 为顶点且以 PM为边的正方形？若存在，直接写出点 P的横坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）把 A（1，0） ，B（3，0）两点坐标代入抛物线 y=ax2+bx3，得到 ，解得 ，抛物线的解析式为 y=x22x3（2）如图 1中，连接 PB、PC设 P（m，m 22m3） ，B（3，0） ，C（0，3） ，OB=OC，OBC=45，PFOB，PFE=OBC=45，PEBC，PEF=90，PEF 是等腰直角三角形，PE 最大时，PEF 的面积中点，此时PBC 的面积最大，则有 SPBC =SPOB +SPOC S BOC = 3（m 2+2m+
12、3）+ 3m = （m ） 2+ ，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 11 页m= 时，PBC 的面积最大，此时PEF 的面积也最大，此时 P（ ， ） ，直线 BC的解析式为 y=x3，F（ ， ） ，PF= ，PEF 是等腰直角三角形，EF=EP= ，C PEF 最大值 = + （3）如图 2中，当 N与 C重合时，点 N关于对称轴的对称点 P，此时思想 MNQP是正方形，易知 P（2，3） 点 P横坐标为 2，如图 3中，当四边形 PMQN是正方形时，作 PFy 轴于 N，MEx 轴，PEy 轴易知PFNPEM，PF=PE，设 P（m，m 22m3） ，M（1，4） ，m=m 2
13、2m3（4） ，m= 或 （舍弃） ，P 点横坐标为所以满足条件的点 P的横坐标为 2或 二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 12 页2如图，抛物线 y=x 2+2x+3与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，点 D，C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD与 y轴相交于点 E（1）求直线 AD的解析式；（2）如图 1，直线 AD上方的抛物线上有一点 F，过点 F作 FGAD 于点 G，作 FH平行于 x轴交直线 AD于点 H，求FGH 周长的最大值；（3）如图 2，点 M是抛物线的顶点，点 P是 y轴上一动点，点 Q是坐标平面内一点，四边形 APQM是以PM为对角线的平行四边形，
14、点 Q与点 Q关于直线 AM对称，连接 M Q，P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM 面积的 时，求APQM 面积【解答】解：（1）令x 2+2x+3=0，解得 x1=1，x 2=3，A（1，0） ，C（0，3） ，点 D，C 关于抛物线的对称轴对称，D（2，3） ，直线 AD的解析式为：y=x+1；（2）设点 F（x，x 2+2x+3） ，FHx 轴，H（x 2+2x+2，x 2+2x+3） ，FH=x 2+2x+2x=（x ） 2+ ，FH 的最大值为 ，由直线 AD的解析式为：y=x+1 可知DAB=45，FHAB，FHG=DAB=45，二次函数专题训练（三角形周长最值问题
15、）第 13 页FG=GH= =故FGH 周长的最大值为 2+ = ；（3）当 P点在 AM下方时，如图 1，设 P（0，p） ，易知 M（1，4） ，从而 Q（2，4+p） ，PM Q与APQM 重合部分的面积是APQM 面积的 ，PQ必过 AM中点 N（0，2） ，可知 Q在 y轴上，易知 QQ的中点 T的横坐标为 1，而点 T必在直线 AM上，故 T（1，4） ，从而 T、M 重合，APQM 是矩形，易得直线 AM解析式为：y=2x+2，MQAM，直线 QQ：y= x+ ，4+p= 2+ ，解得：p= ，PN= ，S APQM =2SAMP =4SANP =4 PNAO=4 1=5；当 P
16、点在 AM上方时，如图 2，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 14 页设 P（0，p） ，易知 M（1，4） ，从而 Q（2，4+p） ，PM Q与APQM 重合部分的面积是APQM 面积的 ，PQ必过 QM中点 R（ ，4+ ） ，易得直线 QQ：y= x+p+5，联立 ，解得：x= ，y= ，H（ ， ） ，H 为 QQ中点，故易得 Q（ ， ） ，由 P（0，p） 、R（ ，4+ ）易得直线 PR解析式为：y=（ ）x+p，将 Q（ ， ）代入到 y=（ ）x+p 得： =（ ） +p，整理得：p 29p+14=0，解得 p1=7，p 2=2（与 AM中点 N重合，舍去） ，P（
17、0，7） ，PN=5，S APQM =2SAMP =2 PN|xMx A|=2 52=10综上所述，APQM 面积为 5或 10二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 15 页3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x轴交于 A，B 两点（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C，点 A的坐标为（1，0） ，且 OC=OB，tanACO= （1）求抛物线的解析式；（2）若点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD下方的抛物线上有一点 P，过点 P作 PHAD 于点H，作 PM平行于 y轴交直线 AD于点 M，交 x轴于点 E，求PHM 的周长的最大值；（
18、3）在（2）的条件下，以点 E为端点，在直线 EP的右侧作一条射线与抛物线交于点 N，使得NEP 为锐角，在线段 EB上是否存在点 G，使得以 E，N，G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）点 A的坐标为（1，0） ，OA=1又tanACO= ，OC=4C（0，4） OC=OB，OB=4B（4，0） 设抛物线的解析式为 y=a（x+1） （x4） 将 x=0，y=4 代入得：4a=4，解得 a=1，抛物线的解析式为 y=x23x4（2）抛物线的对称轴为 x= = ，C（0，4） ，点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称，D（3，4）
19、 设直线 AD的解析式为 y=kx+b将 A（1，0） 、D（3，4）代入得： ，解得 k=1，b=1，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 16 页直线 AD的解析式 y=x1直线 AD的一次项系数 k=1，BAD=45PM 平行于 y轴，AEP=90PMH=AME=45MPH 的周长=PM+MH+PH=PM+ MP+ PM=（1+ ）PM设 P（a，a 23a4） ，M（a1） ，则 PM=a1（a 23a4）=a 2+2a+3，PM=a 2+2a+3=（a1） 2+4，当 a=1时，PM 有最大值，最大值为 4MPH 的周长的最大值=4（1+ ）=4+4 （3）如图 1所示；当EGN
20、=90设点 G的坐标为（a，0） ，则 N（a，a 23a4） EGN=AOC=90， 时，AOCEGN = ，整理得：a 2+a8=0解得：a= （负值已舍去） 点 G的坐标为（ ，0） 如图 2所示：当EGN=90二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 17 页设点 G的坐标为（a，0） ，则 N（a，a 23a4） EGN=AOC=90， 时，AOCNGE =4，整理得：4a 211a17=0解得：a= （负值已舍去） 点 G的坐标为（ ，0） EN 在 EP的右面，NEG90如图 3所示：当ENG=90时，EG=EG =（ 1） = 点 G的横坐标= 4.034，点 G不在 EG上故
21、此种情况不成立综上所述，点 G的坐标为（ ，0）或（ ，0） 二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 18 页4如图（1） ，抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴交于 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点（x 10x 2） ，与 y轴交于点C（0，3） ，若抛物线的对称轴为直线 x=1，且 tanOAC=3（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点 D是抛物线 BC段上的动点，且点 D到直线 BC距离为 ，求点 D的坐标（3）如图（2） ，若直线 y=mx+n经过点 A，交 y轴于点 E（0， ） ，点 P是直线 AE下方抛物线上一点，过点 P作 x轴的垂线交直线 AE于点 M，点 N在线段
22、 AM延长线上，且 PM=PN，是否存在点 P，使PMN 的周长有最大值？若存在，求出点 P的坐标及PMN 的周长的最大值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在 RtAOC 中，tanAOC= =3，且 OC=3，OA=1，则 A（1，0） ，抛物线的对称轴为直线 x=1，则点 A（1，0）关于直线 x=1的对称点 B的坐标为（3，0） ，设抛物线的表达式为 y=a（x3） （x+1） ，将点 C（0，3）代入上式得3a=3，解得：a=1，抛物线的解析式为 y=（x3） （x+1）=x 22x3；（2）点 B（3，0） 、C（0，3） ，则 BC=3 ，S BCD = 3 =3，设 D（x
23、，x 22x3） ，连接 OD，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 19 页S BCD =SOCD +SBOD S BOC= 3x+ 3（x 2+2x+3） 33= =3，解得 x=1或 x=2，则点 D的坐标为（1，4）或（2，3） ；（3）设直线 AE解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0） 、E（0， ）代入得： ，解得： ，则直线 AE 解析式为 y= x ，AE= = ，设 P（t，t 22t3） ，则 M（t， t ） ，PM= t （t 22t3）=t 2+ t+ ，作 PGMN 于 G，由 PM=PN得 MG=NG= MN，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 20
24、 页由PMGAEO 得 = ，即 = ，MG= PM=NG，C PMN =PM+PN+MN= PM= （t 2+ t+ ）= t2+ +6= （t ） 2+ ，当 t= 时，C PMN 取得最大值 ，此时 P（ ， ） 5已知：如图，直线 y=x+2 与 x轴交于 B点，与 y轴交于 C点，A 点坐标为（1，0） （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式（2）在直线 BC上方的抛物线上有一点 D，过 D作 DEBC 于 E，作 DFy 轴交 BC于 F，求DEF 周长的最大值（3）在满足第问的条件下，在线段 BD上是否存在一点 P，使DFP=DBC若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理
25、由【解答】解：（1）直线 y=x+2 与 x轴交于 B（2，0） ，与 y轴交于 C点（0，2） ，设过 A、B、C 的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A（1，0） 、B（2，0） 、C（0，2）的坐标代入，a=1，b=1，c=2，抛物线的解析式为：y=x 2+x+2，（2）设 D（x，x 2+x+2） ，F（x，x+2） ，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 21 页DF=（x 2+x+2）（x+2）=x 2+2x，所以 x=1时，DF 最大 =1，OB=OC，OBC 为等腰直角三角形，DEBC，DFy 轴，DEF 为等腰直角三角形，DEF 周长的最大值为 1+（3）如图，
26、当DEF 周长最大时，D（1，2） ，F（1，1） 延长 DF交 x轴于 H，作 PMDF 于 M，则 DB= ，DH=2，OH=1当DFP=DBC 时，DFPDBF， ，DP= ， = ，PM= ，DM= ，P 点的横坐标为 OH+PM=1+ = ，P点的纵坐标为 DHDM=2 = ，P（ ， ） 6如图，抛物线 y=x 2+（m1）x+m（m1）与 x轴交于 A、B 两点（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称，点你 F在直线 AD上方的抛物线上，FGAD 于 G，FHx 轴交二次函数专题训练（三角形周长最
27、值问题）第 22 页直线 AD于 H，求FGH 的周长的最大值；（3）点 M是抛物线的顶点，直线 l垂直于直线 AM，与坐标轴交于 P、Q 两点，点 R在抛物线的对称轴上，使得PQR 是以 PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线 l的解析式【解答】解：（1）把 C（0，3）代入 y=x 2+（m1）x+m 得 m=3，抛物线的解析式为：y=x 2+2x+3，（2）令 y=x 2+2x+3=0，解得：x 1=1，x 2=3，A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ，点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称，D（1，2） ，AD 的解析式 y=x+1，设 AD与 y轴交于 E，OA=OE=1，EAO
28、=45，FHAB，FHA=EAO=45，FGAH，FGH 是等腰直角三角形，设点 F坐标（m，m 2+2m+3） ，点 H坐标（m 2+2m+2，m 2+2m+3） ，FH=m 2+m+2，FGH 的周长=（m 2+m+2）+2 （m 2+m+2）=（1+ ） （m ） 2+FGH 的周长最大值为 ；（3）抛物线 y=x 2+2x+3的定点坐标为（1，4） ，直线 AM的解析式为 y=2x+2，直线 l垂直于直线 AM，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 23 页设直线 l的解析式为 y= x+b，与坐标轴交于 P、Q 两点，直线 l的解析式为 y= x+b与 y轴的交点 P（0，b）
29、，与 x轴的交点 Q（2b，0） ，设 R（1，a） ，PR 2=（1） 2+（ab） 2，QR 2=（2b1） 2+a2，PQ 2=b2+（2b） 2=5b2，PQR 是以 PQ为斜边的等腰直角三角形，PR 2=QR2，即（1） 2+（ab） 2=QR2=（2b1） 2+a2，2a=3b4，PR 2+QR2=PQ2，即（1） 2+（ab） 2+（2b1） 2+a2=5b2，2a 22ab4b+2=0，联立解得： ， ，直线 l的解析式为 y= x+ 或 y= x+27如图，已知抛物线 y=x 2+2x+3与坐标轴交于 A，B，C 三点，抛物线上的点 D与点 C关于它的对称轴对称（1）直接写出
30、点 D的坐标和直线 AD的解析式；（2）点 E是抛物线上位于直线 AD上方的动点，过点 E分别作 EFx 轴，EGy 轴并交直线 AD于点F、G，求EFG 周长的最大值；二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 24 页（3）若点 P为 y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点 Q，使得以 A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将 x=0代入得 y=3，C（0，3） 抛物线的对称轴为 x= =1，C（0，3） ，D（2，3） 把 y=0代入抛物线的解析式得：0=x 2+2x+3，解得 x=3或 x=1，A（1，0） 设直线 A
31、D的解析式为 y=kx+b，将点 A和点 D的坐标代入得： ，解得：k=1，b=1，直线 AD的解析式为 y=x+1（2）如图 1所示：直线 AD的解析式为 y=x+1，DAB=45EFx 轴，EGy 轴，GEF=90，GFE=DAB=45EFG 是等腰直角三角形EFG 的周长=EF+FG+EG=（2+ ）EG依题意，设 E（t，t 2+2t+3） ，则 G（t，t+1） EG=t 2+2t+3（t+1）=（t ） 2+ EG 的最大值为 EFG 的周长的最大值为 + （3）存在二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 25 页以 AD为平行四边形的边时，PQAD，PQ=ADA，D 两点间的水
32、平距离为 3，P，Q 两点间的水平距离也为 3点 Q的横坐标为 3或3将 x=3和 x=3 分别代入 y=x 2+2x+3得 y=0或 y=12Q（3，0）或（3，12） 当 AD为平行四边形的对角线时，设 AD的中点为 M，A（1，0） ，D（2，3） ，M 为 AD的中点，M（ ， ） 设点 Q的横坐标为 x，则 = ，解得 x=1，点 Q的横坐标为 1将 x=1代入 y=x 2+2x+3得 y=4这时点 Q的坐标为（1，4） 综上所述，当点 Q的坐标为 Q（3，0）或（3，12）或（1，4）时，以 A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形8如图，抛物线 y= x2 x+3与 x轴相交于
33、 A、B 两点（点 A在点 B的左侧） ，交 y轴与点 D，已知点 C（0， ） ，连接 AC（1）求直线 AC的解析式；（2）点 P是直线 AC上方的抛物线上一动点，过点 P作 PEy 轴，交直线 AC于点 E，过点 P作 PGAC，垂足为 G，当PEG 周长最大时，在 x轴上存在一点 Q，使|QPQC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QPQG|取得最大值时，直线 PG交 y轴于点 M，把抛物线沿直线 AD平移，平移后的抛物线 y与直线 AD相交的一个交点为 A，在平移的过程中，是否存在点 A，使得点 A，P，M 三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点
34、 A的坐标；若不存在，请说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 26 页【解答】解：（1）令 y=0则， x2 x+3=0，解得 x=3 或 x=2，A（3，0） ，B（2，0） 设直线 AC的解析式为 y=kx+b，将点 A和点 C的坐标代入得： ，解得：k= ，b= ，直线 AC的解析式为 y= x+ （2）延长 PE交 OA与点 F，则 PFOAPFOA，PGAC，EFA=PGE又PEG=FEA，EAF=EPGOC= ，AO=3，tanGPE=tanEAF= sinGPE= ，cosGPE= PG= PE，EG= EPPEG 的周长=PE+PG+EG=（1+ ）PE二次函数专题
35、训练（三角形周长最值问题）第 27 页当 PE取得最大值时，PEC 的周长最大设点 P的坐标为（t， t2 t+3） ，则点 E的坐标为（t， t+ ） 点 P在点 E的上方，PE= t2 t+3（ t+ ）= t2t+ = （t+1） 2+2当 t=1 时，PE 取得最大值，此时PGE 的周长取得最大值点 P（1，3） ，点 E的坐标为（1，1） PE=31=2PG= PE= 根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点 P、G、Q 三点共线时，|QPQG|的值最大，此时|QPQG|=PG=（3）如图所示：PGE=PFN，P=P，PEGPNF， = ，即 =2，解得 FN=1.5点 N的坐标为（
36、 ，0） 设 PN的解析式为 y=kx+b，将点 P和点 N的坐标代入得： ，解得：k=2，b=1M（0，1） 设直线 AD的解析式为 y=mx+3，将点 A的坐标代入得：3m+3=0，解得 m=1，直线 AD的解析式为 y=x+3设点 A的坐标为（x，x+3） 当 PM=PA时， = ，整理得：x 2+x2=0，解得 x=1或 x=2，点 A的坐标为（1，4）或（2，1） 二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 28 页当 PM=MA时， = ，整理得：2x 2+4x1=0，解得：x= 或x= ，点 A的坐标为（ ， ）或（ ， ） 当 AP=AM 时， = ，整理得：2x=3，解得：x=
37、 ，A（ ， ） 综上所述，点 A的坐标为（1，4）或（2，1）或（ ， ）或（ ， ）或（， ） 9如图，抛物线 y= x2+ x+3交 x轴于 A、B 两点，点 A在点 B的左侧，交 y轴于点 C（1）求直线 AC与直线 BC的解析式；（2）如图 1，P 为直线 BC上方抛物线上的一点；过点 P作 PDBC 于点 D，作 PMy 轴交直线 BC于点 M，当PDM 的周长最大时，求 P点坐标及周长最大值；在的条件下，连接 AP与 y轴交于点 E，抛物线的对称轴与 x轴交于点 K，若 S为直线 BC上一动点，T为直线 AC上一动点，连接 EK，KS，ST，TE，求四边形 EKST周长的最小值；
38、（3）如图 2，将AOC 顺时针旋转 60得到AOC，将AOC沿直线 OC平移，记平移中的AOC为AOC，直线 AO与 x轴交于点 F，将OCF 沿 OC翻折得到OCF，当CCF为等腰三角形时，求此时 F点的坐标【解答】解：（1）对于抛物线 y= x2+ x+3，令 x=0，得到 y=3，可得 C（0，3） ，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 29 页令 y=0，可得 y= x2+ x+3=0，解得 x=1 或 3，A（1，0） ，B（4，0） ，直线 AC的解析式为 y=3x+3，直线 BC的解析式为 y= x+3；（2）如图在 1中，设 P（m， m2+ m+3） ，则 M（m，
39、m+3） 点 P运动时，PDM 的形状是相似的，PM 的值最大时，PDM 的周长的值最大，PM= m2+ m+3（ m+3）= m2+3m= （m 24m+44）= （m2） 2+3， 0，m=2 时，PM 的值最大，此时 P（2， ） ，PM 的最大值为 ，OC=3，OB=4，BC= =5，由PDMBOC，可得 = = ， = = ，PD= ，DM= ，PDM 的周长的最大值为 + + = 如图 2中，作 K关于 BC的对称点 K，E 关于 AC的对称点 E，连接 EK交 AC于 T，交 BC于 S，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 30 页此时四边形 EKST的周长最小四边形 EKST的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+KS+ST+TE=EK+EK，P（2， ） ，直线 AP的解析式为 y= x+ ，E（0， ） ，K（ ，0） ，OE=OK= ，EK= ，K 与 K关于直线 BC对称，K（ ， ） ，E，E关于直线 AC对称，E（ ， ） ，EK= =3 ，四边形 EKST周长的最小值为 3 + = （3）如图 3中，设 OF=2m，则 FO=OF=m，OO= m，OC= m+3
