1、第2章 随机过程的基本概念 2.1 随机过程的基本概念和定义 2.2 随机过程的统计描述 2.3 平稳随机过程 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 2.5 随机过程的功率谱 2.6 典型随机过程 2.7 基于Matlab的统计分析 2.8 信号处理实例,本章学习要点： （1）要注意对基本概念的理解 （2）要注意运用随机变量的理论 （3）掌握统计特性的计算方法 （4）掌握平稳随机过程相关函数与功率谱的特性 （5）注意运用MATLAB建立随机过程直观的印象本章是本课程的基础和核心,第二章研讨题：,1、二元传输信号(Binary Transmission Signal),用无数次掷硬币的随机试验
2、来定义一个随机过程：每个时间周期T的取值是1或-1，依赖于投掷硬币是正面还是反面。每次投掷是独立的。,定义一个新的随机过程， 其中t0在（0,T）上均匀分布。,（1）用MATLAB画出随机过程Y(t)的样本函数（3条）； （2）求Y(t)的均值与方差； （3）求Y(t)的一维概率密度； （4）求Y(t)的自相关函数； （5）求Y(t)的功率谱,2. PSDs of Digital modulation Formats,Suppose we have a sequence of data symbols (Bk) that we wish to convey across some commun
3、ication medium. We can use the data symbols to determine the amplitude of a sequence of pulses (This is called pulse amplitude modulation (PAM). If the pulse amplitudes are represented by the sequence of random variables . . . ,A2,A1,A0,A1,A2, . . . and the basic pulse shape is given by the waveform
4、 p(t),Where T is symbol interval (that is, one pulse is launched every T seconds) and is a random delay, which we take to be uniformly distributed over 0, T) and independent of the pulse amplitudes.,(1) Determine the mean, ACF and PSD of S(t); (2) Suppose the pulse amplitudes are an IID sequence of
5、random variables that are equally likely to be +1 or 1. Determine and Plot the a realization of S(t) and PSD of S(t),(3) Suppose In the previous example, we formed the pulse amplitudes according to Ak = Bk. Suppose instead that we formed these amplitudes according to Ak = Bk + Bk1 Determine and Plot
6、 the a realization of S(t) and PSD of S(t),(4) Discuss the PSDs of two cases,Reference book: Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing and Communication 397-403,4. A binary phase shift keying signal is defined according to,for all n, and Bn is a discrete time, Bernoulli
7、 random process that has values of +1 or 1. (a) Determine the autocorrelation function for the X(t). Is the process WSS? (b) Determine the power spectral density of X(t).,1. 随机过程的基本概念,例2.1 分析随机相位信号,随机相位信号许多样本函数的集合,样本函数,接收机噪声,t1,随时间变化的随机变量-随机变量的集合,例2.2 分析接收机的噪声,随机过程的直观解释: 对随机相位信号或噪声信号作一次观测相当于做一次随机试验，
8、每次试验所得到的观测记录结果xi(t)是一个确定的函数，称为样本函数，所有这些样本函数的全体构成了随机过程.,2.随机过程(Stochastic Process)定义,Recall the definition of random variable.,Definition of random process,Random process is a function that assigns a sample function to the outcome of the experiment.,Random process is a function that assigns a sample
9、function to the outcome of the experiment.,时间t和随机试验结果的二维函数,Random process is a map from S (Sample Space) to Sx (function Space).,随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：,3. 随机过程分类按状态及时间参数分类,按概率分布分类 高斯随机过程 瑞利随机过程 对数正态随机过程 .,按统计特性分类 平稳随机过程 非平稳随机过程,按样本函数形式分类确定形式随机过程不确定形式随机过程,伪随机序列: 按照确定的数学公式产生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现
10、出随机序列的特征，可以用来模拟自然界实际的随机过程 。,伪随机序列,4. 随机过程举例,例2.3 二元传输信号(Binary Transmission Signal) 用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机过程：,离散型随机过程 （时间连续，状态离散）,A binary transmission can be define as a mapping from the original experimental sample space,To the numerical sample space,Bernoulli random process (Sequence),To the numeri
11、cal sample space,Mapping,Discrete Time / Discrete Valued （DTDV),stem(floor(rand(31,1)+0.5),Bernoulli Sequence,例2.4 随机游动( Random Walk) - DTDV,分子在液体或气体中的运动轨迹； 搜寻食物的动物的搜寻路径； 股票价格的变化 赌徒的财务状况 .,广泛应用于计算机、物理学、生态学、经济,也可理解为投掷硬币，依正面或反面决定向左或向右,H,T,T,T,T,H,H,H,H,H,H,H,T,H,T,H,H,T,T,H,T,H,H,T,T,H,T,T,T,H,T,HHHHH
12、,HHHHT,HHHTH,HHHTT,HHTHH,HHTHT,HHTTH,HHTTT,HTHHH,HTHHT,HTHTH,HTHTT,HTTHH,HTTHT,HTTTH,HTTTT,5 3 3 1 3 1 1 -1 3 -1 1 -1 1 -1 -1 -3,5,n,x1(n),3,n,x2(n),3,n,x3(n),有关随机游动，参考Wikipedia 应用文献参考： 15th International World Wide Web Conference Random Sampling from a Search Engines Index,2.2 随机过程的统计描述 Characteriz
13、ation a Random Process概率分布与概率密度一维分布、二维分布、N维分布 数字特征均值、方差、相关函数 特征函数,2.2.1 随机过程的概率分布,对于随机序列：,The first-order distribution,The first-order density,例2.6 Random Amplitude Signal其中 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，求 时的概率密度。,解,t=0,由X(0)=Y可知,一般而言, 如果 ,则,如果 ,则,2. 二维概率分布(The second-order distribution),注意：X(t1)及X(t2)为同一随
14、机过程在两个不同时刻的状态对应的随机变量。,例2 设有随机相位信号,取两个值的概率各等于1/2,求,时的一维和二维概率分布,解: 本题的随机过程只有两个样本函数, 且两个样本函数都具有确定的形式, 是一种可预测的随机过程。它的两个样本函数为,这个过程在任意的时刻都只有两个可能的取值,所以它是一个离散型随机过程.,对于离散型随机过程,只要确定了它的概率分布列就可以确定它的概率密度(一串冲激函数).,一维分布列,一维分布列,时间不同,概率密度不同,概率密度是时间的函数,二维分布列,二维分布列,二维分布列,二维概率分布,3. N维分布 (The nth-order distribution),2.2
15、.2 随机过程的数字特征均值 方差 自相关函数 自协方差函数 离散随机过程的数字特征 数字特征计算举例,随机过程的均值是时间t的函数，也称为均值函数，统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。随机过程的均值可以直观地理解为在t时刻所有样本函数取值的一取值中心，它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律。,1. 均值函数（Mean function),定义:,2. 方差函数(Variance Function),定义:,方差函数通常也用 表示,方差反映了一个随机过程的取值相对于均值起伏的大小,一个起伏较大的过程方差也大.,对于随机序列,均值与方差的物
16、理意义：,X(t)-单位电阻上的电压,X2(t)/1-消耗在单位电阻上的瞬时功率,X(t)-mx(t)2/1-消耗在单位电阻上的瞬时交流功率,EX(t)-mx(t)2/1-消耗在单位电阻上的瞬交流功率的统计平均值,3. 自相关函数(Autocorrelation function),定义:,自相关函数反映了随机过程在两个不同的时刻取值的依赖性,自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时，其相关性应是最强的，所以RX(t,t)最大。,4. 自协方差函数(Autocovariance Function),定义:,
17、Correlation and covariance are techniques for measuring the similarity of one signal to another,Basically the autocorrelation function defines how much a signal is similar to a time-shift version of itself. Noise is known to correlate only with an exact replica of itself; That is, when both function
18、s much match perfectly.,X(t1), X(t2)不相关,X(t1),X(t2)正交,X(t1),X(t2)相互独立,常用的一些概念:,5. 离散随机过程数字特征,6. 计算举例,例2.8 Random sinusoid,=0 A is a RV distributed at the interval -1,1Random amplitude signal,(2) A is a constant, is a RV distributed at the interval 0, 2Random phase signal,PDF of random amplitude,Dependent on t,(2) PDF of random phase signal,is distributed in the interval -1,1,For a given x, have two solutions in the interval of interest,Does not dependent t,例2.9 离散随机过程自相关函数计算举例,Example: Deterministic Signal,Example: iid random process iidindependent identically distributed,习题： 2.1 2.2 2.3*,
