1、高中数学秒杀型推论1高中数学秒杀型推论一 函数1. 抽象函数的周期（1）f（ax)=f(bx) T=|b-a|（2）f（ax)=-f(bx) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数 f（x） ，若存在常数 a，使得 f（a-x）=f（a+x） ，则称 f（x）为广义（）型偶函数，且当有两个相异实数 a，b 同时满足时，f（x）为周期函数 T=2|b-a|（2）若 f（a-x）=-f（a+x） ，则 f（x）是广义（）型奇函数，当有两个相异实
2、数 a，b 同时满足时，f（x）为周期函数 T=2|b-a|3.抽象函数的对称性（1）若 f（x)满足 f（a+x）+f（b-x）=c 则函数关于（ ， ）成中心对称（充要）a+b2 c2（2）若 f（x）满足 f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线 x= 成轴对称（充要）a+b2高中数学秒杀型推论24.洛必达法则，设连续可导函数 f(x)和 g(x)lim（ ） 0()0()()=()() lim（ ） ()()()=()()二、三角1.三角形恒等式（1）在中， 22+22+22=1AB+=1（2） 正切定理&余切定理：在非 Rt中，有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtan
3、C2+2+2=222（3） +=4222+=1+4222（4） 2+2+2=2+22+2+2=12（5） =sinAcosBcosC+sinBcosAcosC+sinCcosAcos=sinAsinBsinC高中数学秒杀型推论3=ABC+BAC+CA=ABC12任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在ABC 中abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA3. 任意三角形内切圆半径 r= （S 为面积） ，2S+外接圆半径=abc4S= 2= 2= 2欧拉不等式：R2r4梅涅劳斯定理如下图，E.D.F 三点共线的充要条件是=15塞瓦定理高中数学秒杀型推论4如下图，A
4、D、BE、CF 三线共点的充要条件是=16. 斯特瓦尔特定理：如下图，设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则有AB DC+AC BD-AD BCBC DC BD 7、和差化积公式（只记忆第一条）sin +sin =2sin cos +2 -2sin -sin =2cos sin +2 -2高中数学秒杀型推论5cos +cos =2cos cos +2 -2cos -cos =-2sin sin +2 -28、 积 化 和 差 公 式sin sin =-(+)() 2cos cos =(+)+() 2sin cos = (+)+() 2cos sin =(+)() 29、 万 能
5、 公 式10 三角混合不等式：若 x（0， ),sinxxtanx 2当 x0 时 sinx x tanx高中数学秒杀型推论611.海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为 a.b.c，大三角形面积为=（ +)=14（ +)(+)(+)(+)12.双曲函数定义双曲正弦函数 sinhx= ，双曲余弦函数 coshx=2+2易知（1）奇偶性：sinhx 为奇函数，coshx 为偶函数（2）导函数：（sinhx） =coshx，（coshx） =sinhx（3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhycosh（x+y）=coshxcoshy+
6、sinhxsinhy（4）复数域：sinh（ix）=isin（x）cosh（ix）=icos（x）（5）定义域：xR（6）值域：sinhxR，coshx1，+）13.三角形三边 a.b.c 成等差数列，则22=13高中数学秒杀型推论714.三角形不等式（1）在锐角中，+（2）在中，2+2+22+2+2（3）在中，sinAsinB cos2Acos2B15ASA 的面积公式：= 22（ +） = 22（ +） = 22（ +）三、复数1欧拉公式（泰勒级数推出）cos+isin=e i2棣莫弗定理（欧拉公式推出）（cos+isin） n=cos(n)+isin(n)3.复数模不等式（三角不等式）|
7、z1+z2+z n|z 1|+|z2|+|z n|当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立4 |z12|2+|1+2|2=2（ |1|2+|2|2）5. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)高中数学秒杀型推论8四、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）1.An+1=kAn+f(n)两边同除以 kn+1，构造数列 ，通过累加法得出通项公式2. An+1=kAn+C设一常数 x，A n+1+x=k（A n+x）An+1 =kAn+（k-1）x则（k-1）x=C，求出 x= ，得到等比数列 ,1 +1+公比为 k3不动点法：形如 An+1= （d0，当
8、d=0 时，则是第二种情况） ，b+c+设函数 f(x)= ，x= 的根称为 f(x)的不动点，+ +（1）若函数 f（x）有 2 个不动点 ， 则数列 是-一个等比数列，A n= = ，A n=-11（)11高中数学秒杀型推论9（2）若函数 f（x）只有一个不动点 则数列 数1一个等差数列，A n=11+（ 1)（3）若函数 f（x）没有不动点，则数列A n是周期数列，周期自己找4特征方程法：形如 An+2=pAn+1+qAn称为二阶递推数列，我们可以用它的特征方程 x-px-q=0 的根来求它的通项公式（1）若方程有两根 x1，x2，则 An= x1n-1+ x2n-1 ( , 可根据题目
9、确定 ) （2）若只有一个根 x0An=( + n)x0n-1 ( , 可根据题目确定 ) 5变系数一阶递推数列四、不等式1.权方和不等式（赫德尔不等式推出）+1+1+ （ + ） +1（ + ） 高中数学秒杀型推论10当且仅当= 时 ，等号成立2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数 f(x)当 f(x)为减时，+11 ()1()当 f(x)为增时，+11 ()1()3琴生不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当 f(x)为凹函数，即 f（x）0 时(1)+(2)+ +(） (1+2+ + ）当 f(x)为凸函数，即 f（x）0时 ， +1 1时 ， 1 1+10 时，
10、+当 mn0 时， +五、排列组合1隔板法 I把 n 个元素放到 m 个集合中，所得集合均非空，则有种11x1+x2+x m=n 的正整数解个数为 11高中数学秒杀型推论162.隔板法 II把 n 个元素放到 m 个集合中，所得集合可为空，则有种1+1x1+x2+x m=n 的非负整数解个数为 1+1（a 1x1+a2x2+a mxm） n展开式的项数为 1+13.圆排列从 n 个元素中抽取 m 个元素，按照一定的顺序排列成一圈，叫做一个圆排列，圆排列的个数 =（ 1） ！4.重复组合从 n 个元素中抽取 m 个元素，元素可以重复选取，不管顺序，组成一组，叫重复组合，重复组合个数 = +15组
11、合恒等式（只例举了最简洁的四个）=11=11组 合数的聚合性： +1+1=+1=6.从互不相同的 n 个非零数字中任取 m 个，所得 m 位数之和为 S，S= ，其中 为 n 个非零数字的算术19（ 101） 平均数7 （ax+by） n展开式中，第 k 项系数绝对值最大，则高中数学秒杀型推论17= |+|(+1)+1其中 表示高斯函数，即取整函数六、解析几何1圆锥曲线统一极坐标方程= 12圆锥曲线统一焦点弦长公式= 21223A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，=|12|1 1 12 2 13 3 1|当且仅当 时，三点共线=04. A（x 1，y 1）
12、，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4）四点共圆的充要条件5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0 三线共点的充要条件 =0|1 1 12 2 23 3 3|6过（x 0，y 0）引圆锥曲线 F（x,y）的弦，弦中点的轨迹方程为 y-y0=F（x,y） （x-x 0） ，高中数学秒杀型推论18当（x 0，y 0）为弦中点时，弦中点轨迹方程为 y-y0=F（x 0,y0） （x-x 0）7.定比分点公式：A（x A，y A） ，B（x B，y B） ，AB 的 +1 等分点坐标为（）+1+， +1+8.若抛物线 y2=2
13、px，AB 是抛物线上的动弦，k OAkOB=，则AB 恒过定点（ ）2， 09.抛物线焦点弦性质：抛物线焦点弦两端点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，焦点弦斜率为 k，焦点弦长度为 L（1）y 1y2=-p2x1x2=24x1+x2=p+ =22（ 1+22）y1+y2=2（2）L=x 1+x2+p= = =222（ 1+12） （ 12） 22（3）k=21+2高中数学秒杀型推论19（4）11+2+12+2=2（5）=4|12|10圆锥曲线焦点弦性质（通性）：焦点弦长为 L，（1）已知 x1+x2时，椭圆：L=2a-e（x 1+x2）双曲线：L=e -2a|1+2|抛物线：
14、L= +p|1+2|（2）已知焦点弦倾斜角 时，L=2122（3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 1|1|+ 1|1|=2双曲线（焦点弦端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差为常数| 1|1| 1|1|=2（4）圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数高中数学秒杀型推论201|+ 1|=|22|2（5）圆锥曲线焦点弦 AB 的中垂线于对称轴（标准方程中为 x 轴）于 D，|与 |之比 为 2|=2（6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径有心 圆锥 曲 线 ：通径 长 =22无心 圆锥 曲 线 ：通径 长 =211.圆锥曲线的焦半径（通性）（1）极点为焦点，极轴为
15、x 轴的圆锥曲线极坐标方程式中的 为极径，即焦半径， 为极角 = 1（2）已知焦半径端点的横坐标 x 时椭圆 ： =双曲 线 ： =|抛物 线 ： =|+212双焦点三角形面积：F1.F2为有心圆锥曲线两焦点P 为椭圆上一个点，12=22高中数学秒杀型推论21P 为双曲线上一个点，12=2213.圆锥曲线幂定理：圆锥曲线 F（x,y）Ax 2+By2+Dx+Ey+F=0 与一条过M（x 0，y 0） ，且倾斜角为 的直线 L 交于 P1.P2两点，则 = =1 2（ 0， 0）2+220+20+0+0+2+214.点 P（x 0，y 0）对圆锥曲线 C 引两条切线，连结切点所得线为切点弦（极线
16、） ，或点 P（x 0，y 0）为切点，则极线方程或切线方程为（1）若 C 为椭圆，02+02=1（2）若 C 为双曲线，0202=1（3）若 C 为抛物线， 0=（ +0）15.已知有心圆锥曲线 F（x,y） ，直线 l：f(x,y)，p 是 l 上一点，射线 OP 交圆锥曲线于点 R，又点 Q 在 OB 上，且满足，当 P 在 l 上移动时，Q 的轨迹方程即为|=|2F（x,y）=f(x,y)16曲线族 F（x,y,t）的包络为F（x,y,t）= =0（ ,)17. A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，以 AB 为直径的圆的方程为高中数学秒杀型推论22（x-x 1） （x-x
17、2）+（y-y 1） （y-y 2）=018.关于双曲线渐近线：（1）共轭双曲线：实轴与虚轴对换，有相同渐近线，四焦点共圆，离心率的倒数平方和为 1：121+122=1（2）焦点到渐近线距离为虚半轴长 b（3）若两渐近线夹角为 ，则双曲线离心率 e=12=2（4）双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数222+2（5）过双曲线上任意一点 M 作平行于实轴的直线交两渐近线于 P.Q，则 |=219过有心圆锥曲线上一定点 P（x 0，y 0）作倾斜角互补的两直线与有心圆锥曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值=0202过无心圆锥曲线上上一定点 P（x 0，y 0）作倾斜角互补的两直线与无心圆锥
18、曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为高中数学秒杀型推论23定值=0以上情况中，APB 的角平分线 x=x0平行于 y 轴，APB 的内切圆圆心恒过直线 x=x0.20.圆锥曲线光学性质：椭圆：由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点双曲线：由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线必过另一焦点抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴21.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为 b222.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率 弦中点与中心连线 的斜率=22双曲线上动点对直径端点连线
19、的斜率积=双曲线切线的斜率 切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率 弦中点与中心 连线的斜率=2223.抛物线 y2=2px 内接 RtOAB（以 O 为直角顶点） ，高中数学秒杀型推论24A（x 1，y 1）B（x 2，y 2）（1）x 1x2=4p2，y 1y2=-4p2（2）AB 恒过顶点（2p,0）（3）AB 中点轨迹方程 y2=p（x-2p）（4）AB 边上高的垂足轨迹方程（x-p） 2+y2=p2（5） （S OAB ） min=（ ） min=4p212|24.对于极坐标方程 ，从 1到 2，曲线所围成的=()面积 S=12212（ ） 对于极坐标方程 ，从 1到 2，曲线所积出的长
20、=()度 L=21（ ） 25圆锥曲线上一弦 AB，其中点 M（x 0，y 0） ，AB 的斜率为（1）对于椭圆，=2020（2）对于双曲线，=2020（3）对于抛物线，=026.圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点 P（x 0，y 0） ，另有一直线 L 于圆锥曲线交于与 P 相异两点 A.B.高中数学秒杀型推论25第一组：当 kPAkPB=（ ）时221） 对于椭圆，L恒过定点（ 2+2220， 2+2220）2） 对于双曲线，L 恒过定点（ 222+20， 222+20）3） 对于抛物线，L 恒过定点 （02， 0）第二组：当 kPA+kPB=（0）时1） 对于椭圆，L恒过定点（ 020，
21、 22020）2） 对于双曲线，L 恒过定点 （020， 22020）3） 对于抛物线，L 恒过定点 （020， 20）七、立体几何高中数学秒杀型推论261万能求积公式：=16（ 上 +4中 +底 ）2.设平面内三点 A.B.C， （x 1，y 1，z 1） ，（x 2，y 2，z 2） ，则该平面的法向量为=| 1 1 12 2 2|=（ 1212， 1212， 1212）3.空间余弦定理：相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段，长度分别为m.n，垂足距离为 d，另一端点之间距离为 L，则平面所成二面角 ，满足=2（ 2+2+2）24.二面角射影定理：如果平面 内的一个多边形面积为 S，它在
22、平面 内的射影面积为 S 射 ， 与 所成二面角为 ，则=射5.三射线定理：从 O 点引出三条不共面射线OA.OB.OC，AOC= 1，BOC= 2，AOB=，二面角 AOCB=，则高中数学秒杀型推论27=12126.四面体 ABCD 相对棱 AC 与 BD（异面线段）所成角为 ，则=|（ 2+2） （ 2+2） |2|7.四面体体积公式，若四面体两条相对棱长为 a.b，它们的距离为 d，所成角为，则四面体体积为=68.台体两底面面积为 S.S，则中截面 S0满足20=+9.内切球半径公式：V 为 n 面体体积，S 为 n 面体表面积，则=310.旋转体体积公式：S 为凸多边形面积，d 为凸多边形重心到轴的距离，凸多边形绕轴一周所形成的几何体体积为 V，则=211.四面体体积公式之行列式形式：AB.AC.AD 为四面体 ABCD 的三条共点棱，高中数学秒杀型推论28, =（ 1， 1， 1） =（ 2， 2， 2） =（ 3， 3， 3）V 四面体 ABCD=|16|1 1 12 2 23 3 3|
