1、弹 性 力 学Theory of Elasticity,主讲:王等明兰州大学土木工程与力学学院,2010.9-2011.1,多媒体教学软件,教材及参考书目,教 材:,弹性力学(上册)，徐芝纶，1985, 高等教育出版社,参考书目:,高等弹性力学，王敏中等，2002，北京大学出版社,弹性与塑性力学，陈惠发等，2004，中国建筑工业出版社,工程弹性力学与有限元法，陆明万等，2005 ，清华大学出版社,弹性力学，徐秉业等 ，2007，清华大学出版社,工程应用弹性力学，凌伟等，2008，西安交通大学出版社,课 时 安 排,绪 论 3学时,平面问题基本理论 12学时,平面问题的直角坐标解答 10学时,平
2、面问题的极坐标解答 10学时,温度应力的平面问题 10学时,空间问题的基本理论 10学时,等截面杆的扭转 6学时,能量原理与变分法 10学时,空间问题的解答 8学时,弹性波的传播 5学时,第一章 绪 论 1.1 弹性力学的内容和任务 1.2 弹性力学基本物理量 1.3 弹性力学的基本假设,又称作弹性理论，是固体力学学科的一个分支; 研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，在物体内部所产生 的位移、变形和应力分布等; 为解决工程结构的强度、刚度、稳定性等问题提供相应的理 论依据和分析方法。,第一章 绪论,1.基本内容,弹性力学是一门基础理论学科，它的研究方法被广泛的应用于其他学科和领域。弹性力学不仅
3、是诸如有限单元法、复合材料力学、断裂力学、塑性力学和结构动力分析等课程的基础，也是很多大型结构分析软件(例如Ansys等)的核心框架。弹性力学也是一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。,1.1 弹性力学的内容和任务,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,第一章 绪论,弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型，以便作进一步的数学和力学处理。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。这
4、种关系与时间间和变形历史无关。,2.基本特点,1.1 弹性力学的内容和任务,第一章 绪论,线性弹性体是指载荷作用在一定范围内，应力和应变关系可以近似为线性关系的材料，外力卸载后，线性弹性体的变形可以完全恢复。线性弹性材料的本构关系就是物理学的虎克定理。在应力小于弹性极限条件下，低碳钢等金属材料是典型的线弹性材料。,另外，一些有色金属和高分子材料等，材料在载荷作用下的应力应变关系不是线性的，但是卸载后物体的变形可以完全恢复，这种材料性质可以简化为非线性弹性本构关系,材料的应力和应变关系通常称为本构关系，它表达的是材料在外力作用下抵抗变形的物理性能，因此又称为物理关系或者物理方程。本构关系满足完全
5、弹性假设的材料模型包括线性弹性体和非线性弹性体。,1.1 弹性力学的内容和任务,第一章 绪论,弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，若将理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是它的基本方程偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。,1.1 弹性力学的内容和任务,3.基本任务,在弹性阶段的应力和位移,强度、刚度和稳定性,计算方法,结构或构件,分析和改进,第一章 绪论,弹性力
6、学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等问题建立必要的理论基础和分析方法。,1.1 弹性力学的内容和任务,第一章 绪论,4.与材料力学、结构力学的联系和区别,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,建筑工程,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,5.弹性力学在工程中的应用,建筑工程,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,航空航天工程,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,船舶机械工程,第一章
7、绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,第一章 绪论,1.1 弹性力学的内容和任务,第一章 绪论,外力包括体积力和面积力，简称体力和面力,基本物理量有外力，应力、应变和位移,1.2 弹性力学中基本物理量,第一章 绪论,1.2 弹性力学中的基本物理量,1.体力(Body force),分布在物体体积内的力，例如重力，惯性力和电磁力等。物体各点的体力一般是不相同的，如高速旋转物体所受 的惯性力.P点体力集度的定义:,P,体力在坐标轴x、y、z上的投 影称作该物体在P点的体力分 量，记作X、Y、Z，以沿坐标轴 正向为正，沿坐标轴负向为。,体力和体力分量的常用单位为 量纲为力长度-3,第一章 绪论,1.2
8、 弹性力学中的基本物理量,2.面力(Surface force),分布在物体表面上的力，例如流体压力，表面接触力等。分布在物体表面上的力一般是不均匀的。,物体表面上一点P的面力的定义：,面力和面力分量的常用单位为Pa或N/m2 量纲为力长度-2 1Pa=1N/m2; 1MPa=106Pa; 1GPa=109Pa,P,面力在坐标轴x、y、z上的投 影称作该物体在P点的面力分 量，记作 、 、 ，以沿坐标轴 正向为正，沿坐标轴负向为。,第一章 绪论,1.2 弹性力学中的基本物理量,3.应力(Stress),物体受外力作用或其温度发生改变时，其内部会产生内力。物体在截面m-n上的、在P点的应力定义为
9、：,应力沿着作用截面的法向和切向可以分解为法向应力和切 向应力，应力常用单位为Pa或N/m2，量纲为力长度-2.,第一章 绪论,1.2 弹性力学中的基本物理量,结论：物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。,问题：如何来描述一点的应力状态(各个截面上的应力大小和方向)？,过P点作一个微小的平行六面体，其棱边平行于坐标轴，各个面上的应力均可沿坐标轴进行分解。,应力分量的表示方法：,正应力：,切应力或剪应力：,注:1.没有考虑由于位置不同引起 的应力变化。 2.没有考虑体力的影响,第一章 绪论,1.2 弹性力学中的基本物理量,如果某个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，则这个截面上的应力分量以沿
10、着坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向时为负。反之，某个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，则这个截面上的应力分量以沿着坐标轴负方向时为正，沿坐标轴正方向时为负。,应力分量的正负号规定：,剪应力互等(力矩平衡),一点的应力状态,物体内任意一点,只有三个相互垂直面上的6个应力分量是相互独立的，若某点的这6个应力分量是已知的,则经过该点的任意一个斜面上的应力分量均可以用这6个应力分量表示。,故P点的应力状态可以表示为：,第一章 绪论,1.2 弹性力学中的基本物理量,4.变形(Deformation)和应变(Strain),变形：物体在外力作用下形状的改变,线应变或正应变：过该点的线段每单位长度的伸缩，
11、例如：,剪应变：过该点的两条线段之间 的直角的改变，例如：,注: 1：线应变(或正应变)以深长为 正，缩短为负； 2: 剪应变以直角变小为正，变 大为负； 3: 正应变和剪应变都是无因次 的标量。,第一章 绪论,1.2 弹性力学中的基本物理量,问题：物体内的同一点，沿着不同的方向，应变是不同的， 则如何来描述一点的应变状态？,可以证明，对于物体内任意一点，如果已知三个相互垂直方向的正应变和与之对应的剪应变，则可以求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间多的角度的改变。,故P点的应变状态可以表示为：,5.位移(Displacement),位移即为位置的移动，通常包括刚
12、性位移和由于自身变形 产生的位移； 物体内任意一点的位移，通常用它在三个坐标轴x,y,z上的 投影u，v，w来表示，并称之为该点的位移分量； 位移分量以沿坐标轴正向时为正，沿坐标轴负方向时为负。 位移及其分量的量纲是长度,第一章 绪论,1.2 弹性力学中的基本物理量,弹性力学的基本问题,弹性体内的任意一点的体力分量、 面力分量、应力分量、应变分量和位移分量，都是随之该点的位置而变化的，故这些量一般都是位置坐标的连续函数。,第一章 绪论,1.3 弹性力学中的基本假设,1.3 弹性力学中的基本假设,为了由弹性力学问题中的已知量求出未知量，必须建立这些已知量和未知量之间的关系，从而导出一套求解的方程
13、。在导出方程时，一般从三方面进行分析:(1)静力学方面；(2)几何学方面；(3)物理学方面。导出方程时，若精确考虑各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上是难以求解的。工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。,第一章 绪论,1.3 弹性力学中的基本假设,弹性力学中的基本假设：,第一章 绪论,1.2 弹性力学中的基本物理量,描述：假设所研究的整个弹性体内部
14、完全由组成物体的介 质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。结果：1.根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应 变和应力等均为空间坐标的连续函数。 2.变形后仍然保持连续性。,1. 连续性假设,第一章 绪论,1.3 弹性力学中的基本假设,描述：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因 此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标 位置的变化而改变。结果：物体的弹性性质处处都是相同的。说明：1.工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几 何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上 讲，也可以视为均匀材料。 2.对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均 匀材料。,2. 均匀性假设,第一章
15、绪论,1.3 弹性力学中的基本假设,描述：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质。结果：物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。 说明：1.诸如木材、竹子做成的构件以及纤维增强材料等， 属于各向异性材料。 2.各向异性材料属于复合材料力学研究的对象。,3. 各向同性假设,第一章 绪论,1.3 弹性力学中的基本假设,描述：假定物体是完全弹性的。完全弹性指的是物体能完 全恢复由于外力所引起的变形而没有任何残余变 形。结果：物体在任一瞬时的形变完全取决于它在这一瞬时所 受的外力，而与它过去的受力情况无关。说明：1.完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究 限于线性的应力与应变关系。 2.研
16、究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化 而改变。,4. 完全弹性假设,第一章 绪论,1.3 弹性力学中的基本假设,说明：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响 下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶 小量，且应变和转角都远小于1。结果：在处理弹性体的平衡方程等问题时，可以用变形以 前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不会引起显著 的误差。说明：可以忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使 基本方程成为线性的偏微分方程组。,5. 小变形假设,第一章 绪论,1.3 弹性力学中的基本假设,弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀 性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都 是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用 基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。,补充说明：,
