1、1.1 绪论,微积分简介牛顿与莱布尼茨切线与速度面积与路程,初等数学,高等数学,什么是数学？,数学就是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.（恩格斯）,研究的数是常数或常量，研究的形式孤立的、不变的、规则的几何形体.,研究的数是变的称为“变量”，研究的形式不规则的几何形体.,广义：高等数学-大学所学的数学课程 狭义：高等数学-微积分,一、微积分简介,16、17世纪由于天文学和力学的发展带动了数学，促进了微积分的创立.当时为了解决力学中的问题，给数学提出了四类问题：,1. 求瞬时速度问题；2. 求曲线的切线问题；3. 求函数的最大值与最小值问题；4. 求积问题.（曲线的长度、曲线所围成的区域的
2、面积、曲面所围成的立体的体积 ）,微积分的创立,为了解决上述问题，17世纪初数学家们做了大量的工作，如开普勒研究了奥地利酒桶的测量问题，伽利略研究了加速度运动物体的速度、路程问题，费尔马、笛卡尔、巴罗等人研究了曲线的切线问题，沃利斯用不可分量法求出许多图形的面积，这些都为微积分的创立积累了大量的资料. 牛顿、莱布尼茨吸收了前人的成果，建立了趋于成熟的微积分方法. 微积分的建立，标志着数学的发展进入了一个新的阶段，也标志着科学的发展进入一个新的阶段.谁也无法想象，如果没有微积分，今天的世界会是什么样子！,牛顿（Isaac Newton） 1642-1727,牛顿于1642年12月25日出生于英格
3、兰乌尔斯托帕的一个小村庄里,二、牛顿与莱布尼茨,他一生忘我地献身于科学，活到85岁的高龄,1660年 牛顿考入了著名的剑桥大学三一学院，1665年 牛顿大学毕业，获学士学位，1665-1667 鼠疫席卷英国，剑桥大学被迫关闭，牛顿 被迫两次回到故乡避灾在这短短的18个月中,22岁 到24岁的牛顿作出了人类思想史上无与伦比的发现: 指数为负数和分数的二项式级数； 微分学和积分学； 作为了解太阳系结构的钥匙的万有引力定律； 用三棱镜把日光分解为可见光谱.年 牛顿回到剑桥，次年被任为“主修课研究员”并硕士学位.1669年 年仅26岁的牛顿得以晋升为数学教授,1646-1716 博学多才的数学符号大师
4、,出生于书香门第的莱布尼茨是德国一位博学多才的学者. 他的学识涉及哲学、历史、语言、数学、生物、地质、物理、机械、神学、法学、外交等领域. 并在每个领域都有杰出的成就. 他还在逻辑学和计算机方面作了重要的工作. 然而，由于他独立地创立了微积分，并精心设计了非常巧妙而简洁的微积分符号，从而使他以伟大的数学家的称号闻名于世. 他所引用的微积分的一些符号，以及微积分的一些要领和法则一直保留到当今的教材中.,数学与科学中的巨大进展几乎总是建立在几百年中做出点滴贡献的许多人的工作基础之上，但需要有一个人来走那最高、最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法，要有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，且能足够大胆地制定出一个宏伟的计划牛顿、莱布尼茨就是这样一位在众多学科领域做出划时代贡献的科学巨人,1.曲线的切线,三、切线与速度,2. 瞬时速度问题,如图,取极限得,导数！,1.求曲边梯形的面积,四、面积与路程,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,2.求变速直线运动的路程,（1）分割,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,（2）近似,任取,面积,路程,定积分！,
