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1、2006 年高考试题辽宁卷理科数学试题一. 选择题(1) 设集合 ,则满足 的集合 B 的个数是12A1,23AB(A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2) 设 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是()fx(A) 是奇函数 (B) 是奇函数 )f()fx(C) 是偶函数 (D) 是偶函数(x(3) 给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线 与同一平面所成的角相等,则 互相平行；若直线 是异面直线,则12l 12,l 12l与 都相交的两条直线是异面直线，其中假命题的个数是12,l(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(4) 双曲线 的两

2、条渐近线与直线 围成一个三角形区域,表示该区域的不等24xy3x式组是(A) (B) (C) (D) 03xy03xy03yx03xy(5) 设 是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意 有 ,则称 A 对 + ,abA +运算 封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零) 四则运算都封闭的是 +(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集(6) 的三内角 所对边的长分别为 设向量 ,ABC, ,c()pc,若 ,则角 的大小为(,)qbac/pqC(A) (B) (C) (D) 6323(7) 与方程 的曲线关于直线 对称的曲线的方程为21(0)xye

3、yx(A) (B) (C) (D) ln()lnyxln(1)ln(1)yx(8) 曲线 与曲线 的221(6)106xm225959ym(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同(9) 在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于na12nnS1nanS(A) (B) (C) (D)12n33(10) 直线 与曲线 的公共点的个数为yk2298xykx(,)R且 k0(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(11)已知函数 ,则 的值域是11()sinco)sincof()fx(A) (B) (C) (D) ,2,2,21,(12) 设 , , ,点

4、 是线段 上的一个动点, ,若(0)O1A(0)BPABAPB,则实数 的取值范围是OPAB(A) (B) (C) (D) 12212121二. 填空题(13) 设 则 _,0.()xegln()2g(14) _24646(.5757lim()()nn(15) 5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有_ _种.(以数作答 )(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ,则 =_ _cos三 解答题(17) (本小题满分 12 分)已

5、知函数 ， .求:22sinicos3fxxxR(I) 函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合；()(II) 函数 的单调增区间.fx(18) (本小题满分 12 分)已知正方形 . 、 分别是 、 的中点,将 沿 折起,如图所示,记二ABCDEFABCDAED面角 的大小为 .(0)(I) 证明 平面 ;/(II)若 为正三角形,试判断点 在平面 内的射影 是否在直线 上,证明你ACDABCDEGEF的结论,并求角 的余弦值.AACBDE FBCDEF(19) (本小题满分 12 分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17万元的概率

6、分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价1623格下降的概率都是 ,设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记乙项目(0)p产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取 0、1、2 时, 一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 、 分别表示对甲、乙两项目各投资十万12元一年后的利润.(I) 求 、 的概率分布和数学期望 、 ;12 1E2(II) 当 时,求 的取值范围.Ep(20) (本小题满分 14 分)已知点 , 是抛物线 上的两个动点, 是坐标1Axy2(B120)x2(0)ypxO原点,向量 , 满足

7、 .设圆 的方程为OAOBC21212()()xyxy(I) 证明线段 是圆 的直径;BC(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时，求 P 的值。21 （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)= ,其中 a , b , c 是以 d 为公差的等差数列， ，且dcxba231a0,d0.设 1- 上， ，在的 极 小 值 点 ， 在为 )(0xf 0处 取 得 最 大 植在 1)(xf，将点 A， B， C处 取 得 最 小 值2x 依 次 记 为（ ,(),(), 2210xfxf(I)求 的 值o(II)若ABC 有一边平行于 x 轴，且面积为 ，求 a ,d 的值

8、322 （本小题满分 12 分）已知 ,其中 ,设0(),nfx1()()kkff(,)nkN, .212220().).knnnnFCffCfxfx1,(I) 写出 ;k(II) 证明:对任意的 ,恒有 .12,x112()()nFx参考答案一. 选择题1设集合 ,则满足 的集合 B 的个数是（ ）12A1,23AB(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】 ， ，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集,合 的子集个数问题，所以满足题目条件的集合 B 共有 个。故选择答案12A 24C。【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。2设 是 R 上的

9、任意函数 ,则下列叙述正确的是()fx(A) 是奇函数 (B) 是奇函数 ()fx(C) 是偶函数 (D) 是偶函数()fx()f【解析】A 中 则 ，()()Ffx()FxfxF即函数 为偶函数，B 中 ，x此时 与 的关系不能确定，即函数()()f()x)的奇偶性不确定，FxxC 中 ， ，即函数()()f()()FxffxF为奇函数，D 中 ，xx，即函数 为偶函数，故选择答案()()Fff()()xfxD。【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。3给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线 与同一平面所成

10、的角相等,则 互相平行.12l 12,l若直线 是异面直线,则与 都相交的两条直线是异面直线.12,l其中假命题的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现、均不正确，故选择答案 D。【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。4 双曲线 的两条渐近线与直线 围成一个三角形区域,表示该区域的不等24xy3x式组是(A) (B) (C) (D) 03xy03xy03yx03xy【解析】双曲线 的两条渐近线方程为 ，与直线 围成一个三角形区24yx域时有 。03xy【点评】本题考查了双曲线的渐

11、近线方程以及线性规划问题。5设 是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意 有 ,则称 A 对运 + ,abA +算 封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零) 四则运算都封闭的是 +(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集【解析】A 中 121 不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中 1 20.5 不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件； D 中 不是无理数，即无理数2集不满足条件，故选择答案 C。【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。6 的三内角 所对边的长分别为 设向量 ,AB, ,abc()pa

12、cb,若 ,则角 的大小为(,)qbac/pq(A) (B) (C) (D) 6323【解析】 ，利用余弦定理可得22/()()cabacb，即 ，故选择答案 B。2cos1C1osC【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。7 与方程 的曲线关于直线 对称的曲线的方程为21(0)xyeyx(A) (B) ln()ln)yx(C) (D) yx(【解析】 ， ，即：2 21(0)1)xeey0,1xe，所以 ，故选择答案 A。1ln(1)xeyxy1()ln)fxx【点评】本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解。同时还考查了转化能

13、力。8曲线 与曲线 的22(6)106m221(59)59ym(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同【解析】由 知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，由221()xy知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故只能选择答案 A。22(59)59ym【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。9在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于na12nnS1nanS(A) (B) (C) (D)12n33【解析】因数列 为等比，则 ，因数列 也是等比数列，n1naqn则2 212112221()(1)0

14、n nnnnna aaq即 ，所以 ，故选择答案 C。nnS【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。10 直线 与曲线 的公共点的个数为2yk22918xykx(,)R且 k0(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】将 代入 得：22229418x，显然该关于 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 个，29|1840x|x故选择答案 D。【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。11已知函数 ,则 的值域是11()sinco)sinco22fxxx()f(A) (B) (C) (D) ,21,【解

15、析】 cos(incs)11()sinco)sin22xxfxx即等价于 ，故选择答案 C。minsi,cox【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。12设 , , ,点 是线段 上的一个动点, ,若(0)O1A(0)BPABAPB,则实数 的取值范围是PB(A) (B) (C) (D) 12211221【解析】 ()(,)(1, (,)AOPABBPA2(1,),)410OP解得: ,因点 是线段 上的一个动点,所以 ,即满足条件的21PB实数 的取值范围是 ,故选择答案 B. 1【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的

16、范围等等.二. 填空题13设 则 _,0.()xegln1()2g【解析】 .1ln1()(l)2e【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.14 _24646()().()5757limnn【解析】2 2246()().()(.)(.)57li54 465665n nnn 416()()5715()1()577limlimli41()1()6566nnnnn nnn【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.155 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、

17、2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种.(以数作答)【解析】两老一新时, 有 种排法;123CA两新一老时, 有 种排法,即共有 48 种排法.126【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.16若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ,则 =_cos【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.26cos3【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.三 解答题17(本小题满分 12 分)已知函数 ， .求:22sinicos

18、3fxxxR(I) 函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合；()(II) 函数 的单调增区间.fx【解析】(I ) 解法一: 1cos23(1cos2)insincos2sin(2)4xf xxx当 ,即 时, 取得最大值 .4xk8kZ()f函数 的取得最大值的自变量 的集合为 .()f x/,()8xRkZ解法二: 22 2 2()sinco)sincosincos1sincos2fx xxx2sin()4x当 ,即 时, 取得最大值 .2k()8xkZ()fx2函数 的取得最大值的自变量 的集合为 .()fx/,()8RkZ(II)解: sin()4x由题意得: 22()kkZ即:

19、3()88x因此函数 的单调增区间为 .()f 3,()8kk【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.18 (本小题满分 12 分)已知正方形 . 、 分别是 、 的中点,将 沿 折起,如图所示,记二ABCDEFABCDAED面角 的大小为 .(0)(I) 证明 平面 ;/(II)若 为正三角形,试判断点 在平面 内的射影 是否在直线 上,证明你GF的结论,并求角 的余弦值.AACBDE FBCDEF【解析】(I )证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点 ,EB/FD,且 EB=FD, 四边形 EBFD 为

20、平行四边形. BF/ED， 平面 .,EFABFAE平 面 而 平 面 /BFAE(II)解法 1:如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD.ACD 为正三角形, AC=AD CG=GD， G 在 CD 的垂直平分线上,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 ,所以 为二面角 A-DE-C 的平面AHDEA角.即 ，设原正方体的边长为 2a,连结 AFH在折后图的 AEF 中,AF= ,EF=2AE=2a, 即 AEF 为直角

21、三角形 , 3aAGEF， 在 Rt ADE 中, ， ，32AGaAHDE25Ha25a.1cos4H解法 2:点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上连结 AF,在平面 AEF 内过点作 ,垂足为 .AEFACD 为正三角形,F 为 CD 的中点, ，又因 ,CDEF所以 ， ，CDEF平 面 平 面 A又 且AG ,BB平 面 平 面， 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.B平 面 G即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 ,所以 为二面角 A-DE-C 的平面HDEA角.即 ，设原正方体的边长为 2

22、a,连结 AF，在折后图的 AEF 中,H AF= ,EF=2AE=2a, 即 AEF 为直角三角形, ，3aGF32Ga在 Rt ADE 中, ， ，ADE25Aa25a.1cos4GH解法 3: 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上，连结 AF,在平面 AEF 内过点作,垂足为 . ACD 为正三角形,F 为 CD 的中点, EFAFCD又因 , 所以 ，CDEF平 面 CDBE平 面，又 ，B平 面 平 面 A=,G平 面 平 面 EF， 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.AG平 面 G即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上过 G 作 GH 垂直于

23、 ED 于 H,连结 AH,则 ,所以 为二面角 A-DE-C 的平面HDEA角.即 ， 设原正方体的边长为 2a,连结 AFH在折后图的 AEF 中,AF= ,EF=2AE=2a, 即 AEF 为直角三角形 , 3aGEFA，在 Rt ADE 中, ， ， ,32AaAE25Aa25aH.1cos4GHA【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.19 (本小题满分 12 分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17万元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价162

24、3格下降的概率都是 ,设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记乙项目(0)p产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取 0、1、2 时, 一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 、 分别表示对甲、乙两项目各投资十万12元一年后的利润.(I) 求 、 的概率分布和数学期望 、 ;12 1E2(II) 当 时,求 的取值范围.Ep【解析】(I)解法 1: 的概率分布为1E =1.2 +1.181612+1.17 =1.18.3由题设得 ,则 的概率分布为(2)Bp故 的概率分布为21.3 1.25 0.2P 2(1)p()2p所以 的数学期

25、望为 E = + + = .221.3()1.52()p20.p0.13p解法 2: 的概率分布为1E =1.2 +1.18 +1.1762 =1.18.3设 表示事件”第 i 次调整,价格iA 下降”(i=1,2),则 P( =0)= ;212()()PpP( =1)= ; P( =2)=1212()(1)PAp21()PAp11.2 1.18 1.17P 6230 1 2P 2()p()p11.2 1.18 1.17P 621故 的概率分布为2所以 的数学期望为E = +221.3()p +1.25()p= .00.13(II) 由 ,得: 1228(0.4).30.40.3ppp因 00

26、 知 在2()(0)fxbxc2(1)0,()bffca()fx上的最大值为 ，即: 21,0ba)fx=又由 ， 当 时, 取得最小值为1,a知 ()fx，2(),bdbfxa即 01()3fxfa，由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x21(,)(0,)3dABcCa轴,所以22,=3(1)da即又由三角形 ABC 的面积为 得)(23bac利用 b=a+d,c=a+2d,得 ， 联立(1)(2)可得233da ,3da【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

27、22 （本小题满分 12 分）已知 ,其中 ,0(),nfx1()()kkfxf(,)nkN设 , .212220.).knnnnFCffCffx1,(I) 写出 ;()k(II) 证明:对任意的 ,恒有 .12,x112()()nFx【解析】(I )由已知推得 ,从而有()nkkfkf(II) 证法 1:当 时, 212()2() 2()12.1).nnnknnFxCxxCxx 当 x0 时, ,所以 在0,1上为增函数0F因函数 为偶函数所以 在-1,0上为减函数()x()x所以对任意的 12,12()1(0)F012 112 10()().().2). .knnnnn kFCC1(),3

28、1nknkkn1212101()0(.)(.)2(knnnnnFCCC因此结论成立.证法 2: 当 时, x212()2() 2()12() .1).nnnknnFxCxCxx当 x0 时, ,所以 在0,1上为增函数0F因函数 为偶函数所以 在-1,0上为减函数()x()x所以对任意的 12,12()1(0)F01 1()()2knnnnFCC又因 2110()3.k所以 1210).nnnn12110()2)()knnnnFCC因此结论成立.证法 3: 当 时, 1x22(1)2() 2()12() .1).nnnknnFxCxCxx当 x0 时, ,所以 在0,1上为增函数0F因函数 为偶函数所以 在-1,0上为减函数()x()x所以对任意的 12,12()1(0)F01 1()()2knnnnFCC由12 112 12().nnnknnkxxCxCx对上式两边求导得 112 1()()().(1).2nnnnknnxxxxCxx2221nF11()0()nn因此结论成立.【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.