1、1第三章 量子力学中的力学量1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）证 由厄米算符的定义*()Fdd厄米算符 的平均值*()Fd*()*Fd即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1） HTU（2）（3） E解：（1） （2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。3. 设 归一化， 是 的本征函数，且 ()xkF()()kxcx（1）试推导 表示式kC（2）求征力学量 F 的 态平均值()x2kcF（3）说明 的物理意义。2kc解：（1）给 左乘 再对 积分()x*()mx*()mkdcd*()kmkcxd因 是 的本函，所以 具有正交归
2、一性xF()x2*()()mkmkkkxdcxdcm ()k()kc（2） 是 的本征函数，设其本征值为 则FkFkk*mmkdxcdx()kcF*mkxkc2kF即 kc（3） 的物理意义；表示体系处在 态，在该态中测量力学量 F，得到本征值2 的kF几率为 。2kc4. 一维谐振子处于基态 0（x） 态，求该态中（1） 势能的平均值 21U（2） 动能的平均值 pT（3） 动量的几率分布。解：(1) dxexU2221 2222 411413（ ）21035(2)naxneda(2) dxppT)(22*eexx22121)(dx2)(222eexx223441或 412UET(3) dx
3、pcp)()(*2121dxePixPxi21 depix22)(1 21xipp222)(1 212pe 2pe动量几率分布函数为421)(2pepc5. 氢原子处于 态，求03(,)rar（1） r 的平均值。（2） e 2/r 的平均值（3） 最可几半径.（4） 动能平均值.解：(1) drreadr a sin1),(022/32 0（ ） 0/2304r 10!naxne0403!aa020320/2/3202/30214 sin si1)()(0 0aeaedrdreae rrUarrar(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为 022 sin),()( drrdr drea
4、r2/30042/3004)(ear0/203)(ardr5令 0321 , ,0 )( arrdr 与当 为几率最小位置)( ,0210/20302 )484areradr)(23020ear 是最可几半径。(4) 221pT22 211()(sin)isir 02 2/2/30 i)(00 dreaTarr 02 2/2/30 sin)(100 rdrra0/02302 )(140eaar202402)(6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为， erJ 2 sinemJr证：电子的电流密度为)(2*mnmneiJ在球极坐标中为sin11rerer式中 为单位矢量r、
5、6)sin11( 2* *mnrmnre reeiJ )sin1sin1()1()(2 * mnmnmnn nnnr rreei 中的 和 部分是实数。r eiiieJ mnmne )(s222 ermn2si可见， 0er2sinmeJ7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成(1)求一圆周电流的磁矩 (2)求证氢原子磁矩为 zM 2e解：(1) 一圆周电流的磁矩为（ 为圆周电流，AdSJidei为圆周所围面积）A22)sin(sinrrmdSemn2irrn22si )(rdS(2)氢原子的磁矩为02 sirmedMn702 sin2drmemnn202 i2e)(SI原子磁矩与角
6、动量之比为)( IeLMzz8. 求一维无限势阱中粒子动量与位置的测不准关系 2()?xp解设宽为 a 的一维无限势阱的波函数为sin()2vx()x22()p2*2d1sin()axadx2coa321s()anxxadx22iadn221si()2sin()3axxda2co()andn2s()cos()3anxx d20an823anx21si()xadxcoas()2anxxadx1iadns()sin()xxa0*pd1sin()sin()22xaxadcoa2si()4ixd0p2*2x2sin()adxa2i()x231cos()/24nnxada2233()8x24nxa22(
7、)3an922()4npa22222()()334nxx9. 证明氢原子中电子 与 是守恒量2Lz证明氢原子的哈密顿算符 222()()LHrur因 与 是相互对易的 且 与 也是对易的。2Lr2L211(sin)isi 2,0LH， ， 与 t 无在，只与 有关。2xyzxLyz,xyz20t3t又 与 也是对易的，且3Lr20L0zH氢原子中电子 和 是守恒量。2z（判断守恒量的条件：与 t 无关，且与哈密顿算符对易）10. 设线性谐振子处于 描述状态，则在该态中，能量可能取哪些013()()()2xx值？几率各是多少？能量的平均值是多少？解线性谐振子能级 ，而 是振子的两个本征态。Ewn
8、1,所以能量可能取 012132因 234nc所以 未归一化的波函数，则几率求法应为 ()x2ncW10对应几率 012Ew21nc21103w对应几率 13222nc229101312w平均值（即第 11 题）方法 I由平均值公式 2ncF19342wE80/75w方法（ 未归一化）*Fd*nHdEd*011033()()()221xxd*0111004443qddd由正交归一性可得112201441qddE1278404qwx75w12. 设粒子处于 态，求该态中 平均值。1(.)mY,xyzL解 是 的本征函数lzL*2lmI*zllmldYdlY3yxLi1xyzyLLi*xlmeem
9、zemIdYd*1yzezyYi*1()emzmeLLi*eyidYdyy0同理 1yzxzLLi*ememzxzemIYdYLYdi1zxezi*21()memxeLdeyiYiYL013. 一刚性转子的转动惯量为 I,它的能量经典表达式是 H=L2/2I,这儿 L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量。（1） 转子绕一固定轴转动。（2） 转子绕一点转动。12解：(1)设该固定轴沿 Z 轴方向，则有2ZL哈米顿算符 221dIIH其本征方程为 ( 无关，属定态问题)t与)(2)( 2IEdI令 ，则2IEm0)()(2md取其解为 ( 可正可负可为零)iAe)(由
10、波函数的单值性，应有imie)2()(2(即 1miem= 0，1，2，转子的定态能量为 (m= 0，1，2，)IEm2可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 iAeA 为归一化常数，由归一化条件2122020*Adm 转子的归一化波函数为ime综上所述，除 m=0 外，能级是二重简并的。13(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为21LIH无关，属定态问题，其本征方程为t与),(),(21EYI(式中 设为 的本征函数， 为其本征值),YH,(2IL令 ，则有IE),(),(22Y此即为角动量 的本征方程，其本征值为L) ,210( )1(22 其波函数为球谐函数 im
11、mmePNY(cos, 转子的定态能量为2)1(IE可见，能量是分立的，且是 重简并的。)1(14 若 都是厄米算符， ，问FGFG（1） 是否是厄米算符（2） 是否是厄米算符()i*Fd*G*()()F*Fdd*()()G14*()GFd*()不是厄米算符FG其中 为两任意函数,（2）同样 为两任意函数*()id*Fi*()()iG*d()iF是厄米算符G判断是否是厄米算符可用厄米算符定义来判断*()dd15设 ，证明 是厄米算符，其中 均是厄米算符。,0F,FG证明 *()()GFd*()Fdd是厄米算符。G16. t0 时，粒子处于态21()sincosxAkx求此时粒子平均能量和平均动
12、能。解： cos)2cs1(cssi)( 1221 kxkxx 15cos21kxA)()(2121 ikxikxikxi ee 21 2121210 ikxikxikxixiA可见，动量 的可能值为np 动能 的可能值为 2 2 2 022kk对应的几率 应为 n )16 16 4( 2222 AAA2)8 821( 上述的 A 为归一化常数，可由归一化条件，得2)164(2AAn /1 动量 的平均值为p02162162162160 AkkAkAknnpT228128102kk5217. 证明若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数证明设 为两任意算符，且 =0,FGFG设 的本函
13、为 ，本征值为 ，只需证 也是 的本征函数即可。nnn16因 = 给上式右乘GFn=nn= =FGnnGn是 算符本征值为 的本征函数，由 F 是非简并的分立谱 与 应是同 Gn一状态，它们之间互多差一常数。即 = （ 是任意常数）nnCn也是 的本征函数G =0 有共同的本征函数。F,逆命题：若两算符有组成完全系的共同本函，则这两算符对易。证：设 的共同本函为 ，本征值为 ,12,n12,n=n设 为任一量子态，则nc = - = -FGFnGncF= -ncc= -n2n2=0 =0 （ ）FG018. 下列算符哪些是厄米算符dx2dix2i解： ， 是厄米算符22不是厄米算符dxi是厄米
14、算符p也是厄米算符xi17是厄米算符22xdp也是应厄米算符2x我们在前边第 14 题已证明 是厄米算符，且 则 不是厄米算符。FGFG,且 却是厄米算符iFG不是厄米算符，即 不是厄米算符/xpdx同样： 也不是厄米算符，即 不是厄米算符。2i 2i19. 设氢原子处于 210213(,)rRYRY求氢原子能量、角动量平方及 z 分量的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值2228ssenE)2(n角动量平方有确定值为22)1(L)1(角动量 Z 分量的可能值为012Z其相应的几率分别为， 43其平均值为01ZL20. 证明自由粒子能级是简并的证明：动量算
15、符 其本征函数 pi()iprpAep自由粒子的哈密算符 2H18显然 =0 因此它们肯定有共同本函 即 pHiprAe本征值求法如下： 222,()3i ipr prp pAe 所以能量 2E对应 和 对应两个状态， ppirAepiprAe但能量 p所以自由粒子能级是二度简并。21. 求 的本征方程xdpi解 设 的本征函数为 ()x()()xxxdip()xdip两边积分 xi()1lnxpc1()2xxiipcpxe（C 为归一化常数）xipe由归一化条件 81()xd1 122x xii ippcedce1()xi2()xcp12c12ie(0)()xipx19本征方程为()()xx
16、dip()()0x其中 ()12xipxe22. 求解自由一维粒子的能量本征方程解自由粒子的哈密顿算符为 221xdHp设其本征函数为 则()x()()xxE2()()xxd2()()2xxEd2()2()0xx令 则xEk22()0xdk此微分方程的特解为：()ikxkAekk 可取一切实数值 均为全空间的连续有限函数，所以能量 E 的取值可以连续变化，k能谱是连续的，定态波函数可以表示为：()(,)xikEtkxte由归一化条件 *()()pdp20又 ()1()2ikxked1()()pk即： ()2ikxixAee 所以 2112A即 ()2ikxpxexEp本征方程为22()()0x
17、ppEdx其中 1()xipe推广到三维（x,y,z）运动，动量本征函数取为： 3322()()pri ikrpree23. 一维运动粒子的状态是 0 x0xA其中0，求（1） 粒子动量的几率分布。（2） 粒子平均动量。解：(1)先求归一化常数，由022)(1dxeAdx234 2/Axex/3)()0(0x dxxedepc ikikx )(2)1()21)( )(/3/ 21 dxeikeikxikxi )(0)(2/13 1)( 22/1322/13 )()()()( pii动量几率分布函数为2232232 )(1)(1)( pppc (2) dxexidx)(4)(3* ei 2314
18、dxx)(423i024. 证明 zLyix0yLxLyiz证明 （1） zzzrpzyxp2zzyxLy与 无关 x xy22 zzyxyxyLppxzz0（3） xxxLyxzyLp2zyzypp22()yzpi25. 设体系处于 态中，求1210cY（1）力学量 的可能值与平均值。zL（2） 的可能值与平均值。解 （1）角动量 z 分量的本征方程()()zm()()zeeLY 让 作用于z 1210zzncLY1210c由此可看出 不是 的本征函数，是 的本征函数的线性迭加， 可能取的值为zLzLzL平均值0,2221nzccL21c（2）角动量平方的本征方程让 作用于2()()emem
19、YlY2L22 2211012101210()()LcLccYcY由此可看出 是 的本征函数， 出现的可能值 ，几率为 1，所以平均值为2。226. 试求角动量平方算符 ，当本函为 本征值2L()cosincos)YA解 角动量平方算符的本征方程 是本征值2()()L在球坐标下 2211sinisi让 作用于2L()emY232211(sin)cosincosisiA 22 21(i)coin)sincosi siA 2 2 21siicos(si)sini sinA2 21(cosincs)icosi siA 22oiinA22cs1coscsini22o()icossicA2no()Y是 的本征函数， 且本征值为 A=2()2L2
