1、牛顿定理Newtons Theorem特指平面几何中的牛顿定理牛顿线：和完全四边形四边相切的有心 1圆锥曲线的心的轨迹是一条直线,是完全四边形三条对角线中点所共的线。（涵盖了圆外切四边形的对角线中点连线过圆心的定理)2 牛顿定理 1牛顿定理 1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。3 定理 1 证明四边形 ABCD,ABCD=E,ADBC=F,BD 中点 M,AC 中点 L,EF 中点 N证明：取 BE 中点 P,BC 中点 R,PNCE=QR,L,Q 共线QL/LR=EA/ABM,R,P 共线RM/MP=CD/DEN,P
2、,Q 共线PN/NQ=BF/FC三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC由梅涅劳斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N 三点共线证毕故牛顿定理 1 成立4 牛顿定理 2牛顿定理 2 圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。5 定理 2 证明证明：设四边形 ABCD 是I 的外切四边形，E 和 F 分别是它的对角线 AC 和 BD 的中点，连接 EI 只需证它过点 F，即只需证BEI 与DEI 面积相等。显然，SBEI=SBIC+SCEI-SBCE，而SDEI=SADE+SAIE-SAID。注意两
3、个式子，由 ABCD 外切于I，AB+CD=AD+BC，SBIC+SAID=1/2*S 四边形 ABCD，SADE+SBCE=1/2*SACD+1/2*SABC=1/2*S 四边形 ABCD即 SBIC+SAID=SADE+SBCE，移项得 SBIC-SBCE=SADE-SAID，由E 是 AC 中点，SCEI=SAEI，故 SBIC-SCEI-SBCE=SADE-SAIE-SAID，即 SBEI=DEI，而 F 是 BD 中点，由共边比例定理 EI 过点 F 即 EF 过点I，故结论成立。证毕。6 牛顿定理 3牛顿定理 3 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。7 定理 3 证明证明设四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 与内切圆分别切于点 E,F,G,H. 首先证明,直线 AC,EG,FH 交于一点.设 EG,FH 分别交 AC 于点 I,I.显然AHI=BFI 因此易知 AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI故 AI/CI=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG又 AE=AH,CF=CG.故 AI/CI=AH/CF=AI/CI.从而 I,I重合.即直线 AC,EG,FH 交于一点.同理可证:直线 BD,EG,FH 交于一点.因此直线 AC,BD,EG,FH 交于一点.证毕。
