1、4.1 齐次方程组4.2 非齐次方程组,第4章 线性方程组,4.1 齐次线性方程组,设有齐次线性方程组,该方程组写成向量方程形式为,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,称为方程组(1) 的解向量。,方程组的任一解,其中,关于齐次线性方程组解有如下性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则也是 的解,证明,由以上两个性质可知，如果把方程组的全体解向量所组成的集合记作S，则S对向量的加法和乘数运算是封闭的。,证毕.,结论 齐次线性方程组 Ax=0 的解的全体是一个向量空间（记为 S，称S为该方程组的解空间）,上式称为方程组（1）的通解表达式。,解空间的基S0称为该齐次线性方程组的基础解系。,如果
2、能够求得S的一个基S0，则S的任意元素（方程组的解）都可由该基线性表示。,基础解系的另一定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,设齐次线性方程组的系数矩阵 的秩为r，并不妨设 的前 个列向量线性无关,于是 可化为,现对自由变量 依次取,得到方程组的解的一般表达式,考虑方程组的如下 个解：,这实际是当 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面说明 就是齐次线性方程组的一个基础解系,由于 维向量,线性无关，,所以 个 维向量 亦线性无关.,定理1,(2) 方程组的基础解系一般不是唯一的。,注：,例1 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,实际上，方程组的通解可以通过如下写法更简单的写出：,例2,证：,这说明矩阵B的l个列都是方程Ax=0的解。,例3,证,
