1、数学建模竞赛,1 从数学素养说起 2 数学模型与数学建模 3 数学建模的一般步骤 4 数学模型的分类 5 一些用初等方法建模的例子 6 怎样学习数学建模 7 数学建模竞赛简介,第一讲 数学建模初步,一个理工科的学生，从小学一年级到大学一、二年级，一般要学十三四年的数学课程，如果是数学专业的学生，那时间就更长了；但许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使人们终生受益。,1 从数学素养说起,“数学素养”的通俗
2、说法 把所学的数学知识排除或忘掉后，剩下的东西：,从数学角度看问题的出发点； 有条理地理性思维，严密地思考、求证，简洁、清晰、 准确地表达； 在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意识和能力； 对所从事的工作，合理地量化和简化，周到地运筹帷幄。,“数学素养”的专业说法 摘自数学学科专业发展战略研究报告 教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”, 主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养； 熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数思想的素养； 具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养； 对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养；
3、善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。,提高数学素养 培养数学应用能力,数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的。我们在数学学习中，不但要理解数学知识，更要学会运用数学知识解决实际问题，了解“数学方式的理性思维”，提高自己的数学素养。为此，我们得培养自己的数学建模能力。,数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling）应
4、用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,2 数学模型与数学建模,1. 了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2. 在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。3. 在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4. 模型求解。 5. 模型的分析与检验。,3 数学建模的一般步骤,4 数学模型的分类,5.1 启帆远航 5.2 实物交换,5 一些用初等方法建模的例子,帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向,简化问题,海面
5、上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，,5.1 启帆远航,模型分析,风(通过帆)对船的推力w,风对船体部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假设,w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2，,f1航行方向的推力,p1 航行方向的阻力,w1=wsin(-),f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,模型假设,w2与帆面平行，可忽略,f2, p2垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks1, p=ks2,船在正东方向速度分量v1=vcos,航向速度v与力f=f1-p1成正比,v=k1(f1-p
6、1),2) 令 = /2, v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）,1) 当固定时求使f1最大,f1=wcos(-2)-cos/2,= k1(f1-p1)cos,f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,求, ,使 v1最大,模型建立,v1=vcos,模型求解,60 75,1 t 2,备注,只讨论起航时的航向，是静态模型航行过程中终点B将不在正东方,记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2,=( k1w/2)1-(1+2p/w)coscos ,w=ks1, p=ks2,1/4cos 1/2,模型求解,v1=k1 w(1-
7、cos)/2 -pcoscos ,s1 s2,问题,甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图：,若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y),都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y),5.2 实物交换,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的，,线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，,比MN各点满意度更高
8、的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。,无差别曲线族的性质：,单调减(x增加, y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;,在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y。,甲的无差别曲线族记作,f(x,y)=c1,c1满意度,（f 等满意度曲线）,乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）,双方的交换路径,乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向）,甲的无差别曲线族 f=c1,双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上,因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于
9、AB上的点p,两族曲线切点连线记作AB,p,交换方案的进一步确定,交换方案 交换后甲的占有量 (x,y),0xx0, 0yy0矩形内任一点,交换路径AB,等价交换原则,X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为,(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD,AB与CD的交点p,设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0),数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,6 怎样学习数学建模,数
10、学建模竞赛的由来,1985年开始由美国工业与数学学会举办“美国大学生数学建模竞赛”MCM（Mathematical Contest in Modeling）。 1989年我国大学生首次开始参加 MCM. 1990年上海率先举办了“上海市大学生数学模型竞赛” 1992年，教育部高教司和中国工业与应用数学协会联合举办“中国大学生数学建模竞赛（CMCM)”。 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月) 1999年， 美国大学生交叉学科建模竞赛ICM（Interdisciplinary Contest in Modeling)开始。 日前 CMCM 已经成为全国高校规模最大的课外
11、科技活动,以下是 CUMCM 历年参赛情况,7 数学建模竞赛简介,竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。,竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。,评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。,竞赛宗旨：创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,全国大学生数学建模竞赛,运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实际问题的能力,面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的
12、能力,关心、投身国家经济建设的意识和理论联系实际的学风,团结合作精神和进行协调的组织能力,勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻关的顽强意志,查阅文献、收集资料及撰写科技论文的文字表达能力,数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质,历年来的CUMCM题,1992年A题：施肥效果分析B题：实验数据分解 1993年A题：非线性交调的频率设计B题：足球队排名次 1994年A题：逢山开路B题：锁具装箱 1995年A题：一个飞行管理问题B题：天车与冶炼炉的作业调度 1996年A题：最优捕鱼策略B题：节水洗衣机,历年来的CUMCM题,1997年A题：零件的参数设计B题：截断切割 1998年A题：投资的
13、收益和风险B题：灾情巡视路线 1999年A题：自动化车床管理B题：钻井布局 C题：煤矸石堆积D题：钻井布局（同 B 题）,历年来的CUMCM题,2000年A题：DNA序列分类 B题：钢管订购和运输 C题：飞越北极 D题：空洞探测 2001年A题：血管的三维重建 B题：公交车调度 C题：基金使用计划 D题：公交车调度 (同B题),历年来的CUMCM题,2002年A题：车灯线光源的优化设计 B题：彩票中的数学 C题：车灯线光源的计算 D题：赛程安排 2003年A题：SARS的传播 B题：露天矿生产的车辆安排 C题：SARS的传播 (同 A 题)D题：抢渡长江,历年来的CUMCM题,2004年A题：
14、奥运会临时超市网点设计 B题：电力市场的输电阻塞管理 C题：饮酒驾车 D题：公务员招聘 2005年A题：长江水质的评价和预测 B题：DVD在线租赁C题：雨量预报方法的评价 D题：DVD在线租赁 (同 B 题),历年来的CUMCM题,2006年A题：出版社的资源配置 B题：艾滋病疗法的评价及疗效的预测 C题：易拉罐形状和尺寸的最优设计 D题：煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 2007年A题：中国人口增长预测 B题：乘公交，看奥运C题：手机“套餐“优惠几何D题：体能测试时间安排,历年来的CUMCM题,2008年A题：数码相机定位B题：高等教育学费标准探讨C题：地面搜索D题：NBA赛程的分析与评价 200
15、9年A题：制动器试验台的控制方法分析B题：眼科病床的合理安排C题：卫星和飞船的跟踪测控D题：会议筹备,成功参赛的要素,浓厚的兴趣 敏锐的洞察力和活跃的思维； 获取新知识的能力扎实的数学基础 熟练的计算机应用能力 清晰的论文表达,参加数学建模竞赛需要准备的内容,1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）,2）建模过程中常用的数学方法(微积分、线性代数、概率论外)，主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路)等。,只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，可以用计算机求解的问题不必涉及求解的理论。,3）合适的数学软件的用法。基本上能完成上述方法的软件，如MATHEMATICA, MATLAB, LINDO等。,4）历届赛题的研讨。,5）撰写数学建模论文的练习。,参加数学建模竞赛需要准备的内容,参考资料,姜启源等, 数学模型(第3版), 高等教育出版社, 2003年. 赵静, 但琦,数学建模与数学实验, 高等教育出版社, 2003年. 竞赛优秀论文,见工程数学学报及数学的实践与认识.,
