1、2.4指数与指数函数,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,1.分数指数幂(1)方根的概念:如果存在实数x,使得xn=a(aR,n1,nN+),则x叫做.求a的n次方根,叫做把a,称作.(2)根式的性质:( )n=a(n1,且nN+);,a的n次方根,开n次方,开方运算,当n为奇数时,当n为偶数时,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,(3)规定:正数的正分数指数幂的意义是 (a0,m,nN+,且n1);正数的负分数指数幂的意义是(a0,m,nN+,且n1);0的正分数指数幂等于;0的负分数指数幂.(4)有理指数幂的运算性质:aras=,(ar)s=,(ab)r=,其中a0,b
2、0,r,sQ.,0,没有意义,ar+s,ars,arbr,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,2.指数函数的图象与性质,R,(0,+),(0,1),y1,0y1,0y1,增函数,减函数,2,-5-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(4)函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数. ()(5)若aman,则mn. (),答案,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.函数y=2|x|的值域为()A.0,+)B.1,+)C.(1,+)D.(0,1,答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5
3、,A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与 的图象之间的关系是()A.关于y轴对称B.关于x轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.若函数y=(a2-1)x在(-,+)内为减函数,则实数a的取值范围是.,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,自测点评1. 成立的条件:当n为奇数时,aR;当n为偶数时,a0.2.
4、指数幂运算化简的依据是幂的运算性质,应防止错用、混用公式.对根式的化简,要先化成分数指数幂,再由指数幂的运算性质进行化简.3.指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此,应用指数函数的单调性解题时,当底数a不确定时,应分a1和0a1,b1,b0C.00D.0a1,b0(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.思考画指数函数的图象及应用指数函数的图象解决问题应注意什么?,答案,-15-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)由f(x)=ax-b的图象可以看出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的图象的
5、基础上向左平移得到的,所以b0,且a1)的图象,应抓住三个关键2.与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.,-17-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是()A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)(2)若函数f(x)=ax-1(a0,且a1)的定义域和值域都是0,2,则实数a=.,答案,解析,-18-,考点1,考点2,考点3,考向一比较指数式的大小A.y3y1y2B.y2y1y3C.y
6、1y2y3D.y1y3y2思考如何进行指数式的大小比较?,答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,考向二解简单的指数方程或指数不等式A.(-,-3)B.(1,+)C.(-3,1)D.(-,-3)(1,+)思考如何解简单的指数方程或指数不等式?,答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,考向三指数型函数与函数性质的综合(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x-1,1时,f(x)b恒成立,求b的取值范围.思考如何求解指数型函数与函数性质的综合问题?,-21-,考点1,考点2,考点3,解： (1)函数定义域为R,关于原点对称.(2)当a1时,a2-10,y=ax在
7、R上为增函数,y=a-x在R上为减函数,从而y=ax-a-x在R上为增函数,故f(x)在R上为增函数.当00,且a1时,f(x)在R上单调递增.(3)由(2)知,f(x)在R上为增函数,所以f(x)在区间-1,1上为增函数.故要使f(x)b在-1,1上恒成立,则只需b-1,故b的取值范围是(-,-1.,-22-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数
8、函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)已知 则a,b,c的大小关系是()A.c0时,函数f(x)=(aex+b)(x-2)单调递增,且函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则使得f(2-m)0成立的m的取值范围是()A.m|m2B.m|-24D.m|0m2时,f(x)0;当x0.因为f(2-m)0,所以|2-m|2,解得m4或m1及0a0,即原方程为t2-2t-3=0,解得t=3或t=-1(舍去).由2x=3,解得x=log23.,-28-,反思提升1.与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成;而与其有关的最值问题,往往转化为二次函数的最值问题.2.换元法是高中数学解题的基本方法,对于同时含有ax与a2x(a0,且a1)的函数、方程、不等式等问题,通常应用换元法以达到化繁为简的目的.换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误.,
