1、 D CBAE CB DA辅助线（一） 、倍长中线（线段）造全等1、如图 3：AD 为 ABC 的中线，求证：ABAC2AD。2、如图，已知：AD 是ABC 的中线，且 CD=AB，AE 是ABD 的中线，求证：AC=2AE.3、在等腰直角三角形中，AB=AC，点 D 是斜边 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 边上的点，且 DEDF。（1）说明： 22EFCB(2)若 BE=12,CF=5，试求 的面积。4、以 ABC 的两边 AB、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt ， 连接ACE90,BDAEDE， M、 N 分别是 BC、 DE 的中点探究：AM 与 DE 的位置
2、关系及数量关系（1）如图 当 为直角三角形时， AM与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE的数量ABC关系是 ；（2）将图中的等腰Rt 绕点A 沿逆时针方向旋转 (0AC， AD 平 分 BAC 交 BC 于 点 D（ 1） 如 图 1， 若 ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 直 接 写 出 线 段 AC， CD， AB 之 间 的 数 量 关 系 ；（ 2） BC 的 垂 直 平 分 线 交 AD 延 长 线 于 点 E， 交 BC 于 点 F 如 图 2， 若 ABE=60， 判 断 AC， CE， AB 之 间 有 怎 样 的 数 量 关 系 并 加 以 证 明 ； 如 图
3、3， 若 ， 求 BAC 的 度 数 37问题：在 ABC中，A=100，B D 为B 的平分线，探究 AD、BD、BC 之间的数量 关系.请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想 AD、BD、BC 之间的数量关系为 .（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出ABC=C=40后，可进一步推出ABD=DBC= 度.（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在 BC 上截取BE=BD，连接 DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.（三)垂直造全等1. 已知
4、ABC=90 ，D 是直线 AB 上的点，AD=BC（1）如图 1，过点 A 作 AFAB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF 、CF，判断CDF 的形状并证明；（2）如图 2，E 是直线 BC 上的一点，直线 AE、CD 相交于点 P，且APD=45，求证 BD=CEDCBAPECABD图2FCABD图1图2图1EDCBA AB CAB CED FGHCHFGEPB DA2.（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，B=C=90，E 为 BC 上一点，且 CE=AB，BE=CD，连结AE、DE 、 AD，则ADE 的形状是_.(2)如图 2，在 ，D 、E 分别为 AB、 AC 上的点，连结
5、 BE、CD，两线交于点 P90A中当 BD=AC，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想 的度数并给予证明BPD当 时， 的度数_3BDCEBP3在ABC中，C=90，AC =BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合） ，连接AD，将AD绕点D 顺时针旋转90 得到 DE，连接BE.（1）如图 1，点 D 在 BC 边上.依题意补全图 1；作 DFBC 交 AB 于点 F，若 AC=8，DF =3，求 BE 的长；（2）如图 2，点 D 在 BC 边的延长线上，用等式表示线段 AB、 BD、 BE 之间的数量关系（直接写出结论）.4.在 等 腰 直 角 ABC 中 ， BAC=90， AB=A
6、C，（ 1） 如 图 1， 点 D、 E 分 别 是 AB、 AC 边 的 中 点 ， AF BE 交 BC 于 点 F， 连 结 EF、 CD 交 于点 H.求 证 ， EF CD；（ 2） 如 图 2， AD=AE， AF BE 于 点 G 交 BC 于 点 F， 过 F 作 FP CD 交 BE 的 延 长 线 于 点P， 试 探 究 线 段 BP,FP,AF 之 间 的 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 。EDMBCA EDMB CA MB CA（四)有中点作中位线1 【探究】如图 1，在ABC 中， D 是 AB 边的中点，AEBC 于点 E，BFAC 于点 F，AE，BF 相
7、交于点M，连接 DE， DF. 则 DE，DF 的数量关系为 .【拓展】如图 2，在 A B C 中 ， C B = C A ， 点 D 是 AB 边 的 中 点 ， 点 M 在 A B C 的 内 部 ， 且 MBC = MAC . 过点 M 作 MEBC 于点 E，MFAC 于点 F，连接 DE，DF. 求证：DE=DF；【推广】如图 3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA”变为“C BCA” ，其他条件不变，试探究 DE与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论 . ADBECMFADB ECMFMAB CDFE 图 3图 2图 12. 在ABC 中，AB=AC，分别以 AB 和 AC
8、 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是 BC 边中点中点，连接 MD 和 ME（1）如图 24-1 所示，若 AB=AC，则 MD 和 ME 的数量关系是 （2）如图 24-2 所示，若 AB AC 其他条件不变，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，请在图 24-3 中补全图形，并直接判断MED 的形状3、 如图 1，在四边形 ABCD中， ， EF、 分别是 BCAD、 的中点，连结 EF并延长，分别与BACD、的延长
9、线交于点 MN、 ，则 N（不需证明）（温馨提示：在图 1 中，连结 ，取 的中点 H，连结 、 ，根据三角形中位线定理，证明HEF，从而 2，再利用平行线性质，可证得 MN）问题一：如图 2，在四边形 中， AB与 相交于点 O， ， 、 分别是 BCAD、 的中点，连结 ，分别交 、 于点 、 ，判断 的形状，请直接写出结论问题二：如图 3，在 BC 中， ， D点在 C上， ABD， EF、 分别是 、 的中点，连结 并延长，与 的延长线交于点 G，若 60EF，连结 G，判断 的形状并证明(五）利用旋转1、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是 BC上的点，且EAF=45
10、，试探究23间的关系，并说明理由. 22BC、 、2、如图， 是等边 内一点，若 ， ， ，求 的度数PABC3AP4B5PCABPCBA5433已知：如图，正方形 ABCD 的边长为 a，BM，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足，连结 MC，NC，MN45MAN（1）填空：与ABM 相似的三角形是 ， = ；（用含 a 的代数式表示）BMDN（2）求 的度数； C（3）猜想线段 BM，DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论 4已知ABC 是等边三角形，E 是 AC 边上一点，F 是 BC 边延长线上一点，且 CF=AE，连接 BE、EF（1）如图 1，若 E 是 AC 边的中点，猜
11、想 BE 与 EF 的数量关系为 .（2）如图 2，若 E 是线段 AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段 BE、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明（3）如图 3，若 E 是线段 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段 BE、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明5已知：在ABC 中，BC=a ，AC=b ，以 AB 为边作等边三角形 ABD探究下列问题：（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则 CD= _ ；（2）如图 2，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时，a=b=6，且ACB=90
12、 ，则 CD= _ ；（3）如图 3，当ACB 变化，且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数AB CE F图1AB CE F图2AB CE F图3（六）用圆做辅助线来源:学科网 ZXXK1如图 1，在ABC 中，ABAC ， ABC. 过点 A 作 BC 的平行线与ABC 的平分线交于点 D， 连接CD （1）求证： CD；（2）点 G为线段 延长线上一点，将射线 GC 绕着点 G 逆时针旋转 ，与射线 BD 交于点 E若 ， 2A，如图 2 所示，求证：2DEGBCDS； 来源:学*科*网 Z*X*X*K若 2, GDkA，请直接写出 B的值（
13、用含 k的代数式表示） 2.（1）如图 1，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，且满足 BE=CF，联结 AE、BF 交于点H请直接写出线段 AE 与 BF 的数量关系和位置关系；（2）如图 2，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，联结 BF，过点 E 作 EGBF 于点 H，交AD 于点 G，试判断线段 BF 与 GE 的数量关系，并证明你的结论；（3）如图 3，在（2）的条件下，联结 GF、HD.求证：FG+BE BF;HGF= HDF.3在正方形 ABCD 外侧作直线 AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 BE，DE ，其中
14、DE 交直线 AP于点 F（1）依题意补全图 1；（2）若PAB=20 ，求 ADF 的度数；（3）如图 2，若 45PAB90，用等式表示线段 AB，FE，FD 之间的数量关系，并证明4. 将等腰 Rt ABC 和等腰 Rt ADE 按图 1 方式放置，A=90， AD 边与 AB 边重合， AB2 AD4将ADE 绕点 A 逆时针方向旋转一个角度 （0 180） ， BD 的延长线交直线 CE 于点 P.（1）如图 2， BD 与 CE 的数量关系是 , 位置关系是 ；（2）在旋转的过程中，当 AD BD 时，求出 CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点 P 运动的路线长.图 1FB C
15、A DEH图 2FB CDA GEH图 3FBCADGEHDEBACEDBCA BAC人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两 边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分 线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把 线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点， 连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四 边形出现， 对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移 动对角线， 补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例
16、换 ，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜 边上面作高线，比例中 项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点 圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆 ，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各 边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交 圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上 连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线 ，画图注意勿改变。假如图形较分
17、散，对称旋转去实验。基本作 图很关键，平 时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添 线，方法灵活 应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦 练，成 绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中 线，中 线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋 转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线 ，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特殊边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，
18、数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，遇到直径周角连；切点圆心紧相连，切 线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线， 连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。五 4 答案24解 ：（1）猜想 BE 与 EF 的数量关系为:BE=EF. 1 分（2）猜想 BE=EF 证明：将线段 BE 绕点 B 顺时针旋转 60，得线段 BE，连接 EC、E E，2 分EB E 为等边三角形，BE=E E , 又ABC 为等边三角形，AB=BC，ABC=ACB= 60 ，1=2, ABECB E（SAS） ，3 分AE=C E
19、 , A=3=60，又CF=AE，C E =CF，ACB=60，3=60，AC E =AC F=120，EC=ECE C E ECF（SAS） ，4 分E E =EF 4321 E FECBAAB CE FEBE=EF5 分（3）猜想 BE=EF证明：将线段 BE 绕点 B 顺时针旋转 60，得线段 BE，连接 EC、E E，EB E 为等边三角形，BE=E E , 又ABC 为等边三角形，AB=BC，ABC=ACB= 60 ，ABE=CB E , ABECB E（SAS） ，AE=C E , A=B C E =60，又CF=AE，C E =CF，ACB=60，B C E=60，EC E =EC F=60，EC=ECE E CEFC（SAS） ，6 分E E =EF又BE=E E , BE=EF7 分
