1、各地解析分类汇编（二）系列: 圆锥曲线21.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理】 （本小题满分 12分）已知点 0,1F，直线l： 1y， P为平面上的动点，过点 P作直线 l的垂线，垂足为 Q，且FQ（1）求动点 的轨迹 C的方程；（2）已知圆 M过定点 0,2D，圆心 M在轨迹 C上运动，且圆 M与 x轴交于 A、B两点，设 1Al， 2Bl，求 12l的最大值。【答案】 （1）设 ,Pxy，则 ,Qx， QFA， 0,2,1,2yxyxA 即 21，即 4y，所以动点 P的轨迹 C的方程 2x （2）解：设圆 M的圆心坐标为 ,ab，则 2b 圆 的半径为 2D 圆 的方程为 2
2、 2xay令 0y，则 222b，整理得， 240xa 由、解得， 不妨设 ,A， 2,B， 214la， 24la2212416ll22448166aa， 当 0时，由 得， 1221628la 当且仅当 a时，等号成立当 0时，由 得， 12l 故当 2a时， 12l的最大值为 2.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷（四）理】 （本小题满分 12 分）已知椭圆的焦距为 4，设右焦点为 ，离心率为 21(0)xyab1Fe（1）若 ，求椭圆的方程；2e（2）设 、 为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为 ， 的中点为 ，若原AB1AFM1BFN点 在以线段 为直径的圆上OMN证
3、明点 在定圆上；设直线 的斜率为 ，若 ，求 的取值范围k3e【答案】解：（）由 ， c=2，得 ， b=2 ,2e2a所求椭圆方程为 . （4 分）2184xy（）设 ，则 ，0(,)A0(,)Bxy故 ， . +2xyM， 2N， 由题意，得 .0OA化简，得 ，所以点 在以原点为圆心，2 为半径的圆上. （8 分）204xy 设 ，则 .0(,)A0220 220, 1,11()444kxxkykababab将 ， ，代入上式整理，2cea224bace得 4(1)1.ke因为 ， k20，所以 ， 420210所以 23e化简，得428,10.解之，得 ，3e 231,e故离心率的取值
4、范围是 . （12 分）,23.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】 （本小题满分 13 分）已知椭圆 的对称轴为M坐标轴, 离心率为 且抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点,224yx（）求椭圆 的方程；M（）设直线 与椭圆 相交于 A、 B 两点，以线段 为邻边作平行四边形 OAPB，其l ,OAB中点 P 在椭圆 上， 为坐标原点. 求点 到直线 的距离的最小值Ol【答案】解：（I）由已知抛物线的焦点为 ,故设椭圆方程为 ，(20)21(0)xyab则 所以椭圆 的方程为 5 分22,.ceab由 得 M2.4（II）当直线 斜率存在时，设直线方程为 ，l ykxm则由 2,1.4
5、ykxm消去 得， ， 6 分y22()440kx， 7 分2 216()8()mkm设 点的坐标分别为 ，则：ABP、 、 120,xyxy、 、，8 分012012 24,()1kx kk由于点 在椭圆 上，所以. 9 分PM2014xy从而 ，化简得 ，经检验满足式. 224(1)()kmk22mk10 分又点 到直线 的距离为：Ol11 分 2221| 12()kmdk当且仅当 时等号成立 12 分0k当直线 无斜率时，由对称性知，点 一定在 轴上，l Px从而点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，所以点 到直线 的距离为 1 . P(2,),0或 l1Ol所以点 到直线 的距离最小值为
6、. 13 分Ol24.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】 （本小题满分 14 分）已知点 是椭圆A的左顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，与2:109xyCt:1()lxmyRC,EF轴相交于点 .且当 时， 的面积为 . BmAEF63（）求椭圆 的方程；（）设直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点，试判断以 为直径的圆是AE3xMNMN否经过点 ？并请说明理由.【答案】解：（）当 时，直线 的方程为 ，设点 在 轴上方，0ml1xEx由 解得 ,所以 .21,9xyt22(,),()33ttEF423tF因为 的面积为 ，解得 .AF4162tt所以椭圆 C的方程为 . 4 分9x
7、y（）由 得 ，显然 .5 分21,9xym2(9)4160ymR设 ,12(,)()ExyF则 ，6 分124699y, . 1xy2x又直线 的方程为 ，由 解得 ，AE1(3)yx1(3),yx16(,)3yMx同理得 .所以 ,9 分26(3,)Nx1266(2,),(,)3yyBMBNxx又因为 12(,)(,)3yB121263644()()4)yxm121221()myy226(4364(9)()m.13 分22257185769m0所以 ,所以以 为直径的圆过点 . 14 分BMN B5.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】 （本小题共 13 分）在平面直角坐标系 中
8、，xOy动点 到两点 ， 的距离之和等于 ，设点 的轨迹为曲线 ， 直线 过点P(30)， ()， 4PCl且与曲线 交于 ， 两点(1,0)ECAB（）求曲线 的轨迹方程；（）是否存在 面积的最大值，若存在，求出 的面积；若不存在，说明理OAOB由.【答案】解.（）由椭圆定义可知，点 的轨迹 C 是以 ， 为焦点，长半P(30)， ()，轴长为 的椭圆3 分2故曲线 的方程为 5 分C214xy（）存在 面积的最大值. 6 分AOB因为直线 过点 ，可设直线 的方程为 或 （舍） l(,0)El1xmy0则21,4.xym整理得 7 分2()30y由 21(4)设 12()AxyB分解得 ，
9、 1234m2234my则 212|y因为 1AOBSEy 10 分2223143m设 ， ， 1()gttt则 在区间 上为增函数 3,)所以 4()gt所以 ，当且仅当 时取等号，即 32AOBS0mmax3()2AOBS所以 的最大值为 13 分AB6.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习（一）理】 （本小题满分 13 分）椭圆 T的中心为坐标原点 O，右焦点为 (2,0)F，且椭圆 T过点 (2,)E。 ABC的三个顶点都在椭圆 上，设三条边的中点分别为 MNP.（1）求椭圆 T的方程；（2）设 ABC的三条边所在直线的斜率分别为 123,k，且 0,12,
10、3ik。若直线,OMNP的斜率之和为 0，求证： 123为定值.【答案】解：（1）设椭圆 T的方程为 xyab，由题意知：左焦点为 (2,0)F所以 2|aE3，解得 ， b故椭圆 T的方程为2184xy （方法 2、待定系数法） 4 分（2）设 123(,)(,)(,)ABC， 123(,),)(,MstNtPst，由： 2xy， 28xy，两式相减，得到1111()()0所以 22111skxyt，即 12tks， 9 分同理 22ts， 3tks所以 312123()ttk，又因为直线 ,OMNP的斜率之和为 0，所以 1230 13 分方法 2：设直线 AB： 11()ytkxs，代入
11、椭圆 28xy，得到21 1()42)0kxtk122()ts1，化简得 12st以下同。 13 分7.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】 （本题共 13 分） 曲线 都是以原点 O 为12,C对称中心、离心率相等的椭圆点 M 的坐标是（0,1） ，线段 MN 是 的短轴，是 的长轴.直线 与 交于 A,D 两点（A 在 D 的左侧） ，与 交于 B,C 两点（B 在 C 的:(01)lymC2左侧） （）当 m= ， 时，求椭圆 的方程；3254AC12,C（）若 OBAN，求离心率 e 的取值范围【答案】解：（）设 C1的方程为 ,C2的方程为 ,其21xya21xyb中 2
12、分1,0abC1 ,C2的离心率相同，所以 ,所以 ，.3 分221ba1aC2的方程为 2axy当 m= 时，A ,C .5 分33(,)1(,)2a又 ,所以， ，解得 a=2 或 a= (舍)， .6 分545412C1 ,C2的方程分别为 ， .7 分21xy2xy（）A(- ,m), B(- ,m) 9 分am2maOBAN, , OBANk, .11 分2211aa21， ， 12 分2e221e2em， ， .13 分0m2018.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】 （本小题满分 14 分）已知 是抛物线 上一点，经过点 的直线 与抛物线 交于 两2,E2:Cypx(
13、2,0)lC,AB点（不同于点 ） ，直线 分别交直线 于点 .,AEB,MN（）求抛物线方程及其焦点坐标；（）已知 为原点，求证： 为定值.OMON【答案】解：（）将 代入 ，得2,E2ypx1所以抛物线方程为 ，焦点坐标为 3 分yx(,0)（）设 ， ， ，21(,)A2(,)B(,)(,)MNyx法一：因为直线 不经过点 ，所以直线 一定有斜率lEl设直线 方程为 (2)ykx与抛物线方程联立得到 ，消去 ，得：2()x240kyk则由韦达定理得：1212,y6 分直线 的方程为： ，即 ，AE12yx12yx令 ，得 9 分2x142My同理可得： 10 分2Ny又 ，4(,)(,)
14、mmOy所以 1244MNy1212()yy13 分4()k0所以 ，即 为定值 14 分OMNO2法二：设直线 方程为lxmy与抛物线方程联立得到 ，消去 ，得：2x240y则由韦达定理得：1212,ym6 分直线 的方程为： ，即 ，AE12yx12yx令 ，得 9 分2x142My同理可得： 10 分2Ny又 ，4(,)(,)mmOy12()4MNy1212()4yy(4)m 012 分所以 ，即 为定值 13 分OMNO29.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理】 （本小题共 14 分）已知椭圆 C：，左焦点 ，且离心率)0(12bayx )0,3(F23e(）求椭圆
15、 C 的方程；()若直线 与椭圆 C 交于不同的两点 （ 不是左、右顶)(:kmxyl NM,点） ，且以 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A.求证：直线 过定点,并求出定点的坐标.MNl【答案】解：（）由题意可知： 1 分223cbae解得 2 分1,2ba所以椭圆的方程为： 3 分142yx（II）证明：由方程组 4 分mkxy2 048)k422mx得 （0)4)(14)8(22km整理得 5 分0设 ),(),(221yxNM则 .6 分22121 4,48kmkx由已知， 且椭圆的右顶点为 7 分A)0,(A 8 分 0)2(211yx 21212 )(mxkxmky 即 04)(
16、)(21 x也即 10 分182422 kkk整理得： 11 分01652m解得 均满足 12 分562km或 0142m当 时，直线的 方程为 ，过定点（2，0）与题意矛盾舍去13 分lkxy当 时，直线的 方程为 ,过定点 k)56(),(故直线 过定点，且定点的坐标为 .14 分l ,10.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 （本小题共 14 分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，直线 交椭圆于不同的两x32(4,1)M:=+lyxm点 AB、（）求椭圆的方程；（）求 的取值范围；m（）若直线 不过点 ，求证：直线 的斜率互为相反数lMAB、【答
17、案】 （）设椭圆的方程为21xyab，因为 32e，所以 24ab，又因为 (4,1)，所以 26，解得 5,0，故椭圆方程为205xy 4 分（）将 ym代入21并整理得 225840xm，解得 7 分22=(8)-0(4)，（）设直线 ,MAB的斜率分别为 1k和 2，只要证明 120k设 1()xy， 2()，则2121840,55mx 9 分21221121 1()4()4yyxyxk 122121()(4()(45840()0xmxm分所以直线 的斜率互为相反数 14 分MAB、11.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】 （本小题满分 14 分）已知椭圆的中心在原点 O，短
18、半轴的端点到其右焦点 2,0F的距离为 10，过焦点 F 作直线 l，交椭圆于,B两点（）求这个椭圆的标准方程；（）若椭圆上有一点 C，使四边形 AOBC恰好为平行四边形，求直线 l的斜率【答案】 （）由已知，可设椭圆方程为 210xyab， 1 分则 10a， c 2 分所以 21046b， 3 分所以 椭圆方程为2xy 4 分（）若直线 l轴，则平行四边形 AOBC 中，点 C 与点 O 关于直线 l对称，此时点 C 坐标为 2,0c因为 ca ，所以点 C 在椭圆外，所以直线 与 x轴不垂直 6 分于是，设直线 l的方程为 2ykx，点 1,Axy， 2,By， 7 分则 21,06xy
19、k整理得， 22235030k 8 分21235x， 9 分所以 122ky 10 分因为 四边形 AOBC为平行四边形，所以 ， 11 分所以 点 的坐标为2201,35k， 12 分所以 2201353516kk， 13 分解得 2k，所以 1k 14 分12.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】 （本小题满分 14 分）如图，已知抛物线 的焦点为 过点 的直线交抛物线于 ，24yxF(2,0)P1(,)Axy两点，直线 ， 分别与抛物线交于点 ， 2(,)BxyAFBMN（）求 的值；12（）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .证明： 为定值MN1k2k12【答案】 （）解：
20、依题意，设直线 的方程为 1 分AB2xmy将其代入 ，消去 ，整理得 4 分24yx2480从而 5 分128（）证明：设 ， 3(,)Mxy4(,)Nxy则 7 分213434112 122 234ykxy设直线 的方程为 ，将其代入 ，消去 ，AMnyx整理得 9 分240yn所以 10 分13同理可得 11 分24y故 13 分11212344ky由（）得 ，为定值 14 分12k13.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】(本小题满分 12 分) 已知椭圆 的焦点在 轴上，离心率为 ，对称轴为坐标轴，且经过点 Ex123(1,)2（I）求椭圆 的方程；（II）直线 与椭圆
21、相交于 、 两点， 为原点，在 、 上分别2ykEABOAOB存在异于 点的点 、 ，使得 在以 为直径的圆外，求直线斜率 的取值范围OMNONk【答案】 （I）依题意，可设椭圆 的方程为 21(0)xyab由 221,32cacbc 椭圆经过点 ，则 ，解得3()219421c 椭圆的方程为 24xy 4（II）联立方程组 ，消去 整理得 213kxyy2(43)1640kxk5 直线与椭圆有两个交点， ，解得 22(16)(4)0k214k 6 原点 在以 为直径的圆外，OMN 为锐角，即 O而 、 分别在 、 上且异于 点，即 AB0AB 8设 两点坐标分别为 ，, 12(,)(,)xy
22、则 121(,),Oxy 21212()4kxkx222416(1)403kk解得， 243k 1综合可知： ,3231214.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理】 （满分 12 分）已知椭圆21yxab的一个顶点为 B ，离心率 ，直线 l 交椭圆于 M、 N 两点(0)ab(0,4)e5（）若直线 的方程为 ，求弦 MN 的长；lyx（II）如果 BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 的方程l【答案】 （1）由已知 ，且 ，即 ，4b5ca21c ，解得 ，椭圆方程为 ； 3 分25a202016yx由 与 联立，2480xy4x消去 得 ， ， ，910249x所求弦长 ； 6 分21|MN（2）椭圆右焦点 F 的坐标为 ，(,0)设线段 MN 的中点为 Q ，0xy由三角形重心的性质知 ，又 ，2B(0,4)B ，故得 ，0(2,4)(,)xy3,2xy求得 Q 的坐标为 ； 8 分3设 ，则 ，12(,)(,)MxyN12126,4xy且 ， 10 分2,06y以上两式相减得 ，1212()()006xxyy，12124455MNykxy故直线 MN 的方程为 ，即 12 分6(3)x6280xy
