1、1考点规范练 38 空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.在下列命题中,不是公理的是( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线2.(2017 江西宜春中学 3 月模拟)已知 m,n 是两条不同直线, , , 是三个不同平面,下列命题正确的是( )A.若 m ,n ,则 m nB.若 , ,则 C.若 m ,m ,则 D.若 m ,n ,则 m n3.(2017 河南濮阳一模)已知 m,n 是两条不
2、同的直线, , 是两个不重合的平面 .命题 p:若 =m ,m n,则 n ;命题 q:若 m ,m , =n ,则 m n.那么下列命题中的真命题是( )A.p q B.p( q)C.(p) q D.(p)( q)4.2如图所示, ABCD-A1B1C1D1是长方体, O 是 B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O 三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O 不共面D.B,B1,O,M 共面5.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 和 a,且长为 a 的棱与长为 的棱异面,则 a 的取值范2 2围是( )A.(0,
3、) B.(0, )2 3C.(1, ) D.(1, )2 36.l1,l2表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2是异面直线, q:l1,l2不相交,则( )A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件C.p 是 q 的充分必要条件D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件7.b 是平面 外一条直线,下列条件中可得出 b 的是( )A.b 与 内一条直线不相交B.b 与 内两条直线不相交C.b 与 内无数条直线不相交D.b 与 内任意一条直线不相交8.已知直线 l平面 ,直线 m平面 ,则 是 l m 的 ( )A.充分不必要
4、条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.用 a,b,c 表示三条不同的直线, 表示平面,给出下列命题: 若 a b,b c,则 a c; 若 a b,b c,则 a c; 若 a ,b ,则 a b; 若 a ,b ,则 a b; 若 a b,b c,则 a c; 若 a b c,则 a,b,c 共面 .其中真命题的序号是 . 310.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G 四点共面;(2)几何体 A1GH-ABC 是三棱台;(3)平面 EFA1平面 BCHG.能力提升11.以下四
5、个命题中,4 不共面的四点中,其中任意三点不共线; 若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则点 A,B,C,D,E 共面; 若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面; 依次首尾相接的四条线段必共面 .正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.312.若空间三条直线 a,b,c 满足 a b,b c,则直线 a 与 c( )A.一定平行 B.一定相交C.一定是异面直线 D.一定垂直13.(2017 江西宜春二模)在三棱锥 P-ABC 中, PA,PB,PC 两两互相垂直,且 AB=4,AC=5,则 BC 的取值范围是 . 14.已知 m,n,l 为不
6、同直线, , 为不同平面,给出下列命题,其中真命题的序号是 (填上所有真命题的序号) . m l,n lm n;m ,n m n;m ,n , m n;m , ,n m n;m 与 l 异面, n 与 l 异面 m 与 n 异面;m 与 l 共面, n 与 l 共面 m 与 n 共面 .15.已知空间四边形 ABCD 中, E,H 分别是边 AB,AD 的中点, F,G 分别是边 BC,CD 的中点 .求证:(1) BC 与 AD 是异面直线 .(2)EG 与 FH 相交 .5高考预测16.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱
7、B1B 上,且满足B1F=2BF.(1)求证: EF A1C1;(2)在棱 C1C 上确定一点 G,使 A,E,G,F 四点共面,并求此时 C1G 的长 .参考答案考点规范练 38 空间点、直线、平面之间的位置关系1.A 解析选项 A 是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的 .2.D 解析 m,n 平行于同一个平面, m,n 可能相交、平行、异面,故 A 错误; , 垂直于同一个平面 , , 可能相交,可能平行,故 B 错误;6 , 平行于同一条直线 m,故 , 可能相交,可能平行,故 C 错误;垂直于同一个平面的两条直线平行,故 D 正确 .3.C 解析垂直平面内的一
8、条直线,不能确定直线与平面垂直,所以命题 p 是假命题;命题 q 满足直线与平面平行的性质定理,所以命题 q 是真命题,所以 p 是真命题,可得( p) q 是真命题 .4.A 解析连接 A1C1,AC,则 A1C1 AC,所以 A1,C1,A,C 四点共面 .所以 A1C平面 ACC1A1.因为 M A1C,所以 M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 .同理 A,O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上,所以 A,M,O 三点共线 .5.A 解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体,长为 a 的棱长一定大于
9、0 且小于 .26.A 解析 l1,l2是异面直线 l1,l2不相交,即 pq;而 l1,l2不相交 l1,l2是异面直线,即 q p.故 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 .7.D 解析只有在 b 与 内所有直线都不相交,即 b 与 无公共点时, b .8.A 解析若 ,则由 l 知 l ,又 m ,可得 l m,若 与 相交(如图),设 =n ,当 m n 时,由 l 可得 l m,而此时 与 不平行,于是 是 l m 的充分不必要条件,故选 A.9. 解析 由平行线的传递性(公理 4)知 正确; 举反例: 在同一平面 内, a b,b c,有 a c; 举反例: 如图的长方
10、体中, a ,b ,但 a 与 b 相交; 垂直于同一平面的两直线互相平行,知 正确; 显然正确; 由三棱柱的三条侧棱知 错 .10.证明(1) GH 是 A1B1C1的中位线, GH B1C1.又 B 1C1 BC,GH BC,B ,C,H,G 四点共面 .(2)A 1G AB,AA 1与 BG 必相交 .127设交点为 P,则 .1=1=12同理设 CH AA1=Q,则 ,1=12P 与 Q 重合,即三条直线 AA1,GB,CH 相交于一点 .又由棱柱的性质知平面 A1GH平面 ABC, 几何体 A1GH-ABC 为棱台 .(3)E ,F 分别为 AB,AC 的中点, EF BC.EF 平
11、面 BCHG,BC平面 BCHG,EF 平面 BCHG.A 1G EB, 四边形 A1EBG 是平行四边形,A 1E GB.A 1E平面 BCHG,GB平面 BCHG,A 1E平面 BCHG.A 1E EF=E, 平面 EFA1平面 BCHG.11.B 解析 中显然是正确的; 中若 A,B,C 三点共线,则 A,B,C,D,E 五点不一定共面; 构造长方体或正方体,如图显然 b,c 异面,故不正确; 中空间四边形中四条线段不共面,故只有 正确 .12.D 解析两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直,故选 D.13.(3, ) 解析如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为
12、 x,y,z,且 x2+y2=16,x2+z2=25,求41的取值范围,转化为 y2+z2=41-2x2,2+2x 2+y2=16, 0x4, 41-2x2(9,41),即 BC 的取值范围是(3, ).4114. 解析由平面的基本性质 4 知 正确;平行于同一平面的两条直线可以平行、相交,也可以异面,故 错误;m n,故 为真命题; m n,故 为真命题;或 8如图(1),长方体中, m 与 l 异面, n1,n2,n3都与 l 异面,但 n2与 m 相交, n1与 m 异面, n3与 m 平行,故 为假命题;如图(2),长方体中, m 与 l 共面, n 与 l 共面,但 m 与 n 异面
13、,故 为假命题 .(1)(2)15.证明(1)假设 BC 与 AD 共面,不妨设它们所共平面为 ,则 B,C,A,D .所以四边形 ABCD 为平面图形,这与四边形 ABCD 为空间四边形相矛盾,所以 BC 与 AD 是异面直线 .(2)如图,连接 AC,BD,则 EF AC,HG AC,因此 EF HG.同理 EH FG,则四边形 EFGH 为平行四边形 .又 EG,FH 是 EFGH 的对角线,所以 EG 与 FH 相交 .16.(1)证明如图所示,连接 B1D1,ABCD-A 1B1C1D1为正方体, 四边形 A1B1C1D1为正方形 .A 1C1 B1D1.BB 1平面 A1B1C1D
14、1,A 1C1 BB1.B 1D1 BB1=B1,A 1C1平面 BB1D1D.9EF 平面 BB1D1D,EF A1C1.(2)解如图所示,假设 A,E,G,F 四点共面,则 A,E,G,F 四点确定平面 AEGF,ABCD-A 1B1C1D1为正方体, 平面 AA1D1D平面 BB1C1C. 平面 AEGF平面 AA1D1D=AE,平面 AEGF平面 BB1C1C=GF, 由平面与平面平行的性质定理得 AE GF,同理可得 AF GE,因此四边形 AEGF 为平行四边形,GF=AE.在 Rt ADE 中, AD=a,DE= DD1= , ADE=90,12 2由勾股定理得 AE= a,2+2=2+(2)2=52在直角梯形 B1C1GF 中,下底 B1F= BB1= a,腰 B1C1=a,GF=AE= a,23 23 52过点 G 作 GH BB1,交 BB1于点 H.显然四边形 B1C1GH 为矩形 .故有 C1G=B1H,GH=C1B1=a.在 Rt FGH 中, FH=B1F-C1G,GH=a.由勾股定理可得 GF= 2+(1-1)2= a,2+(23-1)2=52结合图形可知 C1GB1F,解得 C1G= a.16
