1、2018 年高考数学(理科)模拟试卷(三)(本试卷分第卷和第卷两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟)第卷(选择题 满分 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意)12016全国卷设集合 Sx|(x2)(x3)0 ，Tx |x0，则 ST( )A2,3 B(，23 ，)C3，) D(0,2 3，)22016西安市八校联考设 z1i(i 是虚数单位) ，则 ( )2z zAi B2i C1i D032017福建质检已知 sin ，则 cosxcos Error! x Error!的值为( )(x 3) 13 3A B. C D.3
2、3 33 13 1342016天津高考设a n是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q cb Bb ac Cabc Dc ba72016江苏重点高中模拟 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为Nn(mod m)，例如 104( mod 6)下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理 执行该程序框图，则输出的 n 等于( )A17B16C15D1382017湖北武汉调研已知 x，y 满足Error!如果目标函数 z 的取值范围为0,2) ，y 1x m则实数 m 的取值范围为( )A. B.0，12 ( ，12C. D( ， 0( ，12)92017衡水四调 中国古代数
3、学名著九章算术中记载：“今有羡除” 刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪 ”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF 均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10, EF 到平面ABCD 的距离为 3，CD 与 AB 间的距离为 10，则这个羡除的体积是( )A110 B116 C118 D120102017山西太原质检设 D 为ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 112017河南郑州检测已知点 F2、P 分别为双曲线 1(
4、a0，b0)的右焦点与x2a2 y2b2右支上的一点，O 为坐标原点，若 ( )， 2 2，且OM 12OP OF2 OF2 F2M 2 a 2b 2，则该双曲线的离心率为 ( )OF2 F2M A. B. C. D23 12 32 3 3122017山西联考已知函数 f(x)(3x1)e x1 mx (m4e)，若有且仅有两个整数使得 f(x)0，则实数 m 的取值范围是 ( )A. B.(5e，2 52e， 83e2)C. D. 12， 83e2) 4e， 52e)第卷(非选择题 满分 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)132017济宁检测已知(x 2
5、1)(x2) 9a 0a 1(x1) a 2(x1) 2a 11(x1) 11，则a1a 2a 11 的值为_142017惠州一调已知数列 an，b n满足a1 ，a nb n1，b n1 ，nN *，则 b2017_.12 bn1 a2n152017河北正定统考已知点 A(0,1)，抛物线 C：y 2ax(a0)的焦点为 F，连接 FA，与抛物线 C 相交于点 M，延长 FA，与抛物线 C 的准线相交于点 N，若|FM|MN| 13，则实数 a 的值为_162016成都第二次诊断已知函数 f(x)x sin2x.给出以下四个命题：x0，不等式 f(x)1，n1 且对于tT，不等式 log3m
6、log3nt 恒成立，求 mn 的最小值参考答案(三)第卷(选择题 满分 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意)12016全国卷设集合 Sx|(x2)(x3)0 ，Tx |x0，则 ST( )A2,3 B(，23 ，)C3，) D(0,2 3，)答案 D解析 集合 S(，23，) ，结合数轴，可得 ST(0,23 ，)22016西安市八校联考设 z1i(i 是虚数单位) ，则 ( )2z zAi B2i C1i D0答案 D解析 因为 1i 1i1i 1i0，故选 D.2z z 21 i 21 i1 i1 i32017福建质检已知
7、sin ，则 cosxcos Error! x Error!的值为( )(x 3) 13 3A B. C D.33 33 13 13答案 B解析 因为 sin sinx cosx ，所以(x 3) 12 32 13cosxcos cosx cosx sinx cosx sinx ，故选 B.(3 x) 12 32 32 32 3( 32cosx 12sinx) 3342016天津高考设a n是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q0)，a 2n1 a 2na 1q2n2 a 1q2n1 a 1q2n2 (1q)若q cb Bb ac Cabc Dc ba答案 C解析 因为 a2 ，b 3 ，
8、所以 ab，排除 (12) (14) (2log23) 12 (13) (127) B、D； c sinxdx cosxError! (coscos0) ，所以 bc，所以 abc，选140 14 14 12 (14) C.72016江苏重点高中模拟 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为Nn(mod m)，例如 104( mod 6)下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理 执行该程序框图，则输出的 n 等于( )A17B16C15D13答案 A解析 当 n10 时，被 3 除余 2，被 5 除也余 2 的最小整数 n17，故选 A.82017湖北武汉调研已知 x，
9、y 满足Error!如果目标函数 z 的取值范围为0,2) ，y 1x m则实数 m 的取值范围为( )A. B.0，12 ( ，12C. D( ， 0( ，12)答案 C解析 由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数 z 的几何意义y 1x m为可行域内的点(x ，y)与 A(m，1)连线的斜率，由Error!得Error!即 B(2，1) 由题意知 m2 不符合题意，故点 A 与点 B 不重合，因而当连接 AB 时，斜率取到最小值 0.由 y1 与 2xy20，得交点 C ，在点 A 由点 C(12， 1)向左移动的过程中，可行域内的点与点 A 连线的斜率小于 2，因而目标函数
10、的取值范围满足z0,2) ，则 m0，b0)的右焦点与x2a2 y2b2右支上的一点，O 为坐标原点，若 ( )， 2 2，且OM 12OP OF2 OF2 F2M 2 a 2b 2，则该双曲线的离心率为 ( )OF2 F2M A. B. C. D23 12 32 3 3答案 A解析 设双曲线的左焦点为 F1，依题意知，|PF 2|2c，因为 ( )，所以点OM 12OP OF2 M 为线段 PF2 的中点因为 2 a 2b 2，所以 ，所以 cccosPF 2xOF2 F2M OF2 F2M c22c2，所以 cosPF 2x ，所以PF 2x60 ，所以PF 2F1120，从而|PF 1|
11、2 c，根据12 12 3双曲线的定义，得|PF 1| PF2|2a，所以 2 c2c2a，所以 e ，故选3ca 13 1 3 12A.122017山西联考已知函数 f(x)(3x1)e x1 mx (m4e)，若有且仅有两个整数使得 f(x)0，则实数 m 的取值范围是 ( )A. B.(5e，2 52e， 83e2)C. D. 12， 83e2) 4e， 52e)答案 B解析 由 f(x)0，得(3x1)e x1 mx0，即 mx(3x1)e x1 ，设 g(x)mx，h(x)(3x 1)e x 1，则 h(x) 3e x1 (3x1)e x1 (3x4)e x1 ，由 h( x)0，得
12、(3x 4)0，即 x ，故当 x 时，函数 h(x)取得极大值在同一平面直角坐标43 43系中作出 yh(x )，yg(x)的大致图象如图所示，当 m0 时，满足 g(x)h(x)的整数解超过两个，不满足条件；当 m0)的焦点为 F，连接 FA，与抛物线 C 相交于点 M，延长 FA，与抛物线 C 的准线相交于点 N，若|FM|MN| 13，则实数 a 的值为_答案 2解析 依题意得焦点 F 的坐标为 ，设 M 在抛物线的准线上的射影为 K，连接(a4，0)MK，由抛物线的定义知|MF | MK|，因为|FM| MN|1 3，所以| KN| KM|2 1，又2kFN ，k FN 2 ，所以
13、2 ，解得 a .0 1a4 0 4a |KN|KM| 2 4a 2 2162016成都第二次诊断已知函数 f(x)x sin2x.给出以下四个命题：x0，不等式 f(x)0 使得 f(x)2x，故错误；(6) 6 32 6(2)由图象知不存在 yk 的直线和 f(x)的图象有四个不同的交点，故错误；(3)f(a x)f(ax)2a2sin2acos2x，令 sin2a0，则 a (kZ )，即(a，a)，其中k2a (kZ )均是函数的对称中心，故正确；k2(4)f(a1)f(a 2)f( a3)3，则 a1a 2a 3sin2a 1sin2a 2 sin2a33，即 3a2sin(2a 2
14、2d)sin2a 2sin(2a 22d)3 ，3a 2sin2a 22sin2a 2cos2d 3，3a 2sin2a 2(12cos2d)3，sin2a 2 a2，31 2cos2d 31 2cos2d则问题转化为 f(x)sin2x 与 g(x) x 的交点个数31 2cos2d 31 2cos2d如果直线 g(x)要与 f(x)有除(，0) 之外的交点，则斜率的范围在 ，而直线的( 43， 2)斜率 的取值范围为 (，13 ，)，故不存在除(，0)之外的交点，故31 2cos2da2 ， 正确三、解答题(共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)172016武
15、汉调研( 本小题满分 12 分) 在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a，b，c，a 4cos C，b1.1a(1)若 A 90，求ABC 的面积；(2)若ABC 的面积为 ，求 a，c .32解 (1)a 4cosC4 ，1a a2 b2 c22ab 2a2 1 c2ab1，2c 2a 21.(2 分)又A90 ，a 2b 2c 2 c21，2c 2a 21c 22，c ，a ，(4 分)2 3S ABC bcsinA bc 1 .(6 分)12 12 12 2 22(2)S ABC absinC asinC ，则 sinC .12 12 32 3aa 4cosC，sinC ，1a 3
16、a 2 21，化简得(a 27) 20，14(a 1a) ( 3a)a ，从而 cosC ，714(a 1a) 277c 2.(12 分)a2 b2 2bccosC7 1 271277182016广州四校联考( 本小题满分 12 分) 自 2016 年 1 月 1 日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个” “生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排(单位：周) 14 15 16 17 18有
17、生育意愿家庭数 4 8 16 20 26(1)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14 周与 16 周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？(2)假设从 5 种不同安排方案中，随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率；如果用 表示两种方案休假周数和，求随机变量 的分布列及期望解 (1)由表中信息可知，当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为P1 ；(2 分)4200 150当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 P2 .(4 分)16200 225(2)设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”
18、为事件 A，由已知从 5 种不同安排方案中，随机地抽取 2 种方案选法共有 C 10(种)，(5 分)25其和不低于 32 周的选法有(14,18)，(15,17)，(15,18) ，(16,17) ，(16,18)，(17,18)，共 6 种，由古典概型概率计算公式得 P(A) .(7 分)610 35由题知随机变量 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35.P(29) 0.1，P( 30) 0.1，P(31) 0.2，P( 32)110 110 210 0.2，P( 33) 0.2 ，P (34) 0.1，P(35) 0.1，210 210 110 110因而 的分布列为 2
19、9 30 31 32 33 34 35P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1(10 分)所以 E()290.1300.1 310.2320.2330.2340.1350.132.(12分)192017吉林模拟( 本小题满分 12 分) 如图所示，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA1ABAC 1，E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AE A1B1，D 为棱 A1B1 上的点(1)证明 DFAE；(2)是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，1414说明点 D 的位置；若不存在，说明理由解 (1)证明：因为 AEA 1B1，
20、A 1B1AB ，所以 AEAB.因为 AA1AB，AA 1AE A，所以 AB平面 A1ACC1.因为 AC平面 A1ACC1，所以 ABAC .以 A 为坐标原点，AB，AC，AA 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则有 A(0,0,0)，E ，F ，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)(4 分)(0，1，12) (12，12，0)设 D(x1，y 1，z 1)， 且 0,1，即(x 1，y 1，z 11)(1,0,0)，则 D(，0,1)，A1D A1B1 所以 .DF (12 ，12， 1)因为 ，所以 0，所以 DFAE.(6 分)AE (
21、0，1，12) DF AE 12 12(2)假设存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 .1414由题意可知平面 ABC 的一个法向量为 (0,0,1)(8 分)AA1 设平面 DEF 的法向量为 n(x，y，z)，则Error!因为 ， ，FE ( 12，12，12) DF (12 ，12， 1)所以Error!即Error!令 z2(1) ，则 n(3,1 2，2(1)是平面 DEF 的一个法向量(10 分)因为平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ，所以|cos ，n|1414 AA1 ，|AA1 n|AA1 |n| 1414即 ，解得 或
22、 (舍去) ，所以当 D 为 A1B1 的中点时|21 |9 1 22 41 2 1414 12 74满足要求故存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ，此时 D 为1414A1B1 的中点(12 分)202016兰州质检( 本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点坐标是 F1(1,0)、F 2(1,0)，过点 F2 垂直于长轴的直线 l 交椭圆 C 于 B、D 两点，且|BD| 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 M、N ，且满足 ？若存在，求出直线 l1 的方程；若不存在，请说明理由P
23、M PN 54解 (1)设椭圆的方程是 1( ab0)，则 c1，x2a2 y2b2|BD |3， 3，2b2a又 a2b 21，a2，b ，3椭圆 C 的方程为 1.(4 分)x24 y23(2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为 yk( x2)1，由Error!得(34k 2)x28k(2k1) x16k 216k80，因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 M、N ，设 M(x1，y 1)、N (x2，y 2)，所以 8k(2k 1) 24(34k 2)(16k216k8)0，所以 k .12又 x1x 2 ，x 1x2 ，(8 分)8k2k 13 4k2
24、16k2 16k 83 4k2因为 (x 12)(x 22) ( y11)( y21) ，PM PN 54所以(x 12)(x 22)(1 k 2) ，54即x 1x22( x1x 2)4(1 k 2) ，54所以 (1k 2) .16k2 16k 83 4k2 28k2k 13 4k2 4 4 4k23 4k2 54解得 k ，因为 k ，所以 k .12 12 12故存在直线 l1 满足条件，其方程为 y x.(12 分)12212017广东广州调研( 本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)ln (x1)x x2，g( x)12(x1)ln ( x 1)x (a1) x2 x3(aR
25、)16(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若当 x0 时，g(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围解 (1)函数 f(x)ln ( x1) x x2，定义域为(1，)，(2 分)12则 f(x ) 0，所以 f(x)的单调递增区间为(1，) ，无单调递减区间(4 分)x2x 1(2)由(1)知，当 x0 时，有 f(x)f(0)0，即 ln (x1)x x2.12g(x)ln (x1)2(a1)x x2 2( a1)x x2(2a1)x.(6 分)12 (x 12x2) 12当 2a10，即 a 时，且 x0 时，g(x)0，12所以 g(x)在0，)上是增函数，且 g(0)0，所以当
26、x0 时，g( x)0，所以 a 符合题意(8 分)12当 a0，两根 x1 0，1 2a 2a 12a 52当 x(0 ，x 2)时， (x)1，n1 且对于tT，不等式 log3mlog3nt 恒成立，求 mn 的最小值解 (1)|x1|x 2|x1( x2)|1，所以|x1| |x2|1，所以 t 的取值范围为(，1 ，即 Tt| t1(5 分)(2)由(1)知，对于tT，不等式 log3mlog3nt 恒成立，只需 log3mlog3nt max，所以log3mlog3n1，又因为 m1，n 1，所以 log3m0，log 3n0，又 1log 3mlog3n 2 (log3mlog 3n 时取等号，此时 mn)，(log3m log3n2 ) log3mn24(8 分)所以(log 3mn)24，所以 log3mn2，mn9，所以 mn2 6，即 mn 的最小值为 6(此时 mn3)(10 分)mn
