1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷理）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.（2017 北京卷理）若集合 ， 或 ，则 =（ ）21|Ax|1Bx3xABA. B. 1|2x3|C. D.【答案】：A【解析】： ，故选 A21Bx【考点】：集合的基本运算【难度】：易2.（2017 北京卷理）若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值1ia a范围是（ ）A. B. C. D.,1,1,1,【答案】：B【解析】： ，因为对应的点在第二象限，所以 i1izaa 01a，解得： ，故选 B1【考点】：
2、复数代数形式的四则运算【难度】：易3.（2017 北京卷理）执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）sA.2B.C.D.325385【答案】：C【解析】： 时， 成立，第一次进入循环 ，0k31,2ks成立，第二次进入循环, ， 成立，第三次进入循13213,ks环 ， 否，输出 ，故选 C152,3ks5【考点】：程序框图【难度】：易4.（2017 北京卷理）若 ， 满足 则 的最大值为（ xy32xy， ， 2xy）A.1 B.3 C.5 D.9【答案】：D【解析】：如图，画出可行域， 表示斜率为 的一组平行线，当过点 时，2zxy123,C目标函数取得最大值 ，故选 Dmax39z【考
3、点】：二元一次不等式组与简单的线性规划【难度】：易5.（2017 北京卷理）已知函数 ，则 （ ）1()3()xf()fxA.是奇函数，且在 R 上是增函数 B.是偶函数，且在 R 上是增函数 C.是奇函数，且在 R 上是减函数 D.是偶函数，且在 R 上是减函数【答案】：A【解析】： ，所以函数是奇函数，并且 是增函数,133xxxf fx 3x是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选 A13x【考点】：函数奇偶性+单调性【难度】：易6.（2017 北京卷理）设 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是mnmn“ 的（ ）0np由题知二面角 为锐角，所以它的大小为 BPD
4、A3（）由题意知 ， ， 2(1,)M(,40)D2(3,)MC设直线 与平面 所成角为 ，则 CBP|26sin|co, 9CMn所以直线 与平面 所成角的正弦值为 D269【考点】：立体几何+空间向量（二面角、正弦值）【难度】：易17（本小题 13 分）为了研究一种新药的疗效，选 名患者随机分成两组，每组各 名，一组服药，另一组1050不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标 和 的数据，并制成下图，其中 xy“表示服药者， 表示未服药者“（）从服药的 名患者中随机选出一人，求此人指标 的值小于 的概率；50y60（）从图中 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 的值大于,ABCD
5、x的人数，求 的分布列和数学期望 ；1.7()E（）试 判 断 这 名 患 者 中 服 药 者 指 标 数 据 的 方 差 与 未 服 药 者 指 标 数 据 的 方 差 的0yy大 小 （ 只 需 写 出 结 论 ）【答案】：（） （） （）大于0.31【解析】：（）由图知，在服药的 50 名患者中，指标 的值小于 60 的有 15 人，y所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 的值小于 60 的概率为 150.3（）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 Cx所以 的所有可能取值为 0,1,22122444CC1 1(0),(),()636
6、PPP所以 的分布列为0 1 2P636故 的期望 121()03E（）在这 100 名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方yy差【考点】：分布列+数学期望+概率【难度】：易18 （本小题 14 分）已知抛物线 ： 过点 过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点C2ypx(1,)P1(0,)2lC， ，过点 作 轴的垂线分别与直线 ， 交于点 ， ，其中 为原点MNONABO（）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证： 为线段 的中点ABM【答案】：（）焦点坐标为 ，准线方程为 （）见解析1(,0)414x【解析】：（）由抛物线 C： 过点 ，得 2ypx(,)
7、P2p所以抛物线 的方程为 抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 1(,0)414x（）当直线 的斜率不存在或斜率为 0 时，显然与抛物线只有一个交点不满足题MN意，所以直线 的斜率存在且不为 0设 为点 ，过 的直线 方程为 （ ） ，设 ，1(0,)2Q12ykx01(,)Mxy，显然， ， 均不为 0,Nxy1x2由 ，得 2kyx24(4)1kx考虑 ，由题意 ，所以 221()k012k则 ，12kx 4由题意可得 ， 横坐标相等且同为 ，AB1x因为点 P 的坐标为 ，所以直线 OP 的方程为 ，点 A 的坐标为 (1,)yx1(,)x直线 ON 的方程为 ，点 B 的坐标为 2yx
8、21(,)yx若要证明 为 的中点，只需证 ，即证 ，即证AMABM121yx，1212xyx将 代入上式，12kyx即证 ，即证 21212()()kkx1212()()0kxx将代入得 ，化简有 恒成立，04kk所以 恒成立ABMy故 A 为线段 BM 的中点【考点】：椭圆的性质+直线与椭圆的关系【难度】：中19 （本小题 13 分）已知函数 ()cosxfe（）求曲线 在点 处的切线方程；()yf0,()f（）求函数 在区间 上的最大值和最小值x2【答案】（1） （2）最大值为 ，最小值为1y(0)1f()2f【解析】 （）因为 ，所以 ()ecosxf()ecosin1,(0)xfxf
9、 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 0f ()yf,0y（）设 ，则()ecsin1xhxoicos)2esinx x当 时， ，(0,)2()0h所以 在区间 上单调递减()hx0,2所以对任意 有 ，即 (,()0hx()0fx所以函数 在区间 上单调递减()fx,2因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ()f0,(0)1f()2f【考点】：导数的计算+导数在研究函数中的应用【难度】：中20（本小题 13 分）设 和 是两个等差数列，记nab，其中 表示12max,n ncb(1,23)12max,s这 个数中最大的数12,s（）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；nn123
10、,cnc（）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存MmnM在正整数 ，使得 是等差数列m12,mc【答案】见解析【解析】 （）易知 ， ， 且 ， ，1a23a1b235b所以 10,cb，212max,max,13 3,3,2,532cb下面证明：对任意 且 ，都有 n*N 1ncba当 且 时，k*2k 1()()kba(21)kn()()k 且102n 1()()0kba 1()()kbanban因此对任意 且 ， ，则 n*N2 nc1c又 ，21c故 对 均成立，从而 是等差数列n*nc（）设数列 和 的公差分别为 ，下面我们考虑 的取值nab,abdnc对 ， ，
11、 ，1b2n考虑其中任意项 且 ，i(i*N1)in ian1)badd1()()abi下面分 ， ， 三种情况进行讨论0ada0（1）若 ，则ibn1()(1bid若 ，则b ()0i a则对于给定的正整数 而言， 1ncb此时 ，故 是等差数列11nca ，则0bd()()(0inbaid则对于给定的正整数 而言， 1ncban此时 ，故 是等差数列11nbcn此时取 ，则 是等差数列，命题成立m23,c（2）若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为负数的一次函数0adabdnn故必存在 ，使得当 时，m*Nm 0abd则当 时，n 1()()(1i abbanin) (,1)iin*N
12、因此，当 时， cb此时 ，故 从第 项开始为等差数列，命题成立11ncnm（3） ，则此时 为一个关于 的一次项系数为正数的一次函数0adabdn故必存在 ，使得当 时，s*Ns 0abd则当 时，n()()(inabbain) (,1)iin*N 因此当 时， s cba此时 nnnc11()baabddn令 ， ，0adA1abB1bC下面证明 对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时，ncCMmnM若 ，则取 （ 表示不等于 的最大整数）0C |1BmAxx当 时，n |()cMBAM 此时命题成立若 ，则取0C|1CBmA当 时n |(1)c MCBABA MC此时命题成立因此，对任意正数 ，使得当 时， Mnm ncM综合以上三种情况，命题得证【考点】：等差数列+不等式【难度】：易
