1、2014 届高三 2 月联考理科数学试卷1若复数 1zi，其中 i是虚数单位，则复数 z的模为（ ）（A） 2 （B） 2 （C） 3 （D） 2【答案】A【解析】试题分析： ，21211iziiii，故选 A.1zi考点：1 复数的运算；2、复数的模.2已知命题 p：“ 1a是 0ax,+2”的充分必要条件” ；命题 q：“存在 0xR，使得 02x”，下列命题正确的是（ ）(A)命题“ q”是真命题(B)命题“ p”是真命题(C)命题“ ”是真命题(D)命题“ q”是真命题【答案】B【解析】试题分析：因为 时， ，由 可得： ，所0,xa2axax21a以命题 为假命题；因为当 时， ，所
2、以命题 为真p240q命题.所以 为真命题,故选 B.q考点：1 命题；2、充要条件；3、基本不等式.3执行如图所示的程序框图若输出 15S， 则框图中 处可以填入（ ）(A) 4n？ (B) 8n？ (C) 16n？ (D) 16n？【答案】B【解析】试题分析：由程序框图运行第一次： ；1,2Sn运行第二次： ；34运行第三次： ；7,8运行第四次： ；输出 ，结束.156Sn15S所以结束的条件应是 ?故选 B.考点：循环结构.4在极坐标系中，点 (2,)3和圆 cos2的圆心的距离为( )(A) 3 (B) 2 (C) 19 (D) 249【答案】A【解析】试题分析：在极坐标系中，点 ，
3、在直角坐标系下的坐标为 ；2,31,3在极坐标系中的圆 在直角坐标系下的方程为 ，圆心坐标为cos2xy，1,0点到圆心的距离为 ，故选 A.22130考点：1、极坐标的概念；极坐标与直角坐标的转换；2、圆的方程；3、平面直角坐标系两点间的距离公式.5在平行四边形 ABCD中， 与 B交于点 OE， 是线段 D的中点， AE的延长线与 交于点 F若 a，b，则 AF（ ）(A) 142ab (B) 14 (C) 213ab (D) 23ab【答案】C【解析】试题分析： ，,AaBDb1122AODACBab因为 是 的中点, ,所以，EO|13E3F= = ，1132DFABBDAC16BD6
4、ab ,故选 C.126ab3ab考点：1、向量的加法，减法几何运算；2、向量共线.6数列 na的首项为 3， nb为等差数列且 1()nnbaN，若 32b,10b,则 8（ ）(A)0 (B)3 (C)8 (D)11【答案】B【解析】试题分析：因为 nb为等差数列,设其公差为 ,由 32b, 10 d1037214,d23, 6bd127172102b又 127132878183baaaa 所以， .故选 B.8830,a考点：等差数列的通项公式与求和公式.7某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）（A） 43 （B） 8 (C)83 (D)47【答案】D【解析】
5、试题分析：三视图所对应空间几何体的直观图如下图所示,底面三角形 是边长为 4 的ABC正三角形,平面 ,PCAB4PC,234ABCS1482PACBS117PABD ,故选 D.4783考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积.8有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，则取出球的编号互不相同的概率为（ ）（A） 5 （B） 7 （C） （D） 821【答案】D【解析】试题分析：从编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中随机取出 4 个，有种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设4102C事件
6、为“取出球的编号互不相同” ，A则事件 包含了 个基本事件，所以 .故选 D.1152280C8021PA考点：1、计数原理；2、古典概型. 9设 F， 2分别为双曲线 ：21xyab(,0)b的左、右焦点， 为双曲线的左顶点，以 12为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M、 N两点，且满足 120MAN，则该双曲线的离心率为（ ）(A) 3 (B) 193 (C) 73 (D) 73【答案】A【解析】试题分析：如下图所示， ,OMNcAaMBNb x8642-2-4-6-8-15 -10 -5 5 10 15jyNMF1 F2BA10,1093，又 ， ,2ABb2Aa22BNA， .故选 A2
7、a222471, 133cbea考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的几何性质；3、勾股定理.10若实数 ,bcd满足222(ln)()0acd+-+=，则22()()a-+-的最小值为（ ） (A) (B)2 (C)2 (D)8【答案】D【解析】试题分析： ，2223ln0bacd2l0cd设 为两动点，则点 是函数 的图象上一点，点 是函数,MabNM23lnyxN的图象上一点；而 ,2yx22222acbdacbdM则问题转化为求曲线 上的点 到直线 的距离的最小值，如下图所23lnyxyx示， 8642-2-4-6-8fx = 3lnx-x2gx = x+N(c,d)M(a,b) x
8、y直线 的斜率为 1；yx由 ，得 ，令 ，所以， ，解之得：23ln32yx1y321x（舍去） ，1x21x由 ，得 ；所以 到直线 的距离最小y,M2yx21MN从而有 ,故选 D.8考点：1.导数的应用；2、数形结合.11已知 0sin,axd则二项式51ax的展开式中 3x的系数为 【答案】-80【解析】试题分析： 00sincos|cso02axd二项式51ax的展开式中 3x的系数为 33510280Ca考点：1、定积分的求法；2、二项式定理.12如图所示，第 n个图形是由正 2n边形拓展而来（ ,n ） ，则第 2n个图形共有_ 个顶点【答案】 2n【解析】试题分析：第一个图有
9、 个顶点；34第二个图有 个顶点；45第三个图有 个顶点；6第四个图有 个顶点；7第 个图有 个顶点.n32n第 个图形共有 个顶点.221n考点：归纳推理.13若不等式组50,2xyk表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数 k的取值范是 . 【答案】 (1,0) 【解析】试题分析：不等式组所表示的区域是由直线 和过定点 的直50,2xyx0,5线 所围成的平面区域,如下图:5ykx10987654321-1-2y=kx+5 x-y+5=0x=2BDOAEC由图可知,要使阴影部分成锐角三角形,动直线 与直线 的交点 必须位于5ykx2xE点 和点 之间,此时 .3B5D10考点：1、二元一次不
10、等式（组）所表示平面区域的画法，2、直线的斜率.14抛物线 2(3)yx绕 y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 【答案】 19【解析】试题分析：根据旋转体的对称性，不妨设正方体的一个对角面恰好在 平面内，组合体xoy被此面所截得的截面图如下：设正方体的棱长为 ，则 ， ，a2,aA,9Ba因为 ，所以， ，即：AB292180解得： ，因为 ，所以 .1a0a9考点：1、抛物线标准方程的应用；2、正方体的结构特征.15对于函数 ()fx，若存在区间 ,Mb，使得 |(),yfxM，则称区间 M为函数
11、 的一个“好区间” 给出下列 4 个函数： ()sinfx； ()21xf； 3()fx； ()lg1fx其中存在“好区间”的函数是 （填入所有满足条件函数的序号）【答案】【解析】试题分析：函数 在 上是单调增函数，若函数在 上存sinfx,2 ,2“好区间” 则必有 ，即方程 有两个根，令,abi,iabsinxsingxcos10gx在 上恒成立，所以函数 在 上为减函数，则函数 在,2gx,2gx上至多一个零点，即方程 在 上不可能有两个解，又因为函数,sin,的值域为 ，所以当 或 时，方程 无解.所以函数fx1,2xsinx没有“好区间” ； sinf对于函数 ，该函数在 上是增函数
12、由幂函数的性质我们易得，21xf0,时， ，所以 为函数 的一个“好区0,1M0,M,121xf间”.对于函数 当 时 ，32,3fxfxx,0f所以函数 的增区间有 和 ，减区间是 ，取,1,1，此时 ，所以函数2,M2,f2ff2f在 上的值域了是 ，则 为函数的一个“好区3fx,M间” ；函数 在定义域 上为增函数，若有“好区间” 则lg1fx0,ab也就是函数 有两个零点，显然 是函数的一lg1,ablg1x1x个零点，由 10,lnx得， ,函数 在 上为减函数；由 ，得1ln0xgx1,ln010lngx，函数在 上为增函数.所以 的最大值为 ，l,l lg则该函数 在gx上还有一
13、个零点.所以函数 存在“好区间”.10,lnlg1fx考点：1、函数的单调性；2、函数的零点 3、函数的定义域和值域.16已知向量(sin,co),(,)2mx， xR，函数 (),fxmn（）求 )f的最大值；（）在 ABC中，设角 ， B的对边分别为 ,ab，若 2BA，且26baf，求角 的大小 【答案】 （） 3； （） .2【解析】试题分析：（）由向量数量积的定义只需将其化为一个角的三角函33sin,co,sincos22fxmxx数就能求出 的最大值.f（）由（）的结果和正弦定理： ,26bafAsin2i3sinBA又 ,所以， ，由以上两式即可解出 , .2BAsinicosB
14、 C试题解析：（） 3()i2fxx 2 分3sin()64 分（注：也可以化为 )3cos(）所以 )(xf的最大值为 3 6 分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给 4 分）（）因为 )(2Afab，由（1）和正弦定理，得 AB2sin3si 7 分又 B，所以 2sin3si，即 Acosi， 9 分而 A是三角形的内角，所以 0i，故 sin3， 3ta， 11 分所以 6， 32A， 2BC 12 分考点：1.正弦定理；2、两角和与差的在角函数公式、倍角公式；3、三角函数的性质.17等边三角形 B的边长为 3,点 D、 E分别是边 A、 C上的点,且满足 ADB1CEA(
15、如图 1).将 沿 折起到 1的位置,使二面角 1E为直二面角,连结 1、 C (如图 2).（）求证: 1AD平面 BCE;（）在线段 上是否存在点 P,使直线 1A与平面 1BD所成的角为 60?若存在,求出PB的长,若不存在,请说明理由.【答案】 （）在线段 B上存在点 ,使直线 1与平面 1所成的角为 ,此时52【解析】试题分析：（）二面角 1ADE为直二面角,要证 1AD平面 BCE；只要证；1ADE（）假设存在点 P,使直线 1与平面 1B所成的角为 60，根据直线与平面所成的角的定义作出直线 1PA与平面 1BD所成的角 ，设 的长为 ，用 表示 ，在1PAHBx1,ADH直角
16、中，H根据勾股定理列出方程，若方程有解则 存在，否则 P不存在.或借助已有的垂直关系；也可以 为坐标原点建立空间直角标系,求出平面 的一个法向量 ，利用1ABn建立方程，解这个方程探求 点的存在性.1sinsin60AP试题解析：证明:(1)因为等边 ABC的边长为 3,且 D12CE, 所以 D, 2E. 在 DE中, 60, 由余弦定理得 21cos603. 因为 22AE, 所以 A. 3 分折叠后有 1E,因为二面角 1B是直二面角,所以平面 D平面 BC ,又平面 D平面 CD,1A平面 1, A, 所以 1A平面 E. 6 分(2)解法 1:假设在线段 BC上存在点 P,使直线 1
17、A与平面 1BD所成的角为 60. 如图,作 PHD于点 ,连结 1H、 ，由(1)有 1A平面 E,而 平面 BCE, 所以 ,又 1, 所以 P平面 1AD, 所以 1PH是直线 与平面 1AD所成的角 , 8 分设 Bx03,则 2xB, 3Hx,在 Rt 1H中, 160P,所以12AHx ,在 Rt 1ADH中, 1, 12x ,由 2211ADH, 得2,解得 5x,满足 03,符合题意 所以在线段 BC上存在点 P,使直线 1与平面 1B所成的角为 6,此时 52PB 12 分解法 2:由(1)的证明,可知 ED, 1A平面 CED. 以 D为坐标原点,以射线 、 、 分别为 x
18、轴、 y轴、 z轴的正半轴,建立空间直角坐标系 xyz如图 ,设 2PBa03, 则 BHa, 3P, 2DHa ,所以 10,A, 23, ,E,所以 121A ,因为 E平面 BD, 所以平面 1A的一个法向量为 ,0D , 9 分因为直线 1P与平面 B所成的角为 60,所以 1sin60EA233245a, 解得 54a ,即 52PBa,满足 023a,符合题意,所以在线段 BC上存在点 P,使直线 1A与平面 1D所成的角为 6,此时 5PB . 12 分考点：1、直线与平面垂直的判定；2、直线与平面所成角的求法；3、空间直角坐标系.18设各项均为正数的数列 na的前 项和为 nS
19、，满足 2141,nnaSN且2514,a恰好是等比数列 b的前三项（）求数列 n、 的通项公式； （）记数列 的前 项和为 nT,若对任意的 *nN，3()62nTk恒成立，求实数 k的取值范围【答案】 （） 21na ， 3nb；() 27k【解析】试题分析：（）根据数列的通项 与数列前 项和 的关系，由 nanS2141naS， 得 ；两式相减得数列 的递推公式 ，*nN214()naS2n从而得出数列 通项公式 21n.由此可求 以确定等比数列 的首项和2514,ab公比,进而得到数列 的通项公式.b()由（）的结果求 ,把 变形为, ,所以 不小于nT362kn362nkTk的最大值
20、.362nT只需探究数列 的单调性求其最大值即可.362n试题解析：（）当 时， 2141nSa，214nnaSa21n, 102nn 2 分 当 时， 是公差 2d的等差数列. 514,a构成等比数列，2514a， 284aa，解得 23, 3 分 由条件可知， 15=, 4 分 213n是首项 ,公差 d的等差数列. 数列 na的通项公式为 2a. 5 分,数列 b的通项公式为 3nb 6 分() 11()()32nnnqT， 13()62nkn对 *N恒成立， 243nk对 *N恒成立，-9 分，令 nc， 112462(7)33nnnc，当 3时， 1nc，当4时， nmax()7c，
21、 k 12 分考点：1、等差数列;等比数列的通项公式和前 项和.2、参变量范围的求法.19生产 A，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品，小于 82为次品，现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 70,67,82,8,94,10元件 A 8 12 40 32 8元件 B 7 18 40 29 6（）试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率；（）生产一件元件 A，若是正品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元；生产一件元件 B，若是正品可盈利 100 元，若是次品则亏损 20 元，在（）的前提下；（i）求生产 5 件元件 B 所
22、获得的利润不少于 300 元的概率； （ii）记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望【答案】 （）元件 A 为正品的概率为 45，元件 B 为正品的概率为 34（） （i） 812（ii）所以 X的分布列为：150 90 30 -30P35201520108E【解析】试题分析：（）用频率估计概率值;（）设出随机变量,确定随机变量的所有可能取值,求出各个取值的概率,列出概率分布表,从而得出答案.试题解析：（）由题可知 元件 A 为正品的概率为 45，元件 B 为正品的概率为 34。 2 分（） （i）设生产的 5 件元件中正品件数为
23、x，则有次品 5 x件，由题意知10()30x得到 4,5x，设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元”为事件 C，则 451381()()2PC。 6 分（ii）随机变量 X的所有取值为 150,90,30，-30，则 43(150)5PX， 13(90)5420PX， 41(3)5PX，12，所以 的分布列为：150 90 30 -30P3520152010 分()EX1150982 12 分考点：1 概率；2、随机变量的分布率；3、数学期望.20已知 ,Pxy为函数 lnx图象上一点， O为坐标原点，记直线 OP的斜率kf()若函数 fx在区间1,3a0上存在极值，求实数
24、 a的取值范围；（）如果对任意的 1， 2e，有 1212()fxfmx，求实数 m的取值范围【答案】()23，（） 2m.【解析】试题分析：() 根据直线的斜率公式写出函数 的解析式,再利用导数解决函数极值fx存在时参数 的取值范围.（）由()知， ()在 2e，上单调递减，不妨设a21xe，则 12212112 21() ()()()()mffxmfxfmfxfxx函数 ()Ffx在 e，上单调递减。再用导数研究 的单调性.F试题解析：解：()由题意 1lnxkf， 0 ，所以21lnlxf 2 分当 0时， 0f；当 1x时， 0fx所以 fx在 0,1上单调递增，在1,上单调递减，故
25、在 处取得极大值 3 分因为函数 fx在区间 1,3a（其中 0a）上存在极值，所以 13a，得213a即实数 的取值范围是 213， 6 分（）由()知， ()fx在 2e，上单调递减，不妨设 21xe，则12212112 21() ()()()()mfxfmfxfmffx函数 ()Ffx在 e，上单调递减。 8 分由 21ln() ,)xf x，则 2ln()0xmF在2,e上恒成立，所以 lm在 2,e上恒成立，所以，故 . 13 分考点：1、直线斜率公式；2、导数在研究函数性质中的应用国.21在平面直角坐标系 xoy中，已知 12,F分别是椭圆2:1(0)xyGab的左、右焦点，椭圆
26、G与抛物线 24有一个公共的焦点，且过点 6(,)2.()求椭圆 G的方程;()设点 P是椭圆 在第一象限上的任一点,连接 12,PF,过 点作斜率为 k的直线 l,使得 l与椭圆 有且只有一个公共点,设直线 ,的斜率分别为 1, 2,试证明12k为定值,并求出这个定值；（III）在第()问的条件下，作 2FQP，设 2交 l于点 Q，证明:当点 P在椭圆上移动时，点 在某定直线上.【答案】 （）椭圆 G的方程为2:13xyC；()3；（III）点 在直线 3x上.【解析】试题分析：（）由抛物线的焦点求出椭圆的焦点，又椭圆过点 ，得：6,12，231ab且 ， ，解方程组可得椭圆的方程：2:1
27、3xyC22c()设出切点的坐标和切线的方程，利用直线和椭圆相切的条件，证明 12k为定值.（III）利用()的结果,由 ,写出直线 的方程,可解出 2FQ交 l于点2FQP2F的坐标,进而证明当点 在椭圆上移动时，点 在某定直线上.y xlQF2F1OP试题解析：()由题意得 1c ，又 231ab+， 2 分消去 可得， 4730a，解得 23a或 21（舍去） ，则 2b，求椭圆 G的方程为2:1xyC 4 分()设直线 l方程为 km，并设点 0(,)Pxy，由222360(3)6360xykmk.22k， 6 分0230kmx，当 时 ,0，直线与椭圆相交，所以 0,km，2 2063x，由2200()13xy得 02my， 03xky， 8 分0y，整理得： 013x.而 002,1x,代入 12k中得001231()kxy为定值. 10 分（用导数求解也可，若直接用切线公式扣 4 分，只得 2 分）（III） 2PF的斜率为： 201PFkx，又由 PFQ201Fxky,从而得直线 2FQ的方程为： 01()xy,联立方程01()32xy,消去 y得方程 0(3)x，因为 03x， 所以 x ，即点 在直线 上. 14 分考点：1、椭圆的标准方程；2、抛物线的标准方程；3、直线与椭圆的位置关系；
