1、2013 年高三数学二轮专题复习(三角函数部分)金堂实验中学-黄志强一、专题热点透析三角函数是高中数学中一种重要的初等函数，是高考数学的一个必考内容，它与代数、几何、平面向量等知识有着密切的联系，其工具性在高考中更进一步得以体现。透析近年高考试题，其趋势为：考小题多重基础，属中、低档题型主要考察三角函数的基本概念，即：两域（定义域、值域），四性（奇偶性、单调性、周期性、对称性），简单的三角变换（求值、化简）。三角函数的图像、性质及其变换是近年的热点，图像变换已成为“五点法”作图后的另一个热点，与平面向量结合已成为新的考查方向；考大题稳中有降，大题以解答题出现，考查思维能力的难题逐步淡化，而是以
2、考查基础知识与基本技能为主，难度在“较易”到“中等”的程度。二、热点题型范例题型一、三角函数的求值、化简问题例 1已知 ， ，且 1cos713cs()402（）求 的值；（）求 tan2解：（）由 ， ，得 1cos70222143sin1cos()7 于是 in43tas22ta8ta()（）由 ，得 又 ，020213cos()4 由 ，得13sin()1cos()()4()co s()sin()1317423变式：已知向量 ,且(si,co),(2)mA0.mn()求 tanA 的值；()求函数 R)的值域costasi(fxAx解：（）由题意得 mn=sinA-2cosA=0，因为
3、cosA0，所以 tanA=2。（）由 tanA=2 得2 213()cos2in1siin(si).fxxxx因为 x R,所以 ，当 时，f(x) 有最大值 ；,当 sinx=-1 时，f(x) 有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是 3,.2题型二、三角函数的图像与性质问题例 1函数 的图象为 C, 如下结论中正确的是_. (写出所有正()3sin(2)fx确结论的编号)图象 C 关于直线 对称；图象 C 关于点 对称；12(,0)3函数 )内是增函数；由 的图象向右平移 个单位可5()(,2fx在 区 间 sinyx3以得到图象 C。例 2. 已知函数 ()sinco()3i()
4、coi()cos2fx x（1）求函数 的最小正周期和最值；y（2）指出 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。()fx解：（1） 最小正周期 ， 的最大值为 ，最小值为yT()yfx351232（2） 33sin(2) sin6122yxyx左 移 单 位 ， 下 移 单 位变式：已知函数 （ ）的最小正周期为 ()sicos)f x0（1）求函数 的单调递增区间；x（2）画函数 f（x ）在区间0， 上的图象；（3）将函数 图象按向量 平移后所得的图象关于原点对称，求向量 的坐标（一个()a a即可）解：（1） 由周期为 得 ，故()fxsin2)161()sin2)16fx由
5、得 ，所以函数 的增区间为 Z263x()fx,3kkx 0 512312（2） 如下表：图象如下：123O xy 6512312（3） (,)a题型三、三角形中的三角函数问题例 1. 在ABC 中， ， ， 分别是角 A，B，C 的对边，且abc28sincos27.BCA(I)求角 A 的大小；(II) 若 = ， + =3，求 和 的值。a3bc解：（I）在ABC 中有 B+C=A ，由条件可得 41cos(B+C) 4cos 2A+2=7cos(B+C)= cosA 4cos 2A4cosA+1=0 解得 .3),0(,1cosAA又（II）由 babbcaA3)(,11cos 2即知
6、13,2. .cab c又 代 入 得 由 或例 2. 已知在 中，三条边 所对的角分别为 ，向量 ，ABCba, CBA, )cos,(inAm且满足 。)sin,(coCnm2si（1）求角 的大小；（2）若 成等比数列，且 ，求Ain, 18)(的值。解：（1） ， ， ；)cos,(in)si,(coBCm2sin ；CBA2icosinn6x232136y 32 1 0 1 2 ； ；又 为 的内角； ；Ccosin2si21sCAB3C（2） 成等比数列， ，BAi, sinsin2由正弦定理知： ；又且 ，即 ，abc2 18)(A18 ； ； ；18osCab36362abcc
7、变式：已知 A、B、C 是 的三个内角，a，b，c 为其对应边，向量.1),sin,(o),31( mAm且（）求角 A；（）若 .,c2SABCbB的 面 积求 解：（） nosi321)6sin(065.3（） 由正弦定理，得,cosbCB故in,0cosinsCB. 、C 为 的内角， 又0)si(A.为正三角形。,3A3B ,514A.452S题型四、三角函数与其他知识交汇问题例 1已知在 ABC中， 3，记 ,ABC（1）若 的面积 S 满足 2，求 的取值范围；（2）若 3，求 的最大边长的最小值解：（1） cosABC， 3cosABC，3sintan22S， tan， 64.
8、（2）若 3，则 ，则其所对的边 最长，由余弦定理222cos3ACBABC 318cosABC；当且仅当 时取等号， ， 的最大边长的最小值为 2 . 例 2已知ABC 的周长为 6， 成等比数列 ,（）求ABC 的面积 S 的最大值；（）求 的取值范围BCA解：设 依次为 a，b，c，则 a+b+c=6，b=ac，,BCA由余弦定理得 , 故有 ，2221cos 203B又 从而 6,ab0（） ，即2211sinsisin32SBb maxS（） 2)(co2bcbcaCA 22(6)3()7b18,0B变式：已知向量 a ，向量 b ，若 a b +1 (cos,2)x(2cos,in
9、)x()fx（错误！未找到引用源。）求函数 的解析式和最小正周期； (错误！未找到引用源。)f) 若 ，求 的最大值和最小值。2,0x)(xf解：（错误！未找到引用源。）a , b , (cos,2)x(2cos,in)x a b+1 ()fx2in(11cosi2x函数 的最小正周2sinco)4si(x()fx期 T(错误！未找到引用源。) ， 2,0x5,4x， ；时即当 8,24xx()f有 最 大 值， 时即当 2,452xx()fx有 最 小 值 1反馈练习：1已知 ，则 的值是（ C ）4cossin3657sin6A B C D2352452函数 的最小值和最大值分别为（ C
10、）()cosinfxxA ， B ， C ， D ，1232323下列函数中，最小正周期是 ，且图象关于直线 对称的是（ B ）xA B C Dsin()3yxsin()6yxsin()6ysin()6xy4函数 的一个减区间为 ( C )2co6fA. B. C. D.,4,5,7,5为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像( D )sin()yxcos2yxA 向右平移 个单位 B 向右平移 个单位 C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单62333位6已知函数 ，则函数的最小正周期 T 和它的图象的一条对称xxycos)4(sin2轴方程是（ D ）AT=2，一条对称轴方程为 BT=2
11、，一条对称轴方程为883xCT= ，一条对称轴方程为 DT=，一条对称轴方程为x7若 ，则 的值为 cos2in4cosin128在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 CaAcbos3，则 cos 3 9设 ，则函数 的最小值为 02x， 2sin1xy310在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知 则,30,abcA 611已知 的面积为 .BC2,32（1）求 的值；（2）求 的值。Atan)4cos(1iniA解：（1） ， 32in|21CBSAC又 ， . 由、得cos|A.3tan（2） AAsinco)(2)4cos(12ini2
12、 (tan1)316.212求值：000cos4in5(tan)7cos4解：原式 13icsin02cs 2cos(601)cos4in57 213在 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且2tactABb（1）判断此三角形的形状；（2）若 a=3, b=4，求 的值；|（3）若 C=600，ABC 的面积为 ，求 的值。3C解：（1） 由正弦定理得 2tancotABb2sinicosnAB于是 sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B A=B 或 A+B= , 为等腰 或直角三角2形（2）由（1）得 A=B 或 A+B= ，但由于 ab，A+B=
13、2|5CAB（3）C=60 0， A=B，即 ABC 是正三角形 2324Sa故 =322cos1200=-6 ABCAB14. 设ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a,b,c.已知 ，求：22bcbc（）A 的大小；（） 的值 .sincosi()C解：() 22,ab223,.6cacAAb故 所 以() sincosi()BCsino(sinosin)BBCn1).2CA15已知函数 （ ）的最小正周期为2 ()si3sinfxx0（）求 的值；（）求函数 在区间 上的取值范围()f203，解：（） 1cos23()sinxfxx1sincos22xxsin26因为函数 的最小
14、正周期为 ，且 ，所以 ，解得 ()fx021（）由（）得 因为 ，所以1sin26fx3x ，所以 因此 ，7266x i 130sin262x 即 的取值范围为 ()f302，16已知函数 2()sincos.xxf（）将函数 化简成 的形式，并指出()fxsin()(0,2)AxBA的周期；()fx（）求函数 上的最大值和最小值。17(),2fx在解：()f(x)= sinx+ .23)4sin(23)cos(incos xx故 f(x)的周期为 2kkZ 且 k0.()由 x ，得 .因为 f(x) 在 上1273545x )si(x5,是减函数，在 上是增函数.故当 x= 时，f(x
15、)有最小值 ；而 f(),4 23=2，f( ) 2，所以当 x= 时，f(x)有最大值2。176三角练习题一、 选择题1、若 sin+2icos =2i,则 的取值为（ ） | =k,kZ | =k2, kZ | =2k, kZ | =2k + 2, k Z2、若角 满足条件 sin20) ，在 y 轴右侧的第32一个最高点的横坐标为 .6(1)求 ；(2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位 后，再将得到的图象上各点横坐标伸长6到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)的最大值及单调递减区间.20、 在ABC 中，设内角 A，B，C 的对边分别为 ,ab
16、c，向量 m(cosA ，sinA) ，向量n( sinA，cosA)，2若| m|2.(1)求角 A 的大小；(2)若 b4 ，且 c a，求ABC 的面积.2 221、 已知向量( sin ，1)， n(cos ，cos2 ).3x4 x4 x4(1)若 mn1，求 cos( x)的值；23(2)记 f(x) ，在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数 f(A)的取值范围.三角函数、三角变换、解三角形、试题答案（新课标）一 1 解析：选 C，由复数相等的条件得：sin =0,cos =1,所以 的终边落在 x 轴的正半轴上，故选
17、C；2 解析：选 B, sin2icos0， sinco0即 sin 与 cos 异号 在二、四象限又 cos - sin 0, cos sin 在第二象限.3 解析： 选 C, (a)b=(cos +cos )( cos -cos )+(sin+sin )( sin -sin )=cos 2+sin 2-cos2-sin=0 选项 C 正确4 解析：选 , abc，22ab2ab又 c2=-ab即 2| a| b|cos ， 2. cos , -1 sin ,=35 解析：选 B,原式=2cos30-sin20i7（ ）=cos320sin320sin7=3cos20in7=6 解析：选 A
18、,由原式得 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)=sinC sin(A-B)=0,A=B,因为 ,ABC故选 A.7 解析：选 ,因为 f(x)sin2x2cosxcos2x 2cosx1(cosx1)2 2，又其在区间 ，上的最大值为 1，结合选项可知 只能取 .,故选23 28 解析： 选 C,由题意可知，此函数的周期 T2( ) ，故 ，3，f(x)1112 712 23 2 23Acos(3x).f( )Acos( )Asin .又由题图可知 f( )Acos(3 )Acos( )2 32 23 712 712 14 (AcosAsin)0，f(0)Acos .22
19、239 解析:选 A,由题意，得sin210,co.,432.kZ,2k ，kZ.410 解析：选 B,f(cosx)=f(sin( 2-x)=sin(3-3x)=-cos3x二 填空题11 解析：cos -sin = 2cosin（ ） = 22cossin=15=15答案：12、解析： 0012ACA, 0(,12),sinsiniBB02i()3cosinA；2AC3cos5i8s27()A，故最大值是 2713 解析：由 acosBbcosA c 及正弦定理可得 sinAcos BsinBcosA sinC，即35 35sinAcosBsinBcosA sin(AB)，即 5(sinA
20、cosBsinBcosA)3(sinAcosBsinBcosA)，即35sinAcosB4sinBcosA，因此tanA4tanB ，所以 4. tanAtanB答案：414 解析：由图象知，函数的周期为 T，T . f( )0，32 23 4f( )f( )f( )f( )0. 712 4 3 4 T2 4答案：015 解析： a b，x4，b(4，2) ， a b (6，3)， b c(1 ，2y).( )( c)，( a b)( )0，即 63( 2y)0，y4，故向量 MN( 8,8)，| MN|8 .2答案：8 2三、解答题16 解析：(1)由已知条件得 4cos 2+4sin co
21、 s +sin 2=0,(2cos +sin) 2=0,所以 2cos=-sin tan =-2(2) 3cos2 +4sin2 =223cosin)8icos（=23tan8t31=-517 解析：(1)列表取值：x252791403f(x) 0 3 0 -3 0描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.(2)先把 ysinx 的图象向右平移 4个单位，然后纵坐标不变，把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再横坐标不变，把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍，得到 f(x)的图象.18 解析 ：y=34sin2x+21cosx+1=34sin2x+21cosx)（+54= sin2x
22、+14cos2x+5=12(cos 6sin2x+ sin 6cos2x)+ 5= sin(2x+ 6)+ y 的最大值为 2+ =7,此时 x 满足2x+ =2k + 2 ,kZ 即 x=k + ,kZ 所以 y 的最大值为 4，取得最大值时 xx| x=k+ 6,k Z19 解析：(1)f(x) sin2x cos2x sin(2x ) .32 12 32 6 32令 2x ，将 x 代入可得： 1.6 2 6(2)由(1)得 f(x)sin(2x ) .经过题设的变化得到的函数 g(x)sin( x ) .6 32 12 6 32当 x4k ，kZ 时，函数取得最大值 . 令 2k x
23、2k ，43 52 212 6 32即4k ，4k ，kZ 为函数的单调递减区间.43 10320 解析： (1) | mn|2(cosA sinA)2 (sinAcosA)2 42 (cosAsinA)2 244cos( A)，444cos( A)4，cos( A)0，A (0 ，) ， A ，A .4 4 4 2 4(2)由余弦定理知：a2b2c22bccosA ， 即 a2(4 )2( a)224 acos ，2 2 2 24解得 a4 ， c8， SABC bcsinA 4 8 16.212 12 2 2221 解析：(1) mn1，即 sin cos co s2 1，即 sin co
24、s 1，3x4 x4 x4 32 x2 12 x2 12sin( ) .cos( x) cos(x )cos(x )x2 6 12 23 23 312sin2( )2( )21 .x2 6 12 12(2)(2a c)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC.2sinAcosBcosBsinCsinBcosC，2sinAcosBsin(BC)，ABC ，sin(BC)sinA，且 sinA0，cosB ，B ，12 30A . ， sin( )1.23 6 A2 6 2 12 A2 6又f(x) mn=sin( ) ，f(A)sin( ) .x2 6 12 A2 6 12故函数 f(A)的取值范围是(1， ).32
