1、1方法六 等价转化法著名的数学家，莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表什么叫解题的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”.数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.常见的转化方法有以下几种类型：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公
2、式或基本图形问题；(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.1由等与不等引起的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟” ，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将
3、不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围例 1【2018 届河北省定州中学高三下学期开学】定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足 ， ，则称函数 是在区间 上的一个双中值函数，已知函数 是区间 上的双中值函数，则实数 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，函数 是区间 上的双中值函数，区间 上存在 ，2满足 方程 在区间 有两个不相等的解，令 ，则 ，解得 实数 的取值范围是 .故答案为 例 2【2018 届湖北省宜昌市高三年级元月调研】已知函数 ，若函数 有 4个零点，则实数 的取值范围是_.【答案】点睛：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判
4、断，考查了函数零点个数的问题。本题中根据题意可知，原问题等价于 与 有 个交点，这个是解决问题的关键，属中档题2由特殊与一般引起的转化3特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素” 第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题第四步：解决新目标问题：在新的板块
5、知识背景下用特定的知识解决新目标问题第五步：回归目标问题第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案例 3.设函数 )0(2)(xxf，观察：)(1f， 46)(12xfx，8)(23f，130)(4xfx，根据以上事实，当 Nn时，由归纳推理可得： )1(nf .【答案】 123【解析】通过条件归纳推理可知 12321,21 nnnnn fxxf ,故填 12
6、3n.3由正与反引起的转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多” “至少”情形的问题中例.若从 3 个海滨城市和两个内陆城市中随机选 2 个去旅游，那么概率是 710的事件是（ ）4A.至少选一个海滨城市 B.恰好选一个海滨城市C.至多选一个海滨城市 D.两个都选海滨城市【答案】C【解析】从 5 个城市选取两个城市旅游，有 10 种选法，若选 2 个海滨城市的选法有 3 种，所以选 2 个海滨城市的概率为 103，则只多选一个海滨城市的概率为
7、1073-，选 C.例 5.在报名的 名男教师和 6名女教师中，选取 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）【答案】 120【解析】由题意得，去掉选 5 名女教师情况即可： 596120.C4由空间与平面引起的转化 立体几何中有些问题的解答，可以转化为平面几何问题来解决，即考虑转化成在一个平面上的问题，运用平面几何知识求解.特别是涉及旋转体的问题，通过研究轴截面，寻找几何体与几何体几何元素之间的关系例 6【2017 天津，文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 .【答案】 92 【名师点睛】正方体
8、与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.5例 7【2017 课标 II，理 19】如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，o1,90,2
9、ABCDBACE 是 PD 的中点。（1）证明：直线 /E 平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 o45 ，求二面角 MABD的余弦值。【答案】(1)证明略；(2) 105。【解析】试题解析：（1）取 PA的中点 F，连结 E， BF。因为 E是 D的中点，所以 AD, 12,由 90BADC得 B AD，又2BC,所以 C 。四边形 为平行四边形， E F。又 F平面 PA， E平面 PB，故 CE 平面 P。（2）由已知得 D,以 A 为坐标原点， A的方向为 x 轴正方向， AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz，6则 0,A，
10、 1,0B， ,10C， ,3P， (103)C， ， , (10)AB， ， ，设 Mxyz则 ,Mxyzxyz ，因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 ,n是底面 ABCD 的法向量，所以 cos,sin45B， 221zxy，即 2210xyz。 又 M 在棱 PC 上，设 PC,则 ,13xyz。 75由数与形引起的转化 利用数形结合思想，往往可以实现数与形的相互转化，特别是涉及函数方程与函数图象、曲线与方程等问题，适时进行数与形的相互转化，可以达到化难为易、化繁为简的良好效果.例 8【2018 届湖北省武汉市高三二月调研】已知实数 ， 满足约束条件 ，若不等式恒成立，则
11、实数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数 ，由目标函数的几何意义可知，目标8函数在点 处取得最大值 ，在点 或点 处取得最小值 ，即 .题中的不等式即： ，则： 恒成立，原问题转化为求解函数 的最小值，整理函数的解析式有：，令 ，则 ，令 ，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 ，据此可得，当 时，函数 取得最大值，则此时函数 取得最小值，最小值为： .综上可得，实数 的最大值为 .本题选择 A 选项.9例 9【2016 高考新课标 3】已知直线 l： 30mxy与圆 21xy交于 ,AB两点，过,AB分别做 l
12、的垂线与 x轴交于 ,CD两点，若 2AB，则 |CD_.【答案】4例 10.已知点 1,0A，点 是圆 C:218xy上的任意一点，线段 A的垂直平分线与直线 C交于点 （）求点 的轨迹方程；（）若直线 ykxm与点 的轨迹有两个不同的交点 和 Q，且原点 总在以 Q为直径的圆的内部，求实数 的取值范围【答案】 （）21y；（） 6,3【解析】（）由题意知： A， C2C2C2A的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，其轨迹方程为21xy4 分10（）设 1,xy， 2Q,xy，则将直线与椭圆的方程联立得： 2ykxm，消去 y，得：240kkm， ， 21mk1221x，21xk6 分原点 总在以
13、Q为直径的圆的内部 Q0即 120xy7 分而 212121mykxk2mk9 分即 3m，且满足式 的取值范围是 6,312 分【反思提升】通过以上问题的研究，我们可以体会到等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性.在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行.它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形.消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.可以说，等价转化
14、是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变.由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型.在数学解题中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化.按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，尤如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力.
