1、新课标全国卷文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知 是双曲线 的右焦点， 是 上一点，且 与 轴垂直，点 的坐标F2:13yCxPCPFxA是 ，则 的面积为（ ）(1,3)APA B C D122332【解法】选 D由 得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所以4cabc(,0)Fx213y3，又 A 的坐标是(1,3)，故 APF 的面积为 ，选 D3PF132【2017，12】设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB =120，则23xymm 的取值范围是( )A B C D0,19,(0,9,)(0,14,)(0,34,)【解法】选 A图
2、1 图 2解法一：设 是椭圆 C 短轴的两个端点，易知当点 是椭圆 C 短轴的端点时 最大，依题意只EF、 MAMB需使 012AB1当 时，如图 1， ，解得 ，故 ；3m 03tantan632AEBbm1m012 当 时，如图 2， ，解得 0t t39综上可知，m 的取值范围是 ，故选 A(0,19,)解法二：设 是椭圆 C 短轴的两个端点，易知当点 是椭圆 C 短轴的端点时 最大，依题意只EF、 MAMB需使 012AEB1当 时，如图 1， ，即 ，3m 01cos,cos2EAB 12EAB带入向量坐标，解得 ，故 ；01m2 当 时，如图 2， ，即 ，301cos,cos2
3、12EAB带入向量坐标，解得 9综上可知，m 的取值范围是 ，故选 A(0,1,)【2016，5】直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆l l14的离心率为（ ）A B C D13122334解析：选 B 由等面积法可得 ，故 ，从而 故选 B1bcab2ca12ce【2015，5】已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C: y2=8x，的焦点重合，A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB|=( ) A3 B6 C9 D12 解：选 B抛物线的焦点为(2,0)，准线为 x=-2，所以 c=2，从而 a=4，所以
4、b2=12，所以椭圆方程为，将 x=-2 代入解得 y=3，所以|AB|=6，故选 B216xy【2014，10】10已知抛物线 C：y 2=x 的焦点为 F，A(x 0,y0)是 C 上一点，| AF|= ，则 x0=( )A54A1 B2 C4 D8解：根据抛物线的定义可知|AF |= ，解之得 x0=1 故选 A00154x【2014，4】4已知双曲线 的离心率为 2，则 a=( ) D)(32ayA2 B C D12625解： ，解得 a=1，故选 D223cabe【2013，4】已知双曲线 C： (a0，b0) 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( ) 2=1xy52Ay ByCy
5、 Dyx14x13x12x解析：选 C ， ，即 c 2a 2b 2， 52eca54142ba双曲线的渐近线方程为 ，渐近线方程为 故选 Cbyx1yx【2013，8】O 为坐标原点， F 为抛物线 C：y 2 的焦点， P 为 C 上一点，若|PF| ，则POFx的面积为( )A2 B C D423答案：C解析：利用|PF| ，可得 xP ，y P S POF |OF|yP| 42Px26123故选 C【2012，4】4设 、 是椭圆 E： （ ）的左、右焦点，P 为直线 上一点，1F22ab0ax是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）21PA B 3C D3445【解析】如
6、图所示， 是等腰三角形，21FP， ， ， ， ，2130212|Fc260PQ230FP2|Qc又 ，所以 ，解得 ，因此 ，故选择 C|aQcac34a4ce【2012，10】10等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 轴上，xC 与抛物线 的准线交于 A，B 两点，216yx，则 C 的实轴长为（ ）|43ABA B 22C4 D8【解析】设等轴双曲线 C 的方程为 ，即 （ ） ，21xya22xya0抛物线 的准线方程为 ，联立方程 ，解得 ，216yx42242216ya因为 ，所以 ，从而 ，所以 ， ，|43AB22|(|)8ABy2224，因此 C 的实轴长为 ，故选择 C2a
7、a【2011，4】椭圆 的离心率为（ ）2168xyA B C D 13232【解析】选 D因为 中， ，所以 ，所2168xy26,8ab228cab以 42cea【2011，9】已知直线 过抛物线的焦点，且与 的对称轴垂直， 与 交于 ， 两点， ，l ClCAB12为 的准线上一点，则 的面积为（ ） PCABPA B C D 18243648【解析】不妨设抛物线的标准方程为 ，由于 垂直于对称轴且过焦点，故直线 的方程0ypxl l为 代入 得 ，即 ，又 ，故 ，所以抛物线的准线方程2px2ypx212AB6p为 ，故 故选 C 3163ABPS二、填空题【2016，15】设直线 与
8、圆 相交于 两点，若 ，则圆2yxa2:20xya,AB23的面积为 C解析： 由题意直线即为 ，圆的标准方程为 ，4022xya所以圆心到直线的距离 ，所以 ，2ad2ABa3故 ，所以 故填 224ar4Sr【2015，16】已知 F 是双曲线 C: 的右焦点，P 是 C 左支上一点， ，当 APF 周长218yx(0,6)A最小时，该三角形的面积为 解： a=1，b 2=8， c=3，F(3,0)设双曲线的的左焦点为 F1，由双曲线定义知126|PF|=2+|PF1|，APF 的周长为 |PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|+|PF1|+2，由于|AF|是定值，只要|PA|+|
9、PF 1|最小，即 A,P,F1 共线， ，F 1 (-3,0)，直线 AF1 的方程为 ，联立 8x2-y2=8 消去 x 整理(0,) 36xy得 y2+ y-96=0，解得 y= 或 y= (舍去)，此时 SAPF=SAFF1-6268SPFF1 3(62)16三、解答题【2017，20】设 A，B 为曲线 C： 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 442xy（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 ，求直线 AB 的方BMA程解析：第一问：【解法 1】设 ,AB 直线的斜率为 k，又因为 A,B 都在曲线 C 上，所以12
10、(,)(,)AxyB4/21xy/2-得 由已知条件12121()44xxxy 124x所以， 即直线 AB 的斜率 k=1【解法 2】设 ,AB 直线的方程为 y=kx+b,所以),(),(21yxBA 4/2xybk整理得： 且 所以 k=1,4,0421kbkx421x第二问：设 所以 又 所以(,)My0/xy001,2,12kxy所以 M（2,1） ， ， ，且 ，12,)Ax2(,)MBAMBA即 ，设 AB 直线的方程为 ，05()(21yyx yxb,4/2yb化简得 ，所以0x 212121,4, byybx由得 所以 b=7 或者 b=-1(舍去)72b所以 AB 直线的方
11、程为 y=x+7【2016，20】在直角坐标系 中，直线 交 轴于点 ，交抛物线xOy:(0)lytyM于点 ， 关于点 的对称点为 ，连结 并延长交 于点 2:(0)CypxPMNOCH（1）求 ；（2）除 以外，直线 与 是否有其他公共点？请说明理由OHNMHC解析 （1）如图，由题意不妨设 ，可知点 的坐标分别为 ， ，0t,PN0,Mt2,tPp，2,tp HNPMOy x从而可得直线 的方程为 ，联立方程 ，解得 ， ONyxpt2pxty2tpyt即点 的坐标为 ，从而由三角形相似可知 H2,tp 2HNOt（2）由于 ， ，可得直线 的方程为 ，0,Mt2,tM2tyxp整理得
12、，联立方程 ，整理得 ，2typxt220typxt2240ty则 ，从而可知 和 只有一个公共点 2160tHCH【2015，20】已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x -2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点.()求 k 的取值范围； () =12，其中 O 为坐标原点，求| MN|.OMN解：( )依题可设直线 l 的方程为 y=kx+1，则圆心 C(2,3)到的 l 距离. 解得 .2|31|d473k-+所以 k 的取值范围是 .(,)()将 y=kx+1 代入圆 C 的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0.设 M(x1, y1),N
13、(x2, y2)，则 12147,.x所以 =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1O=12，解得 k=1 ，所以 l 的方程为 y=x+1.24(+1)8k=1故圆心在直线 l 上，所以|MN|=2.【2013，21】已知圆 M：(x 1)2y 21，圆 N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆 M 的圆心为 M(
14、1,0) ，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y) ，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM| |PN|(Rr 1)(r 2R)r 1r 24.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆( 左顶3点除外) ，其方程为 (x2)2=143y(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM |PN|2R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2) 2y 24.若 l 的倾斜角为 90，则 l
15、与 y 轴重合，可得|AB| .3若 l 的倾斜角不为 90，由 r1R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 ，可求1|PRMr得 Q( 4,0)，所以可设 l：y k(x4) 由 l 与圆 M 相切得 1，解得 k .2|324当 k 时，将 代入 ，并整理得 7x28x80，解得244yx=13yx1,2 ，67所以|AB| |x2x 1| .k87当 k 时，由图形的对称性可知|AB| .4187综上，|AB| 或| AB| .387【2012， 20】设抛物线 C： （ ）的焦点为 F，准线为 ，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，pyx20lFA 为半径
16、的圆 F 交 于 B，D 两点。l（1 ）若BFD=90，ABD 的面积为 ，求 的值及圆 F 的方程；4p（2 ）若 A，B ，F 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 C 只有一个公共点，mnn求坐标原点到 ， 距离的比值。n【解析】（1 ）若BFD=90，则BFD 为等腰直角三角形，且|BD|= ，圆 F 的半径 ，2p|2rAp又根据抛物线的定义可得点 A 到准线 的距离l。|2dFAp因为ABD 的面积为 ，4所以 ，即 ，1|BDd 1242p所以 ，由 ，解得 。2p0从而抛物线 C 的方程为 ，24xy圆 F 的圆心 F（ 0，1） ，半径 ，|2rFA因此圆 F 的方程
17、为 。22()8（2 ）若 A，B ，F 三点在同一直线 上，m则 AB 为圆 F 的直径，ADB=90，根据抛物线的定义，得 ，所以 ，从而直线 的斜率为 或1|2DFAB30ADm3。3当直线 的斜率为 时，直线 的方程为 ，原点 O 到直线 的距离m3m32pyxm。123()pd依题意设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，n3yxb23yxbp230pxb因为直线 与 C 只有一个公共点，所以 ，从而 。48036b所以直线 的方程为 ，原点 O 到直线 的距离 。n36pyxn2231()pd因此坐标原点到 ， 距离的比值为 。mn1236dp当直线 的斜率为 时，由图形的对称性可知，坐
18、标原点到 ， 距离的比值也为 3。3mn【2011，20】在平面直角坐标系 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上xOy261xC（1）求圆 的方程； （2）若 圆 与直线 交于 ， 两点，且 ，求 的CC0yaABOABa值【解析】 （1）曲线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为261yxy(,1)x故可设 的圆心为 ，则有 ，解得 则32,03, 3t2221tt1t圆 的半径为 ，所以圆 的方程为 C223tC9xy（2）设 ， ，其坐标满足方程组1,Axy2,By220,31.a消去 ，得方程 2810axa由已知可得，判别式 ，因此 ，2561421,28564aax从而 ， 124xa21ax由于 ，可得 120yOAB又 1yxa， yxa所以 221() 由得 ，满足 0，故 1
