1、1984 年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）1 （3 分）数集 X=（2n+1），n 是整数 与数集 Y=（4k1） ，k 是整数 之间的关系是（ ）AXY BXY CX=Y DXY2 （3 分）如果圆 x2+y2+Gx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点，那么（ ）AF=0，G 0，E0BE=0，F=0，G0CG=0，F=0，E0DG=0，E=0 ，F03 （3 分）如果 n 是正整数，那么 的值（ ）A一定是零 B一定是偶数C是整数但不一定是偶数D不一定是整数4 （3 分）arccos （x）大于 arccosx 的充分条件是（ ）Ax
2、（ 0， 1 B x（ 1，0）Cx0，1 D5 （3 分）如果 是第二象限角，且满足 ，那么 （ ）A是第一象限角B是第三象限角C可能是第一象限角，也可能是第三象限角D是第二象限角二、解答题（共 15 小题，满 90 分）6 （4 分）已知圆柱的侧面展开图是边长为 2 与 4 的矩形，求圆柱的体积7 （4 分）函数 log0.5（x 2+4x+4）在什么区间上是增函数？8 （4 分）求方程 的解集9 （4 分）求式子（|x|+ 2） 3 的展开式中的常数项10 （4 分）求 的值11 （4 分）要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同
3、的排法（只要求写出式子，不必计算） 12 （6 分）设 画出函数 y=H（ x1）的图象13 （6 分）画出极坐标方程 的曲线14 （12 分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行15 （12 分）设 c，d，x 为实数，c 0，x 为未知数，讨论方程 在什么情况下有解，有解时求出它的解16 （12 分）设 p0，实系数一元二次方程 z22pz+q=0 有两个虚数根 z1，z 2、再设 z1，z 2 在复平面内的对应点是 Z1，Z 2，求以 Z1，Z 2 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长17 （9 分）求经过定点 M（1，2） ，以 y 轴为准线，离心率为 的椭圆
4、的左顶点的轨迹方程18 （12 分）在ABC 中，A， B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c=10， ，P 为ABC 的内切圆上的动点，求点 P 到顶点 A，B，C 的距离的平方和的最大值与最小值19 （12 分）设 a2，给定数列 xn，其中 x1=a， 求证：（1）x n2，且 ；（2）如果 a3，那么 20如图，已知圆心为 O，半径为 1 的圆与直线 l 相切于点 A，一动点 P 自切点 A 沿直线 l 向右移动时，取弧 AC 的长为 ，直线 PC 与直线 AO 交于点 M又知当 AP= 时，点 P 的速度为 v，求这时点 M 的速度1984 年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案
5、与试题解析一、选择题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）1 （3 分）数集 X=（2n+1），n 是整数 与数集 Y=（4k1） ，k 是整数 之间的关系是（ ）AXY BXY CX=Y DXY考点： 集合的包含关系判断及应用 分析： 题中两个数集都表示 的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系解答： 解：数集 X=（2n+1） ，n 是整数其中的元素是 的奇数倍数集 Y=（4k 1） ，k 是整数其中的元素也是 的奇数倍它们之间的关系是 X=Y故选 C点评： 本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，
6、善于抓住代表元素，认清集合的特征2 （3 分）如果圆 x2+y2+Gx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点，那么（ ）AF=0，G 0，E0BE=0，F=0，G0CG=0，F=0，E0DG=0，E=0 ，F0考点： 圆的一般方程 分析： 圆与 x 轴相切于原点，则圆心在 y 轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径， F=0，E 0解答： 解：圆与 x 轴相切于原点，则圆心在 y 轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E0故选 C点评： 本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题3 （3 分）如果 n 是正整数，那么 的值（ ）A一定是零 B一定是偶数C是整数但不一定
7、是偶数D不一定是整数考点： 进行简单的合情推理 专题： 分类讨论分析： 这是一个简单的合情推理问题，我们可以对 n 的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案解答： 解：n 是正整数当为为奇数时，n 21 必为 8 的整数倍，不妨令 n21=8Z，Z N*则 =2Z，Z N*即此时 的值为偶数当为为偶数时，1 （1） n=0则 =0故 的值一定是偶数故选 B点评： 这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新” 而不“难” ，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果4 （3 分）arccos （x）大于 arccosx 的充分条件是（ ）Ax（ 0
8、， 1 B x（ 1，0）Cx0，1 D考点： 反三角函数的运用 专题： 计算题；压轴题；分类讨论；转化思想分析： 充分考虑 arccosx 的范围，推出 arccos（ x）的范围，然后确定 arccos（x）大于 arccosx 的充分条件解答： 解：arccosx0， ，（1）arccosx 0， ）时，x（0，1，arccos（x）（ ， arccosx，（2）arccosx （ ， 时，x1，0） ，arccos（ x） 0， ）arccosx，（3）arccosx= 时 x=0，arccosx= =arccos（ x） ，故选 A点评： 本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想
9、，是基础题5 （3 分）如果 是第二象限角，且满足 ，那么 （ ）A是第一象限角B是第三象限角C可能是第一象限角，也可能是第三象限角D是第二象限角考点： 半角的三角函数 专题： 计算题；压轴题分析： 先根据 的范围确定 的范围，再由 可确定 的大小关系，进而确定 的象限解答： 解： 是第二象限角 （kZ ）当 k 为偶数时， 在第一象限；当 k 为奇数时， 在第三象限； = = 是第三象限角故选 B点评： 本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系属基础题二、解答题（共 15 小题，满 90 分）6 （4 分）已知圆柱的侧面展开图是边长为 2 与 4 的矩形，求圆柱的体积考点：
10、棱柱、棱锥、棱台的体积 专题： 计算题；分类讨论分析： 圆柱的侧面展开图是边长为 2 与 4 的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积解答： 解：圆柱的侧面展开图是边长为 2 与 4 的矩形，当母线为 4 时，圆柱的底面半径是 此时圆柱体积是当母线为 2 时，圆柱的底面半径是 ，此时圆柱的体积是综上所求圆柱的体积是： 或 点评： 本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题容易疏忽一种情况7 （4 分）函数 log0.5（x 2+4x+4）在什么区间上是增函数？考点： 对数函数的单调性与特殊点 专题： 计算题分析： 本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性
11、来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可解答： 解：令 x2+4x+40，得 x2，由 t=x2+4x+4 知，其对称轴为 x=2故内层函数在（，2）上是减函数，在（ 2，+）上是增函数因为外层函数的底数 0.51，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间故函数 y=log0.5（x 2+4x+4）在（ ， 2）上是增函数答：函数 y=log0.5（x 2+4x+4）在（ ， 2）上是增函数点评： 本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法8 （4 分）求方程 的解集考点： 三角函数的化简求值
12、专题： 计算题；数形结合分析： 利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式解答： 解：由题意知， ，即 1+sin2x= ，sin2x= ，则 2x= +2n 或 +2n（nZ ） ，解得 x= +n 或 +n（nZ） ，所求方程的解集是：x|x= +n，n Zx|x= +n，n Z点评： 本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集9 （4 分）求式子（|x|+ 2） 3 的展开式中的常数项考点： 二项式系数的性质 分析： 解法一：利用分步乘法原理
13、展开式中的常数项是三种情况的和，解法二：先将 利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第 r+1 项，令 x 的指数为 0 得常数项解答： 解法一：（|x|+ 2） 3=（|x|+ 2） （|x|+ 2） （|x|+ 2）得到常数项的情况有：三个括号中全取 2，得（ 2） 3；一个括号取|x| ，一个括号取 ，一个括号取 2，得 C31C21（ 2）=12，常数项为（2） 3+（ 12） =20解法二：（|x|+ 2） 3=（ ） 6设第 r+1 项为常数项，则 Tr+1=C6r（1） r（ ） r|x|6r=（ 1） 6C6r|x|62r，得 62r=0，r=3T3+1=（1
14、） 3C63=20点评： 本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理10 （4 分）求 的值考点： 极限及其运算 专题： 计算题分析：分子、分母同时除以 3n，原式转化为 ，由此能求出 的值解答：解： = =0点评： 本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化11 （4 分）要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 考点： 排列、组合及简单计数问题 专题： 计算题分析： 首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈
15、节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案解答： 解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把 6 个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有 7 个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有 P74 种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有 A66 种所以共有种 P74A66 排法，答案为 P74A66点评： 此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆12 （6 分）设 画出函数 y=H（ x1）的图象考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象 分析： 考查函数图象的变化，y
16、=H（x1）的图象是由 y=H（x）的图象向右平移一个图象得到的故可以先画出 H（x）的图象然后再向右平移 1 个单位得到 H（x1）的图象解答： 解：点评： 考查函数图象的平移问题记 y=f（x） ，则 y=f（x+1） ，y=f（x1） ，y=f（x）+1 ，y=f（x）1的图象，是由 y=f（x）图象分别向左，向右，向上，向下平移 1 个单位得到的13 （6 分）画出极坐标方程 的曲线考点： 简单曲线的极坐标方程 专题： 作图题分析： 先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可解答： 解：方程2=0 或 =0，即 =2 表示圆心在极点，半径为 2 的圆= 表示极角为 的射
17、线画出图象即可点评： 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及作图能力的考查，属于基础题14 （12 分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行考点： 平面与平面之间的位置关系 专题： 证明题；综合题分析： 三个平面两两相交，有三条交线，这三条交线交于一点，或互相平行证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；（1）证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；（2）证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可解答： 证明：设三个平面为 ， ，且 =c，=b ， =a； =c，=b，c，b ；c 与 b
18、 交于一点，或互相平行（1）如图，若 c 与 b 交于一点，可设 cb=P由 Pc，且 c，有 P；又由 Pb，b，有 P；P=a ；所以，直线 a，b，c 交于一点（即 P 点） 图 ； 图（2）如图，若 cb，则由 b，且 c，c；又由 c，且 =a，c a；所以 a， b，c 互相平行点评： 本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题15 （12 分）设 c，d，x 为实数，c 0，x 为未知数，讨论方程 在什么情况下有解，有解时求出它的解考点： 对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用；根的存在性及根的个数判断 分析： 先将对数式转化为指数式
19、，再根据对数函数的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1 找到方程有根的等价条件后可解题解答： 解：原方程有解的充要条件是：由条件（4）知 ，所以 cx2+d=1 再由 c0，可得又由 及 x0，知 ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及 ，知 x1因此，原条件可简化为以下的等价条件组：由条件（1） （6）知 这个不等式仅在以下两种情形下成立：c0，1d0，即 c0，d1；c0，1d0，即 c0，d1、再由条件（1） （5）及（6）可知 c1d从而，当 c 0，d1 且 c1d 时，或者当 c0， d1 且 c1d 时，原方程有解，它的解是点评： 本题主要考查对数式与指数式
20、的互化和方程根的判定属中档题16 （12 分）设 p0，实系数一元二次方程 z22pz+q=0 有两个虚数根 z1，z 2、再设 z1，z 2 在复平面内的对应点是 Z1，Z 2，求以 Z1，Z 2 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长考点： 复数的基本概念；椭圆的简单性质 专题： 计算题分析： 由题意两个虚数根 z1，z 2 是共轭复数，可得椭圆的短轴长： 2b=|z1+z2|=2|p|，焦距为2c=|z1z2|，然后求出长轴长解答： 解：因为 p，q 为实数，p0，z 1，z 2 为虚数，所以（2p） 24q0，qp 20由 z1，z 2 为共轭复数，知 Z1，Z 2 关于 x 轴对称，所以椭
21、圆短轴在 x 轴上，又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z2|=2|p|，焦距离=2c=|z 1z2|= ，长轴长=2a=点评： 本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力17 （9 分）求经过定点 M（1，2） ，以 y 轴为准线，离心率为 的椭圆的左顶点的轨迹方程考点： 椭圆的标准方程；轨迹方程 分析： 先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为 A（x，y） ，然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程解答： 解：因为椭圆经过
22、点 M（1，2） ，且以 y 轴为准线，所以椭圆在 y 轴右侧，长轴平行于 x 轴设椭圆左顶点为 A（x，y） ，因为椭圆的离心率为 ，所以左顶点 A 到左焦点 F 的距离为 A 到 y 轴的距离的 ，从而左焦点 F 的坐标为设 d 为点 M 到 y 轴的距离，则 d=1根据 及两点间距离公式，可得这就是所求的轨迹方程点评： 本题主要考查椭圆方程的第二定义，平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合18 （12 分）在ABC 中，A， B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c=10， ，P 为ABC 的内切圆上的动点，求点 P 到顶点 A，B，C 的距离的平方和的最大值与最小
23、值考点： 三角函数的最值；正弦定理 专题： 计算题分析： 利用正弦定理可求得 ，进而根据题设等式求得 整理求得 A+B= 判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得 a 和 b，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出 p 的坐标，表示出，S=|PA| 2+|PB|2+|PC|2，利用 x 的范围确定 S 的范围，则最大和最小值可得解答： 解：由 ，运用正弦定理，有 ，sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B因为 AB，所以 2A=2B，即 A+B=由此可知ABC 是直角三角形由 c=10， ，a 2+b2=c2 以及 a0，b
24、0 可得 a=6，b=8如图，设ABC 的内切圆圆心为 O，切点分别为 D，E，F，则AD+DB+EC= （10+8+6 ） =12但上式中 AD+DB=c=10，所以内切圆半径 r=EC=2，如图建立坐标系，则内切圆方程为：（x2） 2+（y2） 2=4设圆上动点 P 的坐标为（ x，y） ，则 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2=（x8） 2+y2+x2+（y6） 2+x2+y2=3x2+3y216x12y+100=3（x2） 2+（y2） 24x+76=344x+76=884x因为 P 点在内切圆上，所以 0x4，S 最大值 =880=88，S 最小值 =8816=72点评： 本题主
25、要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题考查了学生基础知识的综合应用19 （12 分）设 a2，给定数列 xn，其中 x1=a， 求证：（1）x n2，且 ；（2）如果 a3，那么 考点： 用数学归纳法证明不等式 专题： 计算题；压轴题分析： （1）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式 xn2 当 n=1 时成立，再假设不等式 xn2当 n=k（k 1）时成立，进而证明当 n=k+1 时，不等式 xk+12 也成立，最后得到不等式xn2 对于所有的正整数 n 成立；（2）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式 当 n=1 时成立，再假设不等式当 n=k（k 1）时成
26、立，进而证明当 n=k+1 时，不等式 也成立，最后得到不等式 对于所有的正整数 n 成立；解答： 证明：（1）当 n=1 时， = ，= =2+ ，x 1=a2，2x 2x 1结论成立假设 n=k 时，结论成立，即 2x k+1x k（kN +） ，则 = x k+1，=2+ 22x k+2x k+1，综上所述，由知 2x n+1x n x n2 且 （2）由条件 x1=a3 知不等式当 n=1 时成立假设不等式当 n=k（k 1）时成立当 n=k+1 时，由条件及 xk2 知0，再由 xk2 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式 也成立，从而不等式 对所有的正整数 n 成立
27、点评： 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质，其步骤为：设 P（n）是关于自然数n 的命题，若 1） （奠基） P（n）在 n=1 时成立； 2） （归纳） 在 P（k） （k 为任意自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都成立20如图，已知圆心为 O，半径为 1 的圆与直线 l 相切于点 A，一动点 P 自切点 A 沿直线 l 向右移动时，取弧 AC 的长为 ，直线 PC 与直线 AO 交于点 M又知当 AP= 时，点 P 的速度为 v，求这时点 M 的速度考点： 直线与圆的位置关系 专题： 压轴题分析： 设 AP 的长为 x，AM 的长为 y，用 x 表示 y，并用复合函数求导法则对时间 t 进行求导解答： 解：如图，作 CDAM，并设 AP=x，AM=y ， COA=，由题意弧 AC 的长为 ，半径 OC=1，可知 = ，考虑 （0，） APMDCM， DM=y（1cos ） ，DC=sin ， 上式两边对时间 t 进行求导，则 yt=yxxtyt=当 时，x t=v，代入上式得点 M 的速度 点评： 本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；同时也考查了逻辑思维能力和计算能力
