1、12017 届全国统一考试考前预测卷（一）数学（理科）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分考试时间 120 分钟第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1设集合 MZ， 20Nx，则 MN（ ）A 0 ， B 1 ， C 1 2， D 2，2已知 i是虚数单位，复数 2017i的共轭复数为（ ）A 34 B 34 C 54i D 54i3已知等比数列 na的公比 q， 36,a则其前 2017 项和 2017S（ ）A 2019 B 2018 C 2018
2、D 20194下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输出的 ，则输入的 ,b可能是（ ）A.15,18 B.14,18 C.12,18 D.9,185.若实数 ,xy满足不等式组102xy，则 22914zxy的最小值为（ ）A2 B5 C26 D376.在 BC中, abc分别为 ,AC所对的边,若函数23221fxbxacx1有极值点，则 sin(2)3B的最小值是（ ）A. 0 B. C. 3 D. -17某学校需要把 6 名实习老师安排到 A， ， C三 个班级去听课，每个班级安排 2名老师，已知甲不能安排到 班，乙和丙不能安排到同一班级
3、，则安排方案的种数有（ ）A 24 B 6 C 48 D 78如图， 12,F分别是双曲线 210,xyab的左、右焦点，过 1(,0)F的直线 l与双曲 线分别交于点 ,A，若 2F为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A25178xyB216xyC26D25879函数 2()1)cos(xfe的图象的大致形状是（ ）10在三棱锥 BCDA中，ABC 与BCD 都是正三角形，平面 ABC平面 BCD，若该三棱锥的外接球的体积为 1520，则ABC 边长为（ ）A. 32 B. 364 C. 36 D.611如图所示， A， B， 是半径为 2 的圆 O上不同的三点，线段 CO的延长线与线段 交
4、于圆外的一点 D，若（ R， ） ，则 的取值范围是（ ）3A (0,2) B (,) C ,2 D ,012. 已知实数 ba,满足 1eb,则 22()(ln)(0acbc的最小值为（ ）A21eB2eC21eD第卷（13-21 为必做题，22-23 为选做题）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13. 已知 9()2ax的展开式中， 3x的系数为 94，则 21adx=_.14.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体中最长的棱长是_.15如图，在 ABC中，角
5、 ,所对的边分别为,abc，且 1sincosinco3A，D是 的中点，且 25,26BD，则ABC的最短边的边长为_.16. 如图，已知椭圆21xy的左、右顶点分别是 A， B，过点 B 作 轴的垂线 l，点 P是直线 l的一点，连接 P交椭圆于点 C，坐标原点是 O，则 与 BC所成角为_.三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分 12 分）已知数列 na满足 1*2()nnSaN.4（1）求 23,a；（2）是否存在实数 ，使数列 2na为等差数列，若存在，求出请求出 的值，若不存在，说明理由.18.（本小题满分 12
6、 分）2017 年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要 2 万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教 师需要 5 万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市 100 所乡村中学在过 去三年内的教师流失数，得到下面的柱状图：流失的教师数以这 100 所乡村中学流失教师数的频率代替 1 所乡村中学流失教师数发生的概率，记 X表示两所乡村中学在过去三年共流失的教师数， n表示今年为
7、两所乡村中学招聘的教师数.为保障乡村孩子教育部受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘.（）求 X的分布列；（）若要求 ()0.5Pn，确定 的最小值；（）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在 19n与 20之中选其一，应选用哪个？19. （本小题满分 12 分）如图，已知 DEF与 ABC分别是棱长为 1 与 2 的正三角形， AC/ DF，四边形BC为直角梯形， / ， D，点 G为 B的重心， N为 B中点，AG平面 ， M为线段 F上靠近点 的三等分点.（）求证： /平面 N；（）若二面角 BC的余弦值为 74，试求异面直线 与 D所成角的余弦值.520. （本小
8、题满分 12 分）已知点 M是抛物线 E: 2ypx的准线与对称轴的交点， F是抛物线的焦点， N是抛物线上一点满足 NFm，当 取最小值时，点 N横坐标为 1.（I）求抛物线 的方程；（II）直线 )0(kbxy交 x轴于点 C，交抛物线 E于不同的两点 BA,，点 关于x轴的对称点为 P，点 关于 y轴的对称点为 Q，求证： P,三点共线.21.（本小题满分 12 分）已知函数 ln3(fxabxaR且 0)（1）若 ，求函数 f的单调区间；（2）当 时，设 ()gx，若 ()gx有两个相异零点 1x， 2，求证：12lnx选做题：请考生在 2223 两题中任选一题作答，如果多做，按所做的
9、第一题记分.22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为3,21,xty（ 为参数） ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C的方程为 364sin2cos，定点(6,0)M，点 N是曲线 1上的动点， Q为 MN的中点.（1）求点 Q的轨迹 2C的直角坐标方程；（2） 已知直线 l与 x轴的交点为 P，与曲线 2的交点为 A， B，若 的中点为 D，求 |PD的长23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()|2|2|,fxxR. （1）求不等式 3的解集；（2）若方程 ()2fxa有三个
10、实数根，求实数 a的取值范围.6数学（理科）参考答案一、选择题.1.【答案】A【解析】因为 2012Nxx ，所以 MN0 1， ，故选 A.考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的交集.2 【答案】A【解析】因为 20172()34iii，所以共轭复数为 34i，选 A.考点：共轭复数概念， n的周期性，复数运算.3 【答案】A【解析】根据题意可得，20172019120174(), 4aS.考点：等比数列通项及求和.4 【答案】B【解析】执行程序，可知 a=14，b=18 时，b=18-14=4，由 ab，则 a 变为 14-4=10，由 ab，则 a 变为 10-4=6，由 ab，则
11、a 变为 6-4=2，由 ab，则 b 变为 4-2=2，由 a=b=2，则输出的 a=2考点：程序框图5.【答案】B【解析】作出可行域，如图所示， 2(3)1zxy设 32xy变形成 2可知过点 ,0(A时纵截距最小，此时 2，,)， min5Z.7考点：简单的线性规划.6.【答案】D【解析】由已知可得 22 0fxbac有两个不等实根22401cos(,)3bacBBmin52(,)si(213.考点：函数的极值, 余弦定理,三角函数最值.7 【答案】C【解析】先考虑甲不能到 A班的方案：1254()C60,减去其中乙和丙安排到同一班级的方案123()，即 48种，选 C.考点：排列组合8
12、.【答案】C【解析】由已知 21BFa， 12AFa，又 2ABF为等边三角形，所以 121A，所以 24.在 1中， 16a， 24，Fc， 260A，由余弦定理得 2236cos60c，解得 21a，所以 b，双曲线的方程为 21yx，故选 C.考点：双曲线的定义和标准方程.9 【 答案】B【解析】由已知可得 ()()fxffx是奇函数 排除 A、C；又12()cos0ef排除 D,故 选 B.考点：函数的图象.10.【答案】D【解析】取 BC 的中点为 M，E、F 分别是正三角形 ABC 和正三角形 BCD 的中心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接 AM、DM 、OF、OE 、OM 、O
13、B，则 E、F 分别在 AM、DM 上，OF平面 BCD，OE平面 ABC，OMBC ，AMBC，DMBC ，所以AMD 为二面角 ABCD 的平面角，因为平面 ABC平面 BCD，所以 AMDM，又 AM=DM=32a，所以 FE= A31= 6a，所以四边形 OEMF 为正方 形，所以8OM= 6a，在直角三角形 OMB 中，球半径 OB= 2BMO=225()(61a，所以外接球的体积为24501531a，故选 D.考点：三棱锥的外接球问题.11 【答案】D【解析】因为 2OABC, OAB,所以 224OCAB，展开得 2416，所以 2cos,当60B时， 2即 2,所以2.当 ,O
14、AB趋近于射线 D时，由平行四边形法则可知2CEF,此时 0,且 ，所以 0，因此的取值范围是 ,0，故选 D. 考点：平面向量的数量积.12.【答案】C【解析】用 x代换 a，用 y代换 b，则 ,xy满足21ey,以 x代换 c，可得点 (,ln)，满足 lnx，所以求 22()(ln)acbc的最小值即为求圆921xey上的点 Q到曲线 lnyx上的点 P的距离的最小值.由圆的对称性知,只需考虑圆心 0,eC到曲线 l上的点距离的最小值.设曲线 lnyx上任一点 1,ln,|xtPty,即经过 P的切线斜率为 t1,由切线垂直于直线 PC,所以0,tte即： 2ln0et.不妨设 21l
15、ngxex，则120,23,2,3gxexxx 时 ， 在为增函数,又ln2e,即当 1,eP时线段 Q长度最小,为ee221,故选 C.考点：1.求切线方程；2.函数的单调性；3.两点间距离公式.二、填空题.13.【答案】 9ln5.【解析】由二项式 9()2ax的展开式为3999212()(1()rrrrrrraTCCaxx，令8r，可得 88343991()Ta，令 4，解得 4则 422 9ln(1)l()ln25adxdxx考点：二项式定理的应用,定积分计算.14.【答案】8.【解析】由题设三视图中所提供的信息可知该几何体的直观图如图所示： DCABEF104,ABDECF8DE,
16、42,16324ABCF.故最长的棱长为 8.考点：三视图.15 【答案】 2.【解析】 1sincosinco3aACA， i sinC，即 1isni3ABC.由 25cosB得 5sin，CA， 3isinAB，则 sinc，得 ta1 4，则 226bc，51sinsin3AC且 1isin3BC， 20,5cbca， 229605a.解得 a， ,6. ABC的最短边的边长 2.考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.16.【答案】 .【解析】设 (2,)Pt，则直线 PA的方程为 (2)tyx，由 21xyt，整理得 22(4)80txt，解得 12x， 24xt，则点 C的坐标是2
17、44(,)t，故直线 BC的11斜率 2BCkt，由于直线 OP的斜率 2OPtk，故 1BCOPk， BC.考点：直线与椭圆的位置关系.三、解答题.17. 【答案】 （1） 239,5a；（2）存在实数 1，使数列 2na为等差数列.【解析】 （1） 1nnS 1()从而 21nna，即： 12(2)nna可得 13， 2129， 3335a.（2）若 n为等差数列，则 )2(1，5982， .当 =1时， 112nn naa.即： 12nn,数列 n为等差数列.存在实数 ，使数列 2na为等差数列.考点：递推公式的应用, 等差数列的定义，数列探索性问题.18. 【答案】 （）见解析；（）1
18、9；（） 19.【解析】（）由柱状图并以频率代替概率可得，一所高校在三年内流失的人才数为 8，9，10，11的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而 04.2.)16(XP； 167； 24.)8(；02019XP；4.)2(；8；0)(XP.12所以 X的分布列为16 17 18 19 20 21 22P04.16.2402.084.（）由（）知 )8(P， 6)19(XP，故 n的最小值为 19.（）记 Y表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）.当 19n时， 20.6(25)0.(25)0.8E(235).4.当 0时， .8(205).8(205)0.
19、4Y.8.可知当 19n时所需费用的期望值小于 n时所需费用的期望值，故应选 19n.【考点】概率与统计、随机变量的分布列19. 【答案】 （1）证明见解析；（2） 3.【解析】 （）连 AG延长交 BC于 P，因为点 为 的重心，所以 2又 23MF，所以 3MF，所以 G/ F；因为 C/ D， E/ ，所以平面 A/平面 DE，又 与 AB分别是棱长为 1 与 2 的正三角形，N为 中点， P为 中点, NP/ C,又 / ，所以 / ，得 四点共面G/平面 F（）由题意，以 为原点， 为 x 轴， E为 y 轴， PA为 z 轴建立空间直角坐标系，设 CDm，则 113(1,0)(,)
20、(0,3),(,0)(,)(,0)22AFmBN，2,3AMF(,)， 4(,)(,)mCM设平面 BC的法向量 (,)nabc，则 0nB，取 (,32)n，平面 D的法向量 0,1v，13所以二面角 MBCD的余弦值 27cos43nvm， 216，又 523(,)6mN， (0,)21cos, 74CDM,直线 MN与 CD所成角为 3. 考点：空间线面的平行的判定及向量的数量积公式等有关知识的综合运用.20.【答案】 （I） 24yx；（ II）证明见解析.【解析】 （ I）设 (,),0)(,)2pNF，则 222222411333() 44pxxF pxpmMp xy当且仅当 x时
21、， m取得最小值.所以抛物线方程为： 2yx.（II）由条件可知 )0,(kbC，则 ),(kQ. 联立 xy42，消去 y得 0422bxx，0)1(6)(2bkkbk. 设 , 221xyBxA，则 2,yP,4,42121 kk .2142kbx因为 122(),81APyxbkk 110()()2AQykxbk bkkx所以 PAQP,三点共线. 14考点：抛物线定义,直线与抛物 线的位置关系.21.【答案】 （1）当 0a时，函数 xf的单调增区间是 1,0，单调减区间是 ,1，当0a时，函数 xf的单调增区间是 ,1，单调减区间是 ；（2）见解析. 【解析】 （1）由 3lnx知
22、xaf)( 当 时，函数 f的单调增区间是 ,0，单调减区间是 ,1， 当 0a时，函数 x的单调增区间是 1，单调减区间是 0.（2） ()lngb,设 ()g的两个相异零点为 1x， 2，设 12x， 1x， 2)0x， 1ln0xb， lnb， 1l(， 212()x，要证 12nlx，即证 1()x，即 1212l，即 122()lnx，设 2xt上式转化为 ()lt（ t） ，设 (1)()lntgt，2 0()t， )gt在 1,上单调递增， (0， 2(1)lnt， 12lnx考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数与方程、不等式.22.【答案】 （1） 22(3)y；（2）
23、 3.【解析】 （1）由题意知，曲线 1C的直角坐标方程为 214360xyy.设点 (,)Nxy， ),(Q. 由中点坐标公式得 6，15代入 214360xyy中，得点 Q的轨迹 2C的直角坐标方程为 22(3)xy.（2） P的坐标为 (3,0) ，设 l的参数方程为3,1,2xty（ 为参数）代入曲线 2C的直角坐标方程得： 2(3)0tt，设点 A， B， D对应的参数分别为 1， 2， ，则 123t， 123t，|=P123|t.考点：求动点的轨迹方程，直线的参数方程中参数的几何意义23.【答案】 （1）(,4（2 ） 1a.【解析】 （1）原不等式等价于 3x或 14x或 43， 得 1x或 34x不等式 ()3fx的解集为 (, （2）由方程 2a可变形为 1xa 令，121)( xxxh作出图象如下:于是由题意可得 1a 考点：绝对值不等式的解法，方程解的个数问题.11-1-1 xy
