1、,高,邱茂路,等,数,学,刘效军,第一章 函 数,由于事物之间的相互联系，常常可以用函数来表达，因此，函数概念就显得非常重要。事实上，函数是数学研究的基本对象，各种各样的数学问题，实质上是在研究各种各样的函数的各种各样的性质。,本章介绍与函数概念有关的一些术语，主要有：函数、定义域值域、反函数、复合函数、隐函数。简单介绍了反三角函数，以及函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性四条基本性质。,本章的内容大部分是中学已经学过的，但表示方式可能是新的。,1.1 函数的概念,1.2 反三角函数,1.3 函数的基本性质,1. 1,1.1 函数的概念,1.1.1 函数的概念,设X，Y为两个集合，若对xX，按
2、照对应规则f，有Y中唯一的元素y与之对应，则称对应规则f为从X到Y的一个函数，记做,称X为函数的定义域，记为Df ，即Df =X。,可用图1.1-1表示为：,函数概念要反映的，是两个集合X, Y的元素之间的对应关系。,定义 1.1.1：,1. 1,f是由X到Y的函数，它的定义域是X，它的值在Y中。,符号 表示：,符号 表示：,f 映x到y。,f 映x到y常记为y = f (x)，此时也说x在f下的象是y，并称x为自变量，y为因变量。,对于X的任意子集A，A中所有元素的象的集合,叫做A在f下的象，记作f (A)。,特别，X在f下的象f (X)称为函数的值域。,1. 1,图1.1-2给出X到Y的一
3、个函数关系，其中,在微积分课程中，集合X，Y通常为数集，而对应规则f通常由依次执行的一系列运算来实现，而这一系列运算，常由一个表达式给出，这是微积分中最常见的函数形式。例如,X =1,2,3,4,5，Y =a,b,c,d,e，定义域为X，值域为a,b,c。,1. 1,1.1.2 满射，单射，双射,函数是一种对应规则，其中有三种特殊情况。区别这三种情况，有助于我们理解反函数的概念。,(1)满射。,若yY，xX，s.t.,y = f (x),称f : XY为满射。,满射就是Y中每一个元素都是“象”。,这里“”，读作“任意”，或“任给”；“”读作“存在”；“s.t.”读作“使得”。,引进具有特定意义
4、的符号，将使我们的表达更加简洁和准确。以后，我们会经常这样做。,1. 1,(2)单射。,图1.1-5 给出一个满射：,若x1，x2X，,当x1 x2 f (x1) f (x2),称f : XY为单射。,单射就是不同的元素，有不同的象。,符号“”读作“则”，或“那么”。,图1.1-6 给出一个单射：,1. 1,(3)双射。,若f : XY既是满射，又是单射，称f为双射，或“一一对应”。,图1.1-7给出一个双射。：,1.1.3 反函数,对于双射，f : XY，若将箭头反向，如图1.1-8，则给出由Y到X的函数，称为f的反函数。,1. 1,定义 1.1.2：,设f : XY为双射，定义映射,f 1
5、 : YX,当f (x) = y时，有 f 1 (y) = x，称f 1为f的反函数，或叫逆映射。,由反函数的定义，易见有下列重要恒等式：,求y= f (x)的反函数，只要将x解出来。,1. 1,例如：y = 2x +1，反函数：,y = e x， 反函数：x = lny,当 f : XY不是双射，此时，常将f限制在一个满足双射条件的范围内定义反函数。,例如：y = x2，看作(-, +)(-,+)的函数，不为双射；,若看作(0, +)(0,+)的函数，则为双射。,此时有反函数,1. 1,1.1.4 复合函数,一个函数给出一个对应规则。两个函数,接连进行，则给出一个由X到Z的对应规则,即 F(
6、x) = g ( f (x)，,称F(x)为g与f的复合函数。,例如：y = sinu，u = x2，复合而成 y = sinx2。,y = eu，u = sinx，复合而成 y = esinx。,F是g与f的复合也常记作,F = go f,此时，称f为内层，g为外层。所谓的内层外层，只是说，在上述表达式中，g在外层，f在内层，但作为复合函数是依次接连进行的两个对应，没有层的含义。,类似地，三个对应接连进行，将给出三个函数的复合函数。,1. 2,1.2 反三角函数,1.2.1 反正弦函数,三角函数为周期函数，其定义域与值域之间不是双射，因而三角函数在其定义域内无反函数。,为定义三角函数的反函数
7、，我们限制自变量的范围，使此限制区间上的函数为双射，进而即可考虑反函数。,图1.2-1,1. 2,定义 1.2.1：,x = arcsiny,注意，arcsin 是一个符号，不能拆开写。反正弦函数是,的映射，反正弦函数定义域是-1,1，值域是,由反正弦函数定义，易见反正弦函数有下列重要的恒等式：,sin(arcsiny ) = y，y-1,1,arcsin(sinx ) = x，,1. 2,人们习惯于用y表示因变量，用x表示自变量，因而反正弦函数通常记为,y = arcsinx,反正弦函数的图像如图1.2-2：,例1.2.1,例1.2.2.,1. 2,1.2.2. 反余弦函数,余弦函数y =
8、cosx 在区间0, 上为双射。见图1.2-3。,图1.2-3,1. 2,定义 1.2.2：,y = cosx在区间0, 上的反函数叫反余弦函数,记为 x = arccosy,反余弦函数是-1, 1 0, 的映射，即,arccos: -1, 10, ,反余弦函数定义域是-1,1，值域是0, 。,反余弦函数有下列重要的恒等式：,cos(arccosy ) = y，y-1,1,arcos(cosx ) = x，x0, ,反余弦函数通常记为 y = arccosx,反余弦函数的图像，如图1.2-4：,图1.2-4,例如：,1. 2,1.2.3. 反正切函数,图1.2-5,1. 2,定义 1.2.3：
9、,x = arctan y,arctan：(-, + ) ,反正切函数通常记为 y = arctanx,反正切函数的图像，如图1.2-6：,图1.2-6,1. 2,1.2.4. 反余切函数,定义 1.2.4：,余切函数y = cotx限制在(0, )上为双射。见图1.2-7。,图1.2-7,余切函数在(0, )上的反函数叫反余切函数，记为,x = arccoty,反余切函数通常记为 y = arccotx,反余切函数的图像如图1.2-8：,图1.2-8,1. 3,1.3 函数的基本性质,1.3.1 函数的基本性质,一个函数，有很多性质，研究函数的性质是数学的主要内容。下面要讨论的是函数的几条基
10、本性质。,性质1奇偶性,若xDf ，有f (-x) = f (x), 称f (x)为偶函数；,若xDf ，有f (-x) = -f (x), 称f (x)为奇函数。,1. 3,奇函数的图形关于原点对称，见图1.2-1。,偶函数的图形关于y 轴对称，见图1.2-2。,图1.2-1,图1.2-2,例如，f (x) = x , x3, x5，为奇函数，f (x) = x2, x4, x6，为偶函数。其实，“奇，偶”函数的叫法就源于此。,1. 3,注意，奇、偶函数的定义域一定是对称区间，若定义域不是对称区间，则该函数就不可能是奇、偶函数。,判断奇偶性，一是用定义，二是用运算性质。,奇、偶函数的运算性质
11、有：,这里的“=”，应读作“是”。,判断函数的奇偶性通常由这些运算性质来判断。,1. 3,例1.3.1判断 f (x) = x3 cosx的奇偶性。,解法1按定义：,f (-x) = (-x)3 cos(-x) = - x3cosx = -f (x), f为奇函数。,解法2按运算性质：,因为x3为奇函数，cosx 为偶函数，由奇偶函数运算性质可知，x3 cosx为奇函数。,1. 3,性质2单调性,性质3周期性,设f (x)在区间I上有定义, 若对x1, x2I，,当x1 x2，有( f (x1) f (x2) )，称f (x)在I上是单调增加的；,当x1 f (x2) )，称f (x)在I上是
12、单调减少的。,函数的单调性，通常用函数的导数来判定。我们将在第四章介绍这一方法。,若存在正数T，使对x有,f ( x + T ) = f (x),则称f为周期函数，并把满足上式的最小正数叫 f 的周期。,在我们这门课中，记住三角函数的周期就可以了。,1. 3,性质4有界性,设f (x)在区间X上有定义。若存在常数M0，使对一切xX，有,f (x) M,称f (x)在区间X上有界。,注意，函数f (x)有没有界，是相对于某个区间而言的。,例如：由| sinx | 1 x (-, +)，可知sinx在(-, +)上有界。,另外，f (x) = x2 + 4 在0,2上有界，但在(-, + )上无界
13、。,1. 3,1.3.2 初等函数,常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这六类函数称为基本初等函数。我们应该熟悉这些函数的定义域、图象形式及基本性质。,由基本初等函数，经有限次、，及复合而得到的，只能用一个公式表示的函数，称为初等函数。,例如： ， , 都是初等函数。,1. 3,1.3.3 分段函数,若函数在其定义域的各个互不相交的子集上，分别用不同的公式表示，这样的函数叫分段函数。,例1.3.3.,=x -a,例1.3.4.,f (-2) = 4，,注意：分段函数在其定义域上是一个函数，只是对应规则在不同的区间上用不同的公式表示。,分段函数一般不是初等函数，但也有例外
14、，如,既是初等函数，也是分段函数。,1. 3,1.3.4 隐函数,函数是一种对应规则，通常由一个公式,y = f (x) (1),给出。但有时也用一个方程,F (x, y) = 0 (2),给出。例如式 2x - y = 0,这时对应规则的给出，相对于第一种情况是隐藏的、含蓄的。要知道一个元素 x0 对应着哪个 y ，需要解方程才能知道。因此，由方程F (x, y) = 0 确定的函数 y = y (x) 称为隐函数，相应的，称 y = f (x) 显函数。,1. 3,有些时候，一个隐函数很容易改写为显函数，例如，2x y = 0，可以改写为y = 2x。但在很多情况下很难。此时，人们就需要在不改写为显函数的情况下，研究函数y = y (x)的各种性质。,当然，所有显函数都容易写成隐函数的形式。,
