1、线性代数,昆明理工大学数学系 2010.5,2,分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数,解,例,1、计算排列的逆序数,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列,于是排列的逆序数为,2、,求第一行各元素的代数余子式之和,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,按第一行或列展开, 用化三角形行列式计算,例 计算,解,提取第一列的公因子，得,评注 本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式 化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的
2、某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的, 用降阶法计算,例 计算,解,评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用,5,设,6,故,解,注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,7 设列矩阵 满足,证明,7,解,方法一 用定义求逆阵,逆矩阵的运算及证明,注,方法二,
3、注 此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的 矩阵不适用,求逆矩阵的初等变换法,8 求下述矩阵的逆矩阵,解,注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换,四、解矩阵方程的初等变换法,或者,当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解,当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则,二、求解线性方程组,9 求非齐次线性方程组的通解,解 对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使 其成为行最简单形,由此可知 ，而方程组(1)中未知 量的个
4、数是 ，故有一个自由未知量.,10 当 取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解,解法一 系数矩阵 的行列式为,从而得到方 程组的通解,解法二 用初等行变换把系数矩阵 化为阶梯形,11 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,证,事实上,14,解,再把它们单位化，取,解,15 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,于是得正交阵,1. 对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)
5、特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值,2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化,解,小结,1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法,2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种 方法拉格朗日配方法,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,
