1、同学们好！ 新学期开始，你有对学习什么计划？对概率论与数理统计这门课有什么期望？,希望：不迟到，不早退，不溜号，不缺课，不抄袭爱学习，爱思考，爱提问，爱交流，爱总结,对老师教学有看法和建议记得要提出来呀！ 我会努力和大家一起学好，教好这门课。,无论你从前怎样，现在都是新的开始，只要珍惜课上的每一分钟和课下总结、复习、思考，相信你一定会取得好成绩！,课程简介,例1 某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为60%，开工时耗电各为1千瓦，问供 电所至少要供给这个车间多少电力才能保证这个车间正常生产。,用概率论方法可以圆满的解决此问题。答案是供给 141千瓦即可。可能会因供电不足而影响生产，但
2、按 一天工作8小时算，只有不超过半分钟时间会出现这 种情况。,例2 在一著名的电视节目里，台上有三扇门，记为A， B，C，其中只有一扇门后有大奖。,请你猜哪扇门后有大奖，如果猜中，你将得到该大奖。,A,B,C,若你选择了A，在门A被打开之前，主持人打开 了另外两扇门中的一扇，比如是B，发现门后什么都 没有。 问你是否改变决定（从A门到C门）？,(答案：选A有大奖的概率为1/3，选C有大奖的概率为2/3),课程简介,例3 保罗和梅累两人掷骰子，各压赌注12个金币，共 24个。约定：梅累若先掷出3次“6点”，或保罗先掷出 3次“4点”，就算赢了对方。赌博进行一段时间以后， 梅累已掷出2次“6点”，
3、保罗也掷出了1次“4点”，这时， 一件意外的事件中断了他们的赌博，以后也不想继续 这场没结束的赌博了，可是怎样分配赌金呢？,保罗认为：梅累再掷一次“6点”才算赢，而自己再掷两 次“4点”也就赢了。所以，梅累应得全部金币的2/3， 即16个，自己应得1/3，即8个。,课程简介,课程简介,17世纪法国著名数学家帕斯卡和费马分别用不同方法 解决了此问题。梅累应得全部金币的3/4，即18个，保 罗应得1/4，即6个。,可是梅累认为：即使下次保罗掷出“4点”，两人也就是 平分秋色，各自收回12个金币，何况，下次自己还有 一半的机会赢，所以，自己应得全部金币的3/4，即18 个，保罗应得1/4，即6个。,
4、课程简介,瑞士数学家Bernolli 建立了概率论中第一个极限定理，阐明了事件发生的频率稳定于它的概率。 19世纪俄国数学家Chebyshev,Markov,Liapunov以及20世纪的Levy等人建立了大数定律和中心极限定理的一般形式，解释了为什么实际问题中许多随机变量都服从正态分布。 Einstein,Wiener,Levy等人对生物学家Brown在显微镜下观测到的花粉微粒的“无规则”运动进行了开创性的理论分析，提出了Brown的模型。 法国数学家Bachelier在他的论文中首次提出了Brown运动，并以此作为证券价格涨落的数学模型。他是近代金融数学的先驱。,1933年Kolmogor
5、ov创立了概率论的公理化体系，使早期概率论研究中出现的含糊和暧昧之处得以澄清，为近代概率论奠定了严密的理论基础，使得近代概率论得以健康发展。,课程简介,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。,在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象。,在个别实验中其结果呈现出不确定性；,概率论与数理统计 已成为高等工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。,课程简介,概率论与
6、数理统计 在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。,第一章 概率论的基本概念 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计,目 录,1 随机事件的概率 2 等可能概型 3 条件概率 4 独立性,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,一 随 机 试 验二 事件间的关系与运算三 频 率 与 概 率,P&S,1 随 机 事 件 的 概率,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。,这里试验的含义十分广泛，
7、它包括各种各样 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：,1) 随机试验（Experiment ）,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,一 、 随 机 试 验,1 随机事件的概率,E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。,这些试验具有以下特点：,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；,每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。,E4：观察某一电子元件的寿命。,E5：观察某地区一昼夜的最高温度和最高温度。,可以在相同的条件下重复进行；,1 随机事件的概率,称具备上面三个特点的
8、试验为随机试验。,2) 样本空间(Space),定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。,S1 : H , T S2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 S3 : 0,1,2,3 S4 : t | t 0 S5 : ( x , y ) | T 0 x , y T1 ,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机事件的概率,要求：会写出随机试验的 样本空间。,随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等； 基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 必然
9、事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。,3) 随 机 事 件,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机事件的概率,例如：S2 中,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,事件 A=2,4,6 表示 “出现偶数点”;,事件 B=1,2,3,4 表示 “出现的点数不超过4”.,1 随机事件的概率,1) 包含关系,二 、 事件间的关系与运算,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,如果A发生必导致B发生，则,1 随机事件的概率,2）相等关系,3) 和（并）事件,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,事件 发生当且仅当
10、 A, B 至少发生一个 .,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,4) 积（交）事件,事件 发生当且仅当A , B 同时发生.,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,考察下列事件间的包含关系：,1 随机事件的概率,5) 差事件,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,发生当且仅当 A 发生 B 不发生.,1 随机事件的概率,6) 互不相容（互斥）,7) 对立事件 （逆事件）,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,请注意互不相容与对立事件的区别！,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,例如，在S4 中,事件 A=t|t1000,表示 “产品是次品”,事件 B=
11、t|t 1000,表示 “产品是合格品”,事件 C=t|t1500,表示“产品是一级品”,则,表示 “产品是合格品但不是一级品”;,表示 “产品是是一级品” ;,表示 “产品是合格品”.,1 随机事件的概率,8) 随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,第一章 概率论的基本概念,结合律:,分配律:,De Morgan（德摩根）定律:,返回主目录,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,练习：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运算关系表示下列各事件.,（1）A 发生.,(2) A 发生，B 与 C 都不发生.,(3) A ,B , C 都发生.,(
12、4) A ，B , C 至少有一个发生.,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,(5) A ，B , C 都不发生.,(6) A ，B , C 不多于一个发生.,(7) A ，B , C 不多于两个发生.,(8) A ，B , C 至少有两个发生.,第一章 概率论的基本概念,要求：会用集合论语言和概率论语言表述 事件的关系. 掌握： De Morgan定律.,1 随机事件的概率,三 、 频 率 与 概 率,1） 频率的定义和性质,定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件A 发生的
13、频率，并记成 fn(A) 。,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,它具有下述性质:,返回主目录,1 随机事件的概率,2 ） 频率的稳定性,实 验 者德摩根蒲 丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊,n nH fn(H),20484040 12000 24000,106120486019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机事件的概率,频 率 稳 定 值 概率,事件发生 的频繁程度,事件发生 的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机
14、事件的概率,3） 概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件 A 的概率，要求集合函数 P( . ) 满足下列条件：,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机事件的概率,4 ） 概率的性质与推广,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机事件的概率,性质 9,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,1 随机事件的概率,要求：熟练掌握概率的性质。,第一章 概率论的基本概念,1）加法原理：完成某
15、件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。,3） 排列： (1)有重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取 r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。,四、排列组合公式,2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm种方法。,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,4）组合： （1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,（2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为,1 随机事件的概率,说明 ：如果把 n 个不同元素
16、分成两组，一组r个，另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,第一章 概率论的基本概念,（2）多组组合：把n个不同元素分成k组 , 使第 组有 个元素， ，若组内元素不考 虑顺序，那么不同分法有 种。,（3）常用组合公式：,1 随机事件的概率,说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题 是很重要的。,2 等可能概型,等可能概型（古典概型）,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。,一、 等可能概型（古典概型）,我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫
17、做古典概型。,第一章 概率论的基本概念,2等可能概型,返回主目录,设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,第一章 概率论的基本概念,2等可能概型,返回主目录,若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A =e1, e2, ek , 则有 ：,第一章 概率论的基本概念,2等可能概型,返回主目录,例 1 把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？,解：,第一章 概率论的基本概念,2等可能概型,返回主目录,将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一 个基本事件，共有放法4！种。,把书恰好排成序有两种放法。
18、所以，所求概率为,例 2 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有,而每个盒子中至多放一只球, 共有,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,思考：某指定的n 个盒子中各有一球的概率。,2等可能概型,此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出： “在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 99.7%。,n p,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,经计算可得下述结果：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,2等可能概型,
